第2章 钣金的展开与放样

2.1　钣金构件的展开

在钣金件的加工过程中，经常会遇到各种形状的工件，如通风管、变形接头等，要完成其加工，首先就要对钣金进行展开，即将物体表面按其实际形状和大小，摊在一个平面上。钣金展开是钣金下料的准备工序，也是保证钣金件加工正确的前提。

2.1.1　可展和不可展曲面的判断

生产加工中，钣金构件的形状是复杂多样的，尽管如此，但大多均由基本几何体及其组合体构成。其中：基本几何体可分为平面立体及曲面立体两种。常见的平面立体（主要有四棱柱、截头棱柱、斜平行面体、四棱锥等）及其平面组合体如图2-1（a）所示，常见的曲面立体（主要有圆柱体、球体、正圆锥、斜圆锥等）及其曲面组合体如图2-1（b）所示。

由图2-1（b）所示的基本曲面立体钣金构件可以看出，有一种是由一条母线（素线——直线或曲线）绕一固定轴线旋转形成的旋转体。旋转体外侧的表面称旋转面。圆柱、球、正圆锥等都是旋转体，其表面都是旋转面，而斜圆锥体及不规则的曲面体就不是旋转体。显然，圆柱体是一条直线（母线）围绕着另一条直线始终保持平行和等距旋转而成。正圆锥体是一条直线（母线）与轴线交于一点，始终保持一定夹角旋转而成。球体的母线是一条半圆弧，以直径为轴线旋转而成。

形体表面分可展表面和不可展表面两种。要判断一个曲面或曲面的一部分是否可展，可用一根直尺靠在物体上，旋转尺子，看尺子能不能在某个方向上和物体表面全部靠合，如果能靠合，记下这一位置，再在附近任一点选定一个新的靠合位置，如果每当靠合后的尺子所在直线都互相平行，或者都相交于一点（或延长后交于一点），那么该物体的被测量部位的表面就是可展的。也就是说，凡表面上相邻两条直线（素线）能构成一个平面时（即两条直线平行或相交），均可展开。属于这类表面的有平面立体、柱面、锥面等；凡母线是曲线或相邻两素线是交叉线的表面，都是不可展表面，如圆球、圆环、螺旋面及其他不规则的曲面等。对于不可展表面，只能作近似展开。

2.1.2　可展表面的3种展开方法

可展表面的展开方法主要有3种方法，即平行线法、放射线法及三角形法。其展开操作的方法如下。

（1）平行线法

按照棱柱体的棱线或圆柱体的素线，将棱柱面或圆柱面划分成若干四边形，然后依次摊平，作出展开图，这种方法就叫平行线法。

平行线法展开的原理是：由于形体表面由一组无数条彼此平行的直素线构成，所以我们可将相邻的两条素线及其上下两端夹口线所围成的微小面积，看成近似的平面梯形（或长方形），当分成的微小面积无限多的时候，则各小平面面积的和，就等于形体的表面积；当我们把所有微小平面面积按照原来的先后顺序和上下相对位置，不遗漏地、不重叠地铺平开来的时候，截体的表面就被展开了。当然，我们不可能把截体表面分成无限多部分小平面，但是我们却可以分成几十块乃至几块小平面。

凡属素线或棱线互相平行的几何体，如矩形管、圆管等，都可用平行线法进行表面展开。如图2-2所示为棱柱面的展开。

作展开图的步骤如下：①作出主视图和俯视图；②作展开图的基准线，即主视图中1'-4'的延长线；③从俯视图中照录各棱线的垂直距离1-2、2-3、3-4、4-1，将其移至基准线上，得10、20、30、40、10各点，并通过这些点画垂直线；④从主视图中1'1、2'1、3'1、4'1各点向右引平行线，与相应的垂直线相交，得出10、20、30、40、10各点；⑤用直线连接各点，即得展开图。

图2-3所示为斜截圆柱体的展开。

作展开图的步骤如下：①作出斜截圆柱体的主视图和俯视图；②将水平投影分成若干等分，这里分为12等分，半圆为6等分，由各等分点向上引垂直线，在主视图上得出相应的素线，并交斜截面圆周线于1'，2'，…，7'各点；③将圆柱底圆展开成一条直线（可用πD计算其长度），作为基准线，将直线分成12等分，截取相应的等分点（如a″、b″等）；④自等分点向上引垂线，即圆柱体表面上的素线；⑤从主视图上的1'，2'，…，7'分别引平行线，与相应的素线交于1″，2″，…，7″，即展开面上素线的端点；⑥将所有素线的端点连成光滑曲线，就能得出斜截圆柱体1/2的展开图。再以同样的方法画出另一半的展开图，即得所求的展开图。

由此，可以清楚地看出平行线展开法有如下特征。

①只有当形体表面的直素线都彼此平行，而且都将实长表现于投影图上时，平行线展开法才可应用。

②采用平行线法进行实体展开的具体步骤为：a.任意等分（或任意分割）俯视图，由各等分点向主视图引投射线，在主视图得一系列交点（这实际上就是把形体表面分成若干小部分）；b.在与（主视图）直素线相垂直的方向上截取一线段，使其等于截面（周）长，且照录俯视图上各分点，过此线段上的各照录点引此线段的垂线与由主视图中第一步所得交点所引的素线的垂直线对应相交，再把交点顺次相连接（这实际上就是把由第1步所分成的若干小部分依次铺平开来），便可得展开图。

（2）放射线法

在锥体的表面展开图上，有集束的素线或棱线，这些素线或棱线集中在锥顶一点，利用锥顶和放射素线或棱线画展开图的方法，称为放射线法。

放射线法展开的原理是：把形体任意相邻的两条素线及其所夹的底边线，看成一个近似的小平面三角形，当各小三角形底边无限短，小三角形无限多的时候，那么各小三角形面积的和与原来的截体侧面面积就相等，又当把所有小三角形不遗漏、不重叠、不折皱地按原先左右上下相对顺序和位置铺平开来的时候，则原形体表面也就被展开了。

放射线法是各种锥体的表面展开法，不论是正圆锥、斜圆锥还是棱锥，只要有一个共同的锥顶，就能用放射线法展开。如图2-4所示为正圆锥管顶部斜截的展开。

作展开图的步骤如下：①画出主视图，把上截头补齐，形成完整的正圆锥。②作锥面上的素线，方法是将底圆作若干等分，这里作12等分，得1，2，…，7各点，从这些点向上引垂直线，与底圆正投影线相交，再将相交点与锥顶O连接，与斜面相交于1'，2'，…，7'各点。其中2'，3'，…，6'几条素线都不是实长。③以O为圆心，Oa为半径画出扇形，扇形的弧长等于底圆的周长。将扇形12等分，截取等分点1，2，…，7，等分点的弧长等于底圆周等分弧长。以O为圆心，向各等分点作引线（放射线）。④从2'，3'，…，7'各点作与ab相平行的引线，与Oa相交，即为O2'，O3'，…，O7'的实长。⑤以O为圆心，O至Oa各相交点的垂直距离为半径作圆弧，与O1，O2，…，O等对应素线相交，得交点1″，2″，…，7″各点。⑥用光滑曲线连接各点，即得正圆锥管顶部斜截的展开图。

放射线法是很重要的展开方法，它适用于所有锥体及锥截体构件的展开问题。尽管所展开的锥体或截体千形百态，但其展开方法却大同小异，方法可归纳如下。

①在二视图中（或只在某视图中），通过延长边线（棱线）等完成整个锥体的放样图，当然对于带有顶点的截体是无需这一步的。

②通过等分（或不等分而任意分割）俯视图周长的方法，作出各等分点所对应的过锥顶的素线（包括棱锥的侧棱和侧面上过顶点的直线），这一步的意义在于分割锥体或截体表面成若干小部分。

③应用求实长线的方法（以旋转法为常用），把所有的不反映实长的素线、棱线，以及与作展开图有关的直线一一不漏地求出实长来。

④以实长线为准，作出整个锥体侧表面的展开图，同时作出所有放射线。

⑤在整个锥体侧面展开图的基础上，以实长线为准，再画出截体的展开图。

（3）三角形法

根据钣金制品形体的特点和复杂程度，将钣金制品表面分成若干组三角形，然后求出每组三角形的实形，并将它们依次毗连排列，画出展开图，这种作展开图的方法叫三角形法。

三角形法展开的原理是：把形体（构件）表面分割成很多小三角形，然后把这些小三角形按原先的左右相互位置和顺序，一个挨一个铺平开来，这样形体（构件）表面也就被展开了。

尽管放射线法也是将钣金制品表面分成若干三角形来展开的，但它和三角形法不同的地方主要是三角形的排列方式不一样。放射线法是将一系列三角形围绕一个共同的中心（锥顶）拼成扇形来作展开图的；而三角形法是根据钣金制品的特征来划分三角形的，这些三角形不一定围绕一个共同的中心来进行排列，很多情况下是按W形来排列的。另外，放射线法只适用于锥体，而三角形法可适用于任何形体。

三角形法虽然适用于任何形体，但由于此法比较烦琐，所以只有在必要时才采用。当制件表面无平行的素线或棱线，不能用平行线法展开，又无集中所有素线或棱线的顶点，不能用放射线法展开时，才采用三角形法作表面展开图。图2-5为凸五角星的展开。

用三角形法作展开图的步骤如下：①用圆内作正五边形的方法画出凸五角星的俯视图；②画出凸五角星的主视图，图中O'A'、O'B'即OA、OB线的实长，CE为凸五角星底边的实长；③以O″A″为大半径R，O″B″为小半径r，作出展开图的同心圆；④以m的长度在大小圆弧上依次度量10次，分别在大小圆上得到A″和B″等10个交点；⑤连接这10个交点，得出10个小三角形（如图中△A″O″C″），这就是凸五角星的展开图。

图2-6所示“天圆地方”构件，可以看作是由4个锥体的部分表面和4个平面三角形组合而成的。这类构件的展开，如果应用平行线法或放射线法，是可以的，但是作起来都比较麻烦，为了简便易行，可以使用三角形法展开。

用三角形法作展开图的步骤如下：①将平面图中圆周12等分，将等分点1、2、2、1和相近的角点A或B相连接，再由等分点向上作垂线交主视图上口于1'、2'、2'、1'各点，而后再与A'或B'相连接。这一步的意义在于：把天圆地方的侧表面分割成若干小三角形，本例分成了16个小三角形。②由二视图前后左右对称关系来看，平面图右下角的1/4，与其余三部分相同，上口和下口在平面图中反映实形和实长，GH由于是水平线，因而在主视图中相应线段投影1'H'就反映实长；而B1、B2却在任一投影图中都不反映实长，这就必须应用求实长线的方法求出实长来，这里采用了直角三角形法（注：A1等于B1，A2等于B2）。在主视图旁，作两个直角三角形，使一直角边CQ等于h，另一直角边为A2和A1，则斜边QM、QN即实长线。这一步的意义在于找出所有小三角形边线长，进而分析各边线的投影是否反映实长，倘若不反映实长，则必须用求实长的方法一一不漏地求出实长。③作展开图。作线段A×B×使其等于a，以A×和B×分别为圆心，实长线QN（即l1）为半径分别画弧交于1×，这就作出了平面图中小三角形△AB1的展开图；以1×为圆心，平面图中S弧长为半径画弧，与以A×为圆心，实长QM（即l2）为半径画弧相交于2×，这就作出了平面图中小三角形△A12的展开图。以2×为圆心，以S长为半径画弧，与以A×为圆心，实长QM为半径所画弧相交于2×，这就作出了小三角形△A22的展开图，依此类推，一直作出所有小三角形的展开图为止。E×由以A×为圆心，a/2为半径，以及以1×为圆心，1'B'（即l3）为半径所画弧相交得到。展开图中仅画出了全部展开图的一半。

本例选择FE为接缝的意义在于：把形体（截体）表面上分割成的所有小三角形，以它们的实际大小，按原先左右相邻位置，不间断、不遗漏地、不重叠地、不折皱地铺平在同一平面上，从而把形体（截体）表面全部展开。

由此，可以清楚地看出三角形法展开略去了形体原来两素线间的关系（平行、相交、异面），而用新的三角形关系来代替，因而它是一种近似的展开方法，三角形法展开的具体步骤如下。

①正确地将钣金构件表面分割成若干小三角形，正确地分割形体表面是三角形法展开的关键，一般来说，应具备下列4个条件的划分才是正确的划分，否则就是错误的划分：a.所有小三角形的全部顶点都必须位于构件的上下口边缘上；b.所有小三角形的边线不得穿越构件内部空间，而只能附着在构件表面上；c.所有相邻的两个小三角形都有而且只能有一条公共的边；d.中间相隔一个小三角形的两个小三角形，只能有一个公共顶点；中间间隔两个或两个以上小三角形的两个小三角形，或者有一个公共顶点或者没有公共顶点。

②考虑所有小三角形的各边，看哪些反映了实长，哪些不反映实长，凡不能反映实长的必须根据求实长的方法一一求出实长。

③以图中各小三角形的相邻位置为依据，用已知的或求出的实长为半径，依次把所有小三角形都画出来，最后再把所有的交点，视构件具体形状用曲线或用折线连接起来，由此得展开图。

（4）三种展开方法的比较

根据上述分析可知：三角形展开法能够展开一切可展形体的表面，而放射线法仅限于展开素线交汇于一点的构件，平行线法也只限于展开素线彼此平行的构件。放射线法与平行线法可看成是三角形法的特例，从作图的简便性来看，三角形法展开步骤较为烦琐。一般说来，三种展开方法按以下条件选用。

①如果构件的某一平面或曲面（不管其截面封闭与否）上所有的素线在一投影面上的投影，都表现为彼此平行的实长线，而在另一投影面上的投影，只表现为一条直线或曲线，那么这时可以应用平行线法展开。

②如果一锥体（或锥体的一部分）在某投影面上的投影，其轴线反映实长，而锥体的底面又垂直于该投影面，这时具备应用放射线展开法的最有利条件（“最有利条件”并不是指必要条件，因为放射线展开法中有求实长步骤，所以不论锥体处于何种投影位置，总可以求出所有必要素线实长，进而展开锥体侧面）。

③当构件的某一平面或某一曲面在三视图中均表现为多边形，也就是说，当某一个平面或某一个曲面既不平行又不垂直于任一投影面时，应用三角形法展开。特别是作不规则形体展开图时，三角形法展开的功效更为显著。

2.1.3　不可展表面的近似展开

从上述分析可知：如果一个形体的表面无法不遗漏、不重叠、不折皱地全部铺平在同一个平面上，那么其就是不可展表面，按照它们形成机理的不同，可分为不可展旋转面和直纹不可展曲面两种。不可展旋转面是由曲线所构成的母线（素线）绕定轴旋转而成的旋转体表面，图2-7（a）所示的球面及图2-7（b）所示的抛物面便属于不可展旋转面。形成旋转面的母线习惯上又称为经线，母线AB上任意一点C随着母线旋转所形成的平面曲线就叫作旋转面的纬线，旋转一周形成的圆叫纬圆，参见图2-7（c）；直纹不可展曲面是指这样的曲面，即过曲面上的任何一点都可以至少作一条直线，这些直线既不平行又不相交（即使延长也永不相交），而呈空间异面状态，如图2-7（d）所示的直纹锥状面和图2-7（e）所示的直纹柱状面便属于直纹不可展曲面。

尽管不可展曲面不能百分之百精确地展开来，但是却可以近似地展开来。例如，一个乒乓球，可以把它的表面撕成很多小块，然后把每一小块都看成是一小块平面，然后把这些被认定的小平面铺到同一个平面上，这样，乒乓球表面就被近似地展开了。根据这一设想，就可得到不可展曲面近似展开的原理：根据被展曲面的大小和形状，将其表面按某种规则分割成若干部分，再假定所分成的每一小部分都是可展的曲面，最后，再应用适当的展开方法，把所认定的每一小块可展曲面一一展开，从而得到不可展曲面的近似展开图。

（1）不可展旋转面的近似展开

按将不可展旋转表面分割成若干小部分所用规则的不同，不可展旋转面所采用的方法分经线分割法、纬线分割法、经线纬线联合分割法几种，其展开操作的方法如下。

①经线分割法　经线分割法的展开原理是顺着经线的方向把不可展旋转面分成若干部分，然后把每两相邻经线之间的不可展曲面，看成是沿经线方向单向弯曲的可展曲面，这样就可以用平行线法展开每一小块曲面。图2-8为半球面的经线分割法展开。

用经线分割法展开的步骤如下：a.用经线分割法分割形体表面。将平面图外圆周八等分点A、B、C……与圆心O接，于是在平面图中就把旋转面分成了八块相等的部分。b.假定相邻两经线之间的不可展曲面被沿经线方向单向弯曲的曲面代替，或者说，把相邻经线之间的不可展曲面看成是沿经线方向弯曲的可展曲面。c.用平行线法作出每一小块的展开图，现以OAB部分为例说明如下：首先添加一组平行素线，过主视图O″K°上任意点1、2、3及K°引铅垂线交平面图中OB于1'、2'、3'、K'，交OA于1″、2″、3″、K″，于是1'1″、2'2″、3'3″、K'K″就是一组互相平行，且在平面图中反映实长的可展曲面的素线，然后在K'K″的垂线方向上，将主视图中的K°O″伸直并照录其上1、2、3各点，过照录点引K'K″平行线，与由平面图O、1'、1″、2'、2″、…、K'、K″各点所引K'K″的垂线同名对应相交，把交点用平滑曲线顺次相连，于是就得到不可展旋转面的八分之一近似展开图。

②纬线分割法　纬线分割法的展开原理是在旋转面上画了若干条纬线；再假定位于相邻两纬线之间的不可展旋转面，近似为以相邻纬线为上下底的正圆锥台的侧表面，然后再把各个正圆锥台的侧表面全部展开，从而得到不可展旋转面的近似展开图。图2-9为半球面的纬线分割法展开。

用纬线分割法展开的步骤如下：a.用纬线分割法分割形体表面。在主视图中任作3条纬线（就是3条水平线），于是就把旋转面分成4部分。b.把第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分看作是3个大小不同的正圆锥台的侧面，把第Ⅳ部分看作是平面圆形。c.利用扇形展开法作每一部分的展开图。现以图中第Ⅱ小部分的展开为例，说明如下：首先延长AB、EF，使与旋转轴线交于OⅡ，OⅡ就是展开图的圆心；然后量出AF的尺寸，AF就是小圆锥台Ⅱ的下底直径d；以OⅡ为圆心，以OⅡA、OⅡB分别为半径画弧，在外弧上截取A'A″长等于πd，然后连接OⅡA'、OⅡA″，于是A'B'B″A″A'就是第Ⅱ小部分的展开图，其他各块也用同法展开后，就得到不可展旋转面的近似展开图。

③经线纬线联合分割法　经纬线联合分割法就是在一个构件的展开中同时采用了经线分割法及纬线分割法，经线纬线联合分割法适用于大型的旋转面的近似展开，像直径十几米乃至几十米的房盖、大油罐等。图2-10所示为大尺寸半圆弧球面的经线纬线联合分割法展开。

用经线纬线联合分割法展开的步骤如下：a.用经线、纬线联合分割旋转面成若干部分，把平面国外圆周八等分（等分数目越多就越精确），然后将等分点与中心O'相连接（这是经线分割）；过主视图O″K°上任意点1、2、3、4，作铅垂线交平面图中O'E于、3'、4'各点，交O'E'于1″，2″，3″、4″各点，用折线连接1234，过1、2、3、4作水平线。然后，以O'为圆心，以O'1'（O'1″）、O'2'（O'2″）、O'3'（O'3″）、O'4'（O'4″）分别为半径画圆，于是把旋转面用纬线法分割完毕；在平面图中把经线和纬线的交点用折线依次连接起来；如果把中心的八边形当成一块下料，那么上述各连线就把旋转面分割为25个小块，例如1'2'2″1″1'、2'3'3″2″2'、3'4'4″3″3'就是其中的3块。b.把所分成的25块不可展曲面都看作是平面，也就是其中的24块为平面小梯形，另一块（顶部）是平面正八边形。c.分别展开各块小平面。很明显，顶部的那块料的展开图就是平面图的中心部位的正八边形，其他各块小平面梯形的展开图均可用平行线法得出，今以展开1'2'2″1″1'为例说明如下：在1'1″的垂线方向上截取1°2°，使1°2°等于主视图中相应弧长，过1°、2°作1'1″的平行线，与由1'、2'、2″、1″所作的1'1″垂线同名对应相交于1×、2×、2××和1××，连接1×2×2××1××1×，于是得1'2'2″1″1'部分的展开图。再从主视图上来看，由下到上，每一层的八个小梯形都是全等的，因此，只要分别画出每层中的一块展开料，其他各块展开料也就成为已知的了。

（2）不可展直纹曲面的近似展开

直纹不可展曲面的近似展开，可采用三角线展开法，它的表面分割的规则与三角形展开法中的分割规则完全相同，即不可展直纹曲面的分割法是用三角形法。如图2-11所示为不可展直纹锥状面的三角形法展开。

用三角形法展开的步骤如下：①分割形体表面成若干小三角形。将平面图中A″B″六等分，过各等分点引铅垂线交A″B″于1'、2'、3'、…、5'，交主视图中AB和A'B'于1°°～5°°、1°～5°各点，而后如图中所表示的那样，连成12个小三角形。②求实长。本构件上缘反映实长，下缘在平面图中反映实长，左右边线在主视图中反映实长；唯有11条连线不能反映实长，这可用直三角形法求出实长来，在求实长图上，我们只标出了直角边长11'和1A″，其他未标，凡实长均用括号表示，如1A″的实长用（1A″）表示。③按上节所示的三角形法展开方法进行展开，便可得到不可展直纹锥状面的近似展开图。