第八章 无穷级数

考试内容与要求

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼兹定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式，函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dirichlet）定理，函数在[- l, l]上的傅里叶级数，函数在[0, l]上的正弦级数和余弦级数．

考试要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．

2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件．

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．

4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法．

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．

8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．

10．掌握ex, sinx, cosx, ln（1+ x）及（1+ x）α的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．

11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[- l, l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0, l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式．

题型8.1 判定数项级数的敛散性

1.（04 ,4分）设为正项级数，下列结论中正确的是

（A）若，则级数收敛．

（B）若存在非零常数λ，使得，则级数发散．

（C）若级数收敛，则

（D）若级数发散，则存在非零常数λ，使得

【 】

【答案】 应选（B）.

【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过举反例进行排除来确定正确选项．

【详解】 取，则，但发散，可排除（A）,（D）；

又取，则级数收敛，但，排除（C），故应选（B）.

【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式：

而级数发散，因此级数也发散，故应选（B）.

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2.（06,4分）若级数收敛，则级数

（A）n收敛．

（B）收敛．

（C）收敛．

（D）收敛．

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 可以通过举反例或级数的性质来判定．

【详解】 由收敛知收敛（注意：级数与相比，只少了一项u1），所以级数收敛，故应选（D）.

或利用举反例排除法：

取，则可排除选项（A）,（B）；

取，则可排除选项（C）.

故选项（D）正确．

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3.（09,4分）设有两个数列{an}, {bn}，若，则

（A）当收敛时，收敛．

（B）当发散时，发散．

（C）当收敛时，收敛．

（D）当发散时，发散．

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 应用举反例法排除错误答案．

【详解】 取，排除（A）.

取，排除（B）、（D）.

【评注】 可直接证明（C）正确，由，知存在M＞0，当n充分大时，有an≤M，因而，由收敛可知收敛，所以应选（C）.

小结

题型8.2 证明数项级数的敛散性

1.（04,11分）设有方程x n+ nx-1= 0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明唯一性．而正项级数的敛散性可用比较判别法判定．

【详解】 记fn（x）=xn+nx-1，由fn（0）= -1＜0,fn（1）=n＞0，及连续函数的介值定理知，方程xn+nx-1=0存在正实数根xn∈（0,1）.

当x＞0时，f′n（x）= nxn-1+ n＞0，可见fn（x）在[0, + ∞）上单调增加，故方程xn+nx-1= 0存在唯一正实数根xn.

由xn+nx-1=0与xn＞0得，从而.

又当α＞1时，正项级数收敛，所以当α＞1时，级数收敛．

【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.

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2.（14,10分）设数列{an}, {bn}满足，且级数收敛．

（1）证明：；

（2）证明：级数收敛．

【分析】 第一问利用夹逼定理，第二问利用正项级数比较判别法的极限形式可得．

【证明】（1）因为，所以cosan＞cosbn，从而0＜an＜bn．又因为级数收敛，所以．由夹逼定理得

于是

由于级数收敛，所以级数也收敛．

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3.（16,10分）已知函数f（x）可导，且f（0）= 1,0＜f′（x）＜．设数列{xn}满足xn+ 1=f（xn）（n= 1,2, …），证明：

（1）级数绝对收敛；

（2）存在，且

【证明】（1）依题意知

其中ξ介于xn, xn-1之间．

因为收敛，所以收敛，即绝对收敛．

（2）由（1）的结论知绝对收敛，其部分和的极限为

存在，故存在．

设．由于f（x）可导，从而f（x）连续．对xn+ 1= f（xn）两边取极限得a= f（a）.

又f（a）-f（0）=f′（ξ）a,ξ介于0,a之间，从而a-1=f′（ξ）a，即

由已知条件知0＜f′（ξ）＜，故0＜a＜2.

小结

题型8.3 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

1.（08,4分）已知幂级数在x= 0处收敛，在x= -4处发散，则幂级数的收敛域为______.

【答案】 应填（1,5].

【分析】 若幂级数在x=a处收敛，则当x-x0＜a-x0时，此幂级数绝对收敛；若幂级数在x=b处发散，则当x-x0＞b-x0时，此幂级数发散．

【详解】 由题设知，当|x+ 2|＜|0+ 2| = 2，即-4＜x＜0时，幂级数收敛；

而当|x+ 2|＞|-4+ 2|= 2，即x＜-4或x＞0时，幂级数发散．

可见幂级数的收敛半径为2.

于是幂级数当x-3＜2，即1＜x＜5时收敛，

故的收敛区间为（1,5）.

另外，幂级数在x= 0处收敛，相当于幂级数在x= 5处收敛，故所求收敛域为（1,5].

【评注】 收敛区间特指开区间，而收敛域应考虑在端点的敛散性．

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2.（11,4分）设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域是

（A）（-1,1].

（B）[-1,1）.

（C）[0,2）.

（D）（0,2].

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 利用阿贝尔定理及已知条件，属基本题型．

【详解】 幂级数的收敛区间是以1为中心的对称区间，排除（A）、（B）.而x= 0时，由莱布尼兹判别法，级数收敛．

x= 2时，由部分和数列发散知级数发散．因此应选（C）.

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3.（15,4分）若级数条件收敛，则与x= 3依次为幂级数的

（A）收敛点，收敛点．

（B）收敛点，发散点．

（C）发散点，收敛点．

（D）发散点，发散点．

【 】

【答案】 应选（B）.

【详解】 用阿贝尔定理，由级数条件收敛知，

幂级数在x= 1处条件收敛，其收敛区间为（-1,1），进而幂级数的收敛区间为（0,2），逐项求导后幂级数的收敛区间为（0,2），所以幂级数的收敛区间也为（0,2），从而与x= 3依次为幂级数的收敛点和发散点．应选（B）.

小结

题型8.4 求幂级数的和函数

1.（05,12分）求幂级数的收敛区间与和函数f（x）.

【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间．而和函数可利用逐项求导得到．

【详解】 因为

所以当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1时，原级数发散，

因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（-1,1）.

由于S（0）= 0, S′（0）= 0，

【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间是指开区间．而幂级数求和尽量将其转化为形如或的幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数．

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2.（07,10分）设幂级数在（- ∞, + ∞）内收敛，其和函数y（x）满足

y″ -2xy′ -4y= 0, y（0）= 0, y′（0）= 1.

（1）证明

（2）求y（x）的表达式．

【分析】 先将和函数求一阶、二阶导数，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系．

【详解】（1）记，则代入微分方程y″ -2xy′ -4y= 0，有

（2）由初始条件y（0）= 0, y′（0）= 1知，a0= 0, a1= 1．于是根据递推关系式an+ 2=，有a2n= 0, a2n+ 1= ．故

【评注】 本题由两部分组成，在讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式.

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3.（10,10分）求幂级数的收敛域及和函数．

【分析】 用比值判别法确定收敛区间，进而确定收敛域；利用幂级数的逐项求导求和函数．

【详解】 因为，所以当x2＜1，即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛．

当x= ± 1时，级数为，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为[-1,1].

由于f（0）= 0，所以.

从而幂级数的收敛域为[-1,1]，和函数为xarctan x, x∈[-1,1].

【评注】 对于缺项的幂级数，一般用比值判别法确定收敛区间；本题也可令t= x2转化为不缺项的幂级数.

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4.（12,10分）求幂级数的收敛域及和函数．

【分析】 由此幂级数的构成知，本题可以先求收敛域再求和函数；也可以先通过几何级数求导和求积分得到和函数，再由幂级数的性质得收敛半径，然后讨论端点处的收敛性，得幂级数的收敛域．

【详解1】 记

因为，所以由幂级数的性质得收敛半径R= 1.

当x= ±1时，发散，

因此，幂级数的收敛域为（-1,1）.

因为，

易知S（0）= 3，所以和函数

【详解2】 ，

因为x= 0时，, 所以

当x= ±1时，原级数为，由= +∞≠0知级数发散．

当x= 0时，，

因此，幂级数的收敛域为-1＜x＜1，

和函数

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5.（13,10分）设数列{an}满足条件：a0= 3, a 1 = 1, an-2- n（n-1）an= 0（n≥2）, S（x）是幂级数的和函数．

（1）证明S″（x）- S（x）= 0；

（2）求S（x）的表达式．

【分析】 利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解．

【详解】（1）由题设得，故级数收敛区间为（- ∞, + ∞）.

（2）由（1）关于S（x）的微分方程S″（x）- S（x）= 0，对应的特征方程为λ2-1= 0，解得特征根为λ1= -1, λ2= 1，所以方程通解为S（x）= C1e-x+ C2ex.

易知C1= 1,C2= 2．所以S（x）的表达式为S（x）= e-x+ 2ex.

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6.（17,4分）幂级数在区间（-1,1）内的和函数S（x）=______.

【答案】 应填

【详解】

小结

题型8.5 求数项级数的和

1.（09,9分）设an为曲线y= xn与y= xn+ 1（n= 1,2, …）所围成区域的面积，记S 1 =，求S1与S2的值．

【详解】 曲线y= xn与y = xn+ 1的交点为（0,0）,（1,1）.

所以

从而

【评注】 此题是定积分的几何意义与级数求和的一道综合题，特别是用到了常见函数ln（1+ x）的幂级数展开式.

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2.（18,4分）=【 】

（A）sin1+cos1.

（B）2sin1+cos1.

（C）2sin1+2cos1.

（D）2sin1+3cos1.

【答案】 应选（B）.

【详解】 由下列函数的幂级数展开

得

小结

题型8.6 求函数的幂级数展开式

1.（03,12分）将函数f（x）= arctan展开成x的幂级数，并求级数的和．

【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为幂级数展开式已知的函数．

本题可先求导，再利用函数的幂级数展开式即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的和．

【详解】 因为，

又，所以

因为级数收敛，函数f（x）在x= 处连续，所以

令x= ，得

再由，得

【评注1】 幂级数的收敛域为，但逐项积分后所得幂级数的收敛域为，其实在x= - 处也收敛，若对函数f（x）补充定义：，则f（x）= -在上成立．

【评注2】 需注意：幂级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间，但在收敛区间的端点处的敛散性可能会改变．

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2.（06,12分）将函数展开成x的幂级数．

【详解】 因为，

小结

题型8.7 傅里叶级数

1.（03 ,4分）设，则a2=______.

【答案】 应填1.

【分析】 将f（x）= x2（-π≤x≤π）展开为余弦级数x2= a n cos nx（-π≤x≤π），其系数计算公式为

【详解】 根据余弦级数的定义，有

【评注】 本题属于基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.

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2.（08,11分）将函数f（x）= 1- x2（0≤x≤π）展开成余弦级数，并求级数的和．

【详解】 因为f（x）为偶函数，于是bn= 0（n= 1,2, …），对n= 1,2, …，有

所以.

令x= 0，得，

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3.（13,4分）设令S（x）=，则S（- ）=

（A）.

（B）.

（C）- .

（D）- .

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 本题考查傅里叶级数的收敛定理．根据题设条件，对函数f（x）进行奇延拓后再作周期延拓，展开即为已知的正弦级数．

【详解】 对f（x）进行奇延拓如下：

再对上述奇函数作周期为2的延拓，于是即为f（x）的正弦级数．根据傅里叶级数收敛定理有．选（C）.

小结

本章总结

自测练习题

一、填空题

1．幂级数的收敛域是______.

2．级数的收敛域为______.

3．级数的和为______.

二、选择题

1．设，则下列级数中肯定收敛的是

【 】

2．下述各选项正确的是

（A）若与都收敛，则收敛．

（B）若收敛，则与都收敛．

（C）若正项级数发散，则.

（D）若级数收敛，且un≥vn（n= 1,2, …），则级数也收敛．

【 】

3．设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为

（A）5.

（B）.

（C）.

（D）.

【 】

4．设，则下列命题正确的是

（A）若条件收敛，则与都收敛．

（B）若绝对收敛，则与都收敛．

（C）若条件收敛，则与的敛散性都不定．

（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定．

【 】

5．设有以下命题：

①若收敛，则收敛；

②若收敛，则收敛；

③若＞1，则发散；

④若收敛，则都收敛．

则以上命题中正确的是

（A）①②.

（B）②③.

（C）③④.

（D）①④.

【 】

6．设un＞0, n= 1,2, …，若发散，收敛，则下列结论正确的是

（A）收敛，发散．

（B）发散，收敛．

（C）收敛．

（D）收敛．

【 】

三、计算证明题

1．讨论级数的敛散性．

2．设级数与均收敛，求证：级数绝对收敛．

3．求级数的收敛域．

4．已知fn（x）满足f′n（x）= fn（x）+ xn-1ex（n为正整数），且fn（1）= ，求函数项级数的和．

5．求幂级数的和函数f（x）及其极值．

6．设级数的和函数为S（x）．求：

（1）S（x）所满足的一阶微分方程；

（2）S（x）的表达式．

7．求幂级数在区间（-1,1）内的和函数S（x）.

8．求幂级数的收敛域及和函数S（x）.

9．已知函数试计算下列各题：

10．从点P1（1,0）作x轴的垂线，交抛物线y= x2于点Q1（1,1）；再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2．然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1, Q1; P2, Q2; …; Pn, Qn; ….

（1）求；

（2）求级数的和．

其中n（n≥1）为自然数，而表示点M1与M2之间的距离．

11．设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值为an.

（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；

（2）求级数的和．

12．设，求.

13．将函数展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．

14．将函数f（x）= ln（1- x-2x2）展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．

自测练习题答案或提示

一、填空题

1. [-1,1）; 2.（0,4）; 3. .

二、选择题

1.（D）2.（A）3.（A）4.（B）5.（B）6.（D）

三、计算证明题

1．收敛．

2．用比较判别法证明．

3. [2,4].