第二章 一元函数微分学

考试内容与要求

考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必塔（L'Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径．

考试要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．

5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．

6．掌握用洛必塔法则求未定式极限的方法．

7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．

8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a, b）内，设函数f（x）具有二阶导数．当f″（x）＞0时，f（x）的图形是凹的；当f″（x）＜0时，f（x）的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

题型2.1 导数的定义

1.（05,4分）设函数，则f（x）在（- ∞, + ∞）内

（A）处处可导．

（B）恰有一个不可导点．

（C）恰有两个不可导点．

（D）至少有三个不可导点．

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 先求出f（x）的表达式，再讨论其可导情形．

【详解】 当| x|＜1时

当| x|= 1时，

当| x|＞1时，

即可见f（x）仅在x= ± 1时不可导，故应选（C）.

【评注】 本题综合考查了数列极限与分段函数在分段点的导数问题，将两个或两个以上知识点综合起来命题是考题的一种典型表现形式.

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2.（07,4分）设函数f（x）在x= 0处连续，下列命题错误的是

（A）若存在，则f（0）= 0.

（B）若存在，则f（0）= 0.

（C）若存在，则f′（0）存在．

（D）若存在，则f′（0）存在．

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论．

【详解】（A）,（B）两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f（0）= 0.

若存在，则存在，可见（C）也正确，故应选（D）.

事实上，可举反例：f（x）=|x|在x= 0处连续，且

存在，但f（x）= x 在x= 0处不可导．

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3.（13,4分）设函数y= f（x）由方程y- x= ex（1-y）确定，则

【答案】 应填1.

【分析】 考查导数定义及隐函数的求导方法．

【详解】 在方程y- x= ex（1-y）中，令x= 0，得y= 1，等式两端对x求导得：

y′ -1=ex（1-y）（1- y- xy′），

将x= 0, y= 1代入上式，得y′（0）= 1，

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4.（15,10分）（1）设函数u（x）、v（x）均可导，利用导数定义证明

[u（x）v（x）′]= u′（x）v（x）+ u（x）v′（x）；

（2）设函数u1（x）, u2（x）, …, un（x）均可导，f（x）= u1（x）u2（x）·…·un（x），写出f（x）的求导公式．

【分析】 直接用导数的定义即可．

（2）利用（1）的结论，可直接写出

f′（x）= [u1（x）u2（x）·…·un（x）′]

= u′1（x）u2（x）·…·un（x）+ u1（x）u′2（x）·…·un（x）+ …+ u1（x）u2（x）·…·u′n（x）

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5.（16,4分）已知函数，则

（A）x= 0是f（x）的第一类间断点．

（B）x= 0是f（x）的第二类间断点．

（C）f（x）在x= 0处连续但不可导．

（D）f（x）在x= 0处可导．

【 】

【答案】 应选（D）.

【详解】 显然x= 0是f（x）的连续点．由导数的定义

而，由夹逼准则得（0）= 1，所以f′（0）= 1.

应选（D）.

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6.（18,4分）下列函数中，在x= 0处不可导的是【 】

（A）f（x）=|x|sin|x|.

（B）f（x）= .

（C）f（x）= cos|x|.

（D）f（x）= .

【答案】 应选（D）.

【分析】 考查导数的定义，属于基本题．

【详解】 对于选项（D），由导数定义得

故函数不可导．另外，易验证其他3个选项在x= 0处都可导．故选（D）.

小结

题型2.2 利用导数求曲线的切线、法线方程

1.（04,4分）曲线y= lnx上与直线x+y= 1垂直的切线方程为__________.

【答案】 应填y= x-1.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y= lnx的导数为1可确定切点的坐标．

【详解】 由y′ =（lnx′）= = 1，得x= 1，可见切点为（1,0），于是所求的切线方程为

y-0= 1·（x-1），

【评注】 本题也可先设切点为（x0, lnx0），曲线y = lnx 过此切点的导数为，得x0 = 1，由此可知所求切线方程为y-0= 1·（x-1），即y=x-1

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2.（08,4分）曲线sin（xy）+ ln（y-x）=x在点（0,1）处的切线方程是__________.

【答案】 应填y= x+ 1.

【详解】 等式sin（xy）+ ln（y- x）= x两边同时对x求导，得

将x= 0, y= 1代入上式，有，得y′（0）= 1.

故所求切线方程为：y-1=y′（0）（x-0），即y=x+ 1.

小结

题型2.3 一般导函数的计算

1.（10,4分）设，则=_______.

【答案】 应填0.

【分析】 用参数方程确定函数的求导公式，属基础题型．

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2.（12,4分）设函数f（x）=（e x-1）（e2 x-2）·…·（enx-n），其中n为正整数，则f′（0）=

（A）（-1）n-1（n-1）! .

（B）（-1）n（n-1）! .

（C）（-1）n-1n! .

（D）（-1）nn! .

【 】

【答案】 应选（A）.

【详解1】 用一点处导数定义求．

故选（A）.

【详解2】 用导数运算法则先求导函数，再求f′（0）.

因f′（x）= e x ·（e2 x-2）（e3 x-3）·…·（enx-n）+（e x-1）·2 e2 x ·（e3 x-3）·…·

（e nx-n）+ …+（e x-1）（e2 x-2）·…·（e（n-1）x-n+ 1）·n e nx，

故f′（0）= e0·（e0-2）（e0-3）·…·（e0-n）=（-1）n- 1（n-1）! .

选（A）.

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3.（13,4分）设（t为参数），则= .

【答案】 应填.

【分析】 利用参数方程的求导公式即得．

【详解】 由，有，

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4.（16,4分）设函数，且f‴（0）= 1，则a= .

【答案】 应填.

【分析】 利用函数的泰勒展开式．

【详解】 f（x）=（x- x3+ …）- x（1- ax2+ …）=（a- ）x3+ …

由f‴（0）= 6（a- ）= 1，得a= .

【评注】 本题若直接求f‴（0），运算量较大．

小结

题型2.4 可导、连续与极限的关系

（99,3分）设其中g（x）是有界函数，则f（x）在x= 0处

（A）极限不存在．

（B）极限存在，但不连续．

（C）连续，但不可导．

（D）可导．

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 本题考查极限、连续和可导三个基本概念及它们之间的关系．若f（x）在x= 0处可导，则（A）、（B）、（C）三个选项可立即排除，因此可从判断f（x）在x= 0处是否可导入手．

【详解】 因为

可见，f（x）在x= 0处左、右导数相等，因此，f（x）在x= 0处可导．故正确选项为（D）.

小结

题型2.5 微分的概念与计算

1.（06,4分）设函数y= f（x）具有二阶导数，且f′（x）＞0, f″（x）＞0, Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f（x）在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则

（A）0＜dy＜Δy.

（B）0＜Δy＜dy.

（C）Δy＜dy＜0.

（D）dy＜Δy＜0.

【 】

【答案】 应选（A）.

【分析】 根据几何意义用图示法求解，也可用拉格朗日中值定理或用泰勒公式．

【详解1】 由f′（x）＞0, f″（x）＞0知，函数f（x）单调增加，曲线y= f（x）凹向，作函数y= f（x）的图形如图1—2—1所示，显然当Δx＞0时，Δy＞dy= f′（x0）dx=f′（x0）Δx＞0，故应选（A）.

【详解2】 根据拉格朗日中值定理，有

Δy= f（x0+ Δx）- f（x0）= f′（ξ）Δx, x0 ＜ξ＜x0+ Δx

因为f″（x）＞0，所以f′（x）单调增加，即f′（ξ）＞f′（x0），又Δx＞0，则Δy= f′（ξ）Δx＞f′（x0）Δx= dy＞0，即0＜dy＜Δy．故应选（A）.

【详解3】 由f′（x）＞0, f″（x）＞0，根据泰勒公式，有

f（x0+ Δx）= f（x0）+ f′（x0）Δx+ f″（ξ）（Δx）2＞f（x0）+ f′（x0）Δx

即Δy= f（x0+ Δx）- f（x0）＞f′（x0）Δx= dy，又Δx＞0．故应选（A）.

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2.（17,4分）已知函数，则f（3）（0）= .

【答案】 应填0.

【分析】 利用f（x）的麦克劳林展开式，f（n）（0）= ann! .

【详解】 用麦克劳林公式得

【评注】 也可直接求f（3）（x），再计算f（3）（0），但运算量较大．

小结

题型2.6 利用导数确定单调区间与极值

1.（03,4分）设函数f（x）在（- ∞, + ∞）内连续，其导函数的图形如图1—2—2所示，则f（x）有

（A）一个极小值点和两个极大值点．

（B）两个极小值点和一个极大值点．

（C）两个极小值点和两个极大值点．

（D）三个极小值点和一个极大值点．

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．

【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x= 0则是导数不存在的点．三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x= 0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x= 0为极大值点，故f（x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）.

【评注】 本题也可利用f′（x）的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设f（x）二阶连续可导，则在y轴右侧，由f′（x）严格单调增加，知f″（x）＞0，可见y轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定y轴左侧有一个极大值点和一个极小值点，而x= 0则只能用第一充分条件进行判定.

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2.（04,4分）设函数f（x）连续，且f′（0）＞0，则存在δ＞0，使得

（A）f（x）在（0, δ）内单调增加．

（B）f（x）在（-δ,0）内单调减少．

（C）对任意的x∈（0, δ），有f（x）＞f（0）.

（D）对任意的x∈（-δ,0），有f（x）＞f（0）.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 函数f（x）只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除（A）,（B）选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析．

【详解】 由导数的定义，知

根据保号性，知存在δ＞0，当x∈（-δ,0）∪（0, δ）时，有

即当x∈（-δ,0）时，f（x）＜f（0）；而当x∈（0, δ）时，有f（x）＞f（0）．故应选（C）.

【评注】 若f′（a）＞0，且加强条件设f′（x）在x= a连续，则可以证明存在δ＞0，使得f（x）在（a-δ, a+δ）内单调上升.

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3.（10,10分）求函数的单调区间与极值．

【分析】 求变限积分f（x）的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．

令f′（x）= 0，得x= 0, x= ± 1.

因为当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＜-1时，f′（x）＜0.

所以f（x）的单调递减区间为（- ∞, -1）,（0,1）; f（x）的单调递增区间为（-1,0）,（1, + ∞）．极小值为f（1）= f（-1）= 0，极大值为

【评注】 也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型.

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4.（14,10分）设函数y= f（x）由方程y 3+ xy 2+ x 2 y+ 6= 0确定，求f（x）的极值．

【分析】 本题是求一元隐函数的极值问题，注意隐函数的求导方法．

【详解】 在方程y3+ xy2+ x2y+ 6= 0两端关于x求导，得

3y2y′ + y2+ 2xy y′ + 2xy+ x2y′ = 0.

令y′ = 0，得y= -2x，或y= 0（不适合方程，舍去）.

将y= -2x代入原方程得-6x3+ 6= 0，解得x= 1, f（1）= -2.

在3y2y′ + y2+ 2xyy′ + 2xy+ x2y′ = 0两端关于x求导，得

（3y2+ 2xy+ x2）y″ + 2（3y+ x）（y′）2+ 4（x+ y）y′ + 2y= 0，

求得

所以x= 1是函数f（x）的极小值点，极小值f（1）= -2.

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5.（17,10分）已知函数y（x）由方程x3+ y3-3x+ 3y-2= 0确定，求y（x）的极值．

【分析】 由方程确定隐函数求导法则求出y（x）的驻点，再用取得极值的第二充分条件判断是否为极值点．

【详解】 在方程x3+ y3-3x+ 3y-2= 0两边对x求导，得

令y′ = 0，得x= ± 1，代入原方程解得驻点为（1,1）,（-1,0）．在①式两边对x求导，得

6x+ 3（2yy′ 2+ y2y″）+ 3y″ = 0.

当x= 1时，y″ = -1＜0, y（x）取得极大值y（1）= 1；当x= -1时，y″ = 2＞0, y（x）取得极小值y（-1）= 0.

小结

题型2.7 求函数曲线的凹凸区间与拐点

1.（11,4分）曲线y=（x-1）（x-2）2（x-3）3（x-4）4的一个拐点是

（A）（1,0）.

（B）（2,0）.

（C）（3,0）.

（D）（4,0）.

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 求出y″（x）= 0的点，然后确定拐点，属基本题型．

【详解】 由y″（x）= 0得x= 3,4．经计算y″（3）= 0，且y‴（3）≠0.

所以，点（3,0）为曲线的一个拐点．因此应选（C）.

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2.（14,4分）设函数f（x）具有2阶导数，g（x）= f（0）（1- x）+ f（1）x，则在区间[0,1]上

（A）当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）.

（B）当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）.

（C）当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）.

（D）当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）.

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 利用凹凸性的几何意义．

【详解】 当f″（x）≥0时，f（x）向上凹，而g（x）= f（0）（1- x）+ f（1）x是连接两点（0, f（0））与（1, f（1））的直线，显然g（x）在f（x）的上方，所以f（x）≤g（x）．故选（D）.

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3.（15,4分）设函数f（x）在（- ∞, + ∞）内连续，其二阶导数f″（x）的图形如图1—2—3所示，则曲线y= f（x）的拐点的个数为

（A）0.

（B）1.

（C）2.

（D）3.

【 】

【答案】 应选（C）.

【详解】 曲线的拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号．因此，由f″（x）的图形可得，曲线y= f（x）存在2个拐点．选（C）.

小结

题型2.8 求函数曲线的渐近线

1.（05,4分）曲线的斜渐近线方程为.

【答案】 应填.

于是所求斜渐近线方程为.

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2.（07,4分）曲线渐近线的条数为

（A）0.

（B）1.

（C）2.

（D）3.

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线．

【详解】 因为，所以x= 0为铅直渐近线；

又，所以y= 0为水平渐近线；

进一步

于是有斜渐近线y= x．故应选（D）.

【评注】 一般来说，有水平渐近线（即）就不再考虑斜渐近线．但当不存在时，就要分别讨论x→- ∞和x→+ ∞两种情况，即左、右两侧的渐近线．本题在x＜0的一侧有水平渐近线，而在x＞0的一侧有斜渐近线．关键应注意指数函数ex当x→∞时极限不存在，必须分x→- ∞和x→+ ∞进行讨论．

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3.（12,4分）曲线渐近线的条数为

（A）0.

（B）1.

（C）2.

（D）3.

【 】

【答案】 应选（C）.

【详解】 由，知x= 1为垂直渐近线；由，知y= 1为水平渐近线；显然，没有斜渐近线．故选（C）.

【评注】 若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线．另外，易知在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线.

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4.（14,4分）下列曲线中有渐近线的是

（A）y= x+ sinx.

（B）y= x2+ sinx.

（C）y= x+ sin .

（D）y= x2+ sin .

【 】

【答案】 应选（C）.

【分析】 本题考查求渐近线的基本方法．分别判断各曲线是否有水平、垂直和斜渐近线即得正确答案．

【详解】 因为，所以，曲线y=x+ sin 有斜渐近线y = x．故选（C）.

小结

题型2.9 确定函数方程f（x）= 0的根

（11,10分）求方程karctan x- x= 0不同实根的个数，其中k为参数．

【分析】 构造辅助函数f（x）= karctan x- x，利用零点定理及函数的单调性判断根的个数．

【详解】 显然x= 0一定是方程的根，

令f（x）= karctan x- x，因f（x）是奇函数，只考虑x＞0的情形．

而

1）当k≤1时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，所以x＞0无实根．

2）当k＞1时，0＜x＜＞0，则f（x）在上单调递增；，则f（x）在单调递减，且

所以，方程在内有一实根．

综上所述：当k≤1时，方程只有一实根x= 0；当k＞1时，方程有三个实根．

【评注】 关于方程根的问题中，若含有参数一定要讨论参数的取值．另外，本题中还涉及广义的零点定理．

小结

题型2.10 微分中值定理的综合应用

1.（05,12分）已知函数f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）= 0, f（1）= 1.证明：

（1）存在ξ∈（0,1），使得f（ξ）= 1-ξ；

（2）存在两个不同的点η, ζ∈（0,1），使得f′（η）f′（ζ）= 1.

【分析】（1）显然用闭区间上连续函数的介值定理；（2）为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用（1）中已得结论．

【详解】（1）令F（x）=f（x）-1+x，则F（x）在[0,1]上连续，且F（0）= -1＜0,F（1）= 1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈（0,1）使得F（ξ）= 0，即f（ξ）= 1-ξ.

（2）在[0, ξ]和[ξ,1]上对f（x）分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈（0, ξ）, ζ∈（ξ,1），使得

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2.（07,11分）设函数f（x）, g（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a）, f（b）= g（b），证明：存在ξ∈（a, b），使得f″（ξ）= g″（ξ）.

【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F（x）=f（x）- g（x），则问题转化为证明F″（ξ）= 0，只需对F′（x）用罗尔定理，关键是找到F′（x）的端点函数值相等的区间（特别是两个一阶导数同时为零的点），而利用F（a）= F（b）= 0，若能再找一点c∈（a, b），使得F（c）= 0，则在区间[a, c], [c, b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F′（x）用罗尔定理即可．

【详解】 构造辅助函数F（x）= f（x）- g（x），由题设有F（a）= F（b）= 0．不妨设存在x1, x2∈（a, b）,x1＜x2，使得f（x1）= M= =M= ，于是F（x1）= f（x1）- g（x1）≥0, F（x2）= f（x2）- g（x2）≤0，从而存在c∈[x1, x2]⊂（a, b），使F（c）= 0．在区间[a, c], [c, b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈（a, c）, ξ2∈（c, b），使得F′（ξ1）= F′（ξ2）= 0．再对F′（x）在区间[ξ1, ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈（ξ1, ξ2）⊂（a，b），有F″（ξ）= 0，即f″（ξ）= g″（ξ）.

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3.（09,11分）（1）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，则存在ξ∈（a, b），使得f（b）- f（a）= f′（ξ）（b- a）.

（2）证明：若函数f（x）在x= 0处连续，在（0, δ）（δ＞0）内可导，且，则（0）存在，且（0）= A.

【详解】（1）作辅助函数φ（x）= f（x）- f（a）- .

易验证φ（x）在[a, b]上满足罗尔定理的条件，

可得在（a, b）内至少有一点ξ，使得φ′（ξ）= 0，

（2）任取x0∈（0, δ），则函数f（x）满足：在闭区间[0, x0]上连续，开区间（0, x0）内可导，

由拉格朗日中值定理可得：存在ξ（x0）∈（0, x0）⊂（0, δ），使得

又由于，对①式两边取x0→0+时的极限有

故（0）存在，且（0）= A.

【评注】 已经连续两年考查教材上的重要结论，这一点值得关注．另外，注意利用前一问提供的信息，此题应想到证明（2）要用拉格朗日中值定理.

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4.（13,10分）设奇函数f（x）在闭区间[-1,1]上具有2阶导数，且f（1）= 1．证明

（1）存在ξ∈（0,1），使得f′（ξ）= 1；

（2）存在η∈（-1,1），使得f″（η）+ f′（η）= 1.

【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理．第（2）问中的辅助函数可通过记g（x）= f′（x），解微分方程g′（x）+ g（x）= 1，并分离常数得到通解ex[g（x）-1]= C，因此可作辅助函数G（x）= ex[f′（x）-1].

【证明】（1）方法一 令F（x）=f（x）-x，则F（1）=f（1）-1=0，

由f（x）为奇函数知f（0）= 0，因此F（0）= f（0）-0= 0，即F（x）在区间[0,1]上满足罗尔定理条件，于是存在点ξ∈（0,1），使得

F′（ξ）= 0，即f′（ξ）= 1.

方法二 由f（x）为奇函数知f（0）= 0，且易知f（x）在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点ξ∈（0,1），使得

（2）令G（x）= ex[f′（x）-1]．由（1）知G（ξ）= 0．又已知f（x）为奇函数，故f′（x）为偶函数，于是f′（-ξ）= f′（ξ）= 1，故G（-ξ）= 0．因此G（x）在区间[-ξ, ξ]上满足罗尔定理条件，于是存在点η∈（-ξ, ξ）⊂（-1,1），使

G′（η）= 0，即eη[f′（η）-1]+ eη·f″（η）= 0.

因为eη≠0，所以f″（η）+f′（η）= 1.

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5.（17,10分）设函数f（x）在区间[0,1]上具有2阶导数，且

证明：

（1）方程f（x）= 0在区间（0,1）内至少存在一个实根；

（2）方程f（x）f″（x）+ [f′（x）]2= 0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根．

【分析】（1）用零点定理；（2）利用原函数法构造辅助函数，再用中值定理：f（x）f″（x）+[f′（x）]2= 0变形为，两边积分lnf′（x）= - lnf（x）+ lnC，分离常数f（x）f′（x）= C，辅助函数即为F（x）= f（x）f′（x）.

【详解】（1）由与极限的保号性可知，存在c∈（0,1），使得f（c）＜0.

又f（1）＞0，在[c,1]上用零点定理，至少存在一个η∈（c,1），使得f（η）= 0，即方程f（x）= 0在区间（0,1）内至少存在一个实根．

（2）由函数f（x）在区间[0,1]上可导，从而一定连续，以及存在，得f（0）= 0.

由（1）得f（x）在区间[0, η]上满足罗尔定理条件，所以存在ξ∈（0, η）使得f′（ξ）= 0.

令F（x）= f（x）f′（x），显然F（0）= F（ξ）= F（η）= 0．对函数F（x）分别在区间[0, ξ]及[ξ, η]上用罗尔定理得，至少存在两个不同的ξ1∈（0, ξ）及ξ2∈（ξ, η），使得

F′（ξ1）= F′（ξ2）= 0，

因此，方程f（x）f″（x）+ [f′（x）]2= 0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根．

小结

题型2.11 利用导数证明不等式

1.（04,12分）设e＜a＜b＜e2，证明.

【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明．

【详解1】 对函数ln2x在[a, b]上应用拉格朗日中值定理，得

设，则，

当t＞e时，φ′（t）＜0，所以φ（t）单调减少，从而φ（ξ）＞φ（e2），即

【详解2】 设，则

所以，当x＞e时，φ″（x）＜0，故φ′（x）单调减少，从而当e＜x＜e2时，

即当e＜x＜e2时，φ（x）单调增加．

因此当e＜x＜e2时，φ（b）＞φ（a），

【评注】 本题也可设辅助函数为或，再用单调性进行证明．

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2.（11,10分）（1）证明：对任意正整数n，都有成立．

（2）设，证明数列{an}收敛．

【分析】 对（1）用拉格朗日定理或把换为x，转化为函数不等式的证明；对（2）用单调有界原理．

【详解】（1）方法一 根据拉格朗日定理，存在ξ∈（n, n+ 1），使得

方法二 考虑函数不等式.

先证ln（1+ x）＜x，令f（x）= ln（1+ x）- x，

则，有f（x）在[0,1]上单调递减．

因而，当0＜x＜1时，f（x）＜f（0）= 0，即ln（1+ x）＜x.

再证令，

则，有g（x）在[0,1]上单调递增．

因而，当0＜x＜1时，f（x）＞f（0）= 0，即

综上所述，有，把x换为得原不等式成立．

（2）先证数列{an}单调递减．

由（1）得，所以数列{an}单调递减．

再证数列{an}有下界．由（1）得

即数列{an}有下界．故数列{an}收敛.

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3.（12,10分）证明：

【证明】 令，则

当-1＜x＜1时，f″（x）≥2＞0，所以f′（x）单调增加．于是：

当-1＜x＜0时，f′（x）＜f′（0）= 0，即f（x）在-1＜x＜0上单调减少，因此有f（x）＞f（0）= 0，即

当0＜x＜1时，f′（x）＞f′（0）= 0，即f（x）单调增加，因此有f（x）＞f（0）= 0，即

综上所述，当-1＜x＜1时（等号在x= 0时成立）.

小结

题型2.12 曲率与弧长的计算

（11,4分）曲线的弧长s= .

【答案】 应填

【分析】 直接利用弧长公式计算．

故应填

【评注】 此题用弧长公式计算时，先要求变限积分的导数，这也是一个重要的考点．

小结

本章总结

自测练习题

一、填空题

1．设f（x）= x（x+ 1）（x+ 2）·…·（x+ n），则f′（0）= ___________.

2．设，则y′ = ___________.

3．设y=（1+ sinx）x，则= ___________.

4．设函数y= y（x）由方程2xy = x+ y所确定，则= ___________.

5．设其中f可导，且f′（0）≠0，则= ___________.

6．曲线在t= 2处的切线方程为___________.

7．曲线在（0,1）处的法线方程为___________.

8．设函数y=f（x）由方程xy+ 2 lnx=y4 所确定，则曲线y=f（x）在点（1,1）处的法线方程为_________.

9．设曲线f（x）= x n在点（1,1）处的切线与x轴的交点为（ξn,0），则= ___________.

10．设其导函数在x = 0处连续，则λ的取值范围是___________.

11．已知，则= ___________.

12．设方程x= yy 确定y 是x的函数，则dy= _________ ___________.

13．设y= f（lnx）ef（x），其中f可微，则dy= _________.

14．设，则= ___________.

15．函数y=x+ 2cosx在区间上的最大值为___________.

16．曲线的上凸区间是___________.

17．设函数y（x）由参数方程确定，则曲线y=y（x）向上凸的x取值范围为___________.

18．曲线的渐近线方程为___________.

19．曲线的斜渐近线方程为___________.

20．设函数f（x）在x = 2的某邻域内可导，且f′（x）= ef（x）, f（2）= 1，则f‴（2）=_________.

21．设函数f（u）可微，且f′（0）= ，则z= f（4x2- y2）在点（1,2）处的全微分= ___________.

二、选择题

1．设函数f（x）在区间（-δ, δ）内有定义，若当x∈（-δ, δ）时，恒有| f（x）|≤x2，则x=0必是f（x）的

（A）间断点．

（B）连续而不可导的点．

（C）可导的点，且f′（0）= 0.

（D）可导的点，且f′（0）≠0.

【 】

2．设则f（x）在x= 1处的

（A）左、右导数都存在．

（B）左导数存在，但右导数不存在．

（C）左导数不存在，但右导数存在．（D）左、右导数都不存在．

【 】

3．设函数y= y（x）由参数方程确定，则曲线y= y（x）在x= 3处的法线与x轴交点的横坐标是

（A）ln2+ 3.

（B）- ln2+ 3.

（C）-8ln2+ 3.

（D）8ln2+ 3.

【 】

4．设两函数f（x）和g（x）都在x= a处取得极大值，则函数F（x）= f（x）g（x）在x= a处

（A）必取极大值．

（B）必取极小值．

（C）不可能取极值．

（D）是否取极值不能确定．

【 】

5．设函数f（x）在（- ∞, + ∞）内有定义，x0≠0是f（x）的极大点，则

（A）x0必是f（x）的驻点．

（B）- x0必是- f（- x）的极小点．

（C）- x0必是- f（x）的极小点．

（D）对一切x都有f（x）≤f（x0）.

【 】

6．已知y= f（x）对一切的x满足xf″（x）+ 3x[f′（x）]2 = 1- e-x，若f′（x0）= 0（x0 ≠0），则

（A）f（x0）是f（x）的极大值．

（B）f（x0）是f（x）的极小值．

（C）（x0, f（x0））是曲线y= f（x）的拐点．

（D）f（x0）不是f（x）的极值，（x0, f（x0））也不是曲线y= f（x）的拐点．

【 】

7．设函数f（x）在x= a的某个邻域内连续，且f（a）为其极大值，则存在δ＞0，当x∈（a-δ, a+δ）时，必有

【 】

8．设f（x）在（- ∞, + ∞）内可导，且对任意x1, x2，当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），则

（A）对任意x, f′（x）＞0.

（B）对任意x, f′（- x）≤0.

（C）函数f（- x）单调增加．

（D）函数- f（- x）单调增加．

【 】

9．曲线y=（x-1）2（x-3）2的拐点个数为

（A）0.

（B）1.

（C）2.

（D）3.

【 】

10．曲线的渐近线有

（A）1条．

（B）2条．

（C）3条．

（D）4条．

【 】

11．若f（x）= - f（- x），在（0, + ∞）内，f′（x）＞0, f″（x）＞0，则f（x）在（- ∞,0）内

（A）f′（x）＜0, f″（x）＜0.

（B）f′（x）＜0, f″（x）＞0.

（C）f′（x）＞0, f″（x）＜0.

（D）f′（x）＞0, f″（x）＞0.

【 】

12．若3a2-5b＜0，则方程x5+ 2ax3+ 3bx+ 4c= 0

（A）无实根．

（B）有唯一实根．

（C）有三个不同实根．

（D）有五个不同实根．

【 】

13．设常数k＞0，函数在（0, + ∞）内零点的个数为

（A）3.

（B）2.

（C）1.

（D）0.

【 】

14．在区间（- ∞, + ∞）内，方程

（A）无实根．

（B）有且仅有一个实根．

（C）有且仅有两个实根．

（D）有无穷多个实根．

【 】

15．设f（x）处处可导，则

（A）当，必有.

（B）当，必有.

（C）当，必有.

（D）当，必有.

【 】

16．设周期函数f（x）在（- ∞, + ∞）内可导，周期为4，又，则曲线y= f（x）在（5, f（5））点处的切线斜率为

（A）.

（B）0.

（C）-1.

（D）-2.

【 】

17．设函数f（x）在点x= a处可导，则函数| f（x）| 在点x= a处不可导的充分条件是

（A）f（a）= 0且f′（a）= 0.

（B）f（a）= 0且f′（a）≠0.

（C）f（a）＞0且f′（a）＞0.

（D）f（a）＜0且f′（a）＜0.

【 】

18．设f′（x）在[a, b]上连续，且f′（a）＞0, f′（b）＜0，则下列结论中错误的是

（A）至少存在一点x0 ∈（a, b），使得f（x0）＞f（a）.

（B）至少存在一点x0 ∈（a, b），使得f（x0）＞f（b）.

（C）至少存在一点x0 ∈（a, b），使得f′（x0）= 0.

（D）至少存在一点x0 ∈（a, b），使得f（x0）= 0.

【 】

19．设f（x）的导数在x= a处连续，又，则

（A）x= a是f（x）的极小值点．

（B）x= a是f（x）的极大值点．

（C）（a, f（a））是曲线y= f（x）的拐点．

（D）x= a不是f（x）的极值点，（a, f（a））也不是曲线y= f（x）的拐点．

【 】

20．设函数f（x）在[a, b]上有定义，在开区间（a, b）内可导，则

（A）当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a, b），使f（ξ）= 0.

（B）对任何ξ∈（a, b），有

（C）当f（a）= f（b）时，存在ξ∈（a, b），使f′（ξ）= 0.

（D）存在ξ∈（a, b），使f（b）- f（a）= f′（ξ）（b- a）.

【 】

21．当a取下列哪个值时，函数f（x）= 2x3-9x2+ 12x- a恰好有两个不同的零点

（A）2.

（B）4.

（C）6.

（D）8.

【 】

22．设f（x）= xsinx+ cosx，下列命题中正确的是

（A）f（0）是极大值，是极小值．

（B）f（0）是极小值，是极大值．

（C）f（0）是极大值，也是极大值．

（D）f（0）是极小值，也是极小值．

【 】

23．以下四个命题中，正确的是

（A）若f′（x）在（0,1）内连续，则f（x）在（0,1）内有界．

（B）若f（x）在（0,1）内连续，则f（x）在（0,1）内有界．

（C）若f′（x）在（0,1）内有界，则f（x）在（0,1）内有界．

（D）若f（x）在（0,1）内有界，则f′（x）在（0,1）内有界．

【 】

24．设f′（x0）= f″（x0）= 0, f‴（x0）＞0，则下列选项正确的是

（A）f′（x0）是f′（x）的极大值．

（B）f（x0）是f（x）的极大值．

（C）f（x0）是f（x）的极小值．

（D）（x0, f（x0））是曲线y= f（x）的拐点．

【 】

25．设函数f（x）在x= 0处连续，且，则

（A）f（0）= 0且（0）存在．

（B）f（0）= 1且（0）存在．

（C）f（0）= 0且（0）存在．

（D）f（0）= 1且f′+（0）存在．

【 】

26．设f（x）是奇函数，除x= 0外处处连续，x= 0是其第一类间断点，则是

（A）连续的奇函数．

（B）连续的偶函数．

（C）在x= 0间断的奇函数．

（D）在x= 0间断的偶函数．

【 】

27．设函数g（x）可微，h（x）= e1+g（x）, h′（1）= 1, g′（1）= 2，则g（1）等于

（A）ln3-1.

（B）- ln3-1.

（C）- ln2-1.

（D）ln2-1.

【 】

28．设函数f（u）可导，y= f（x2）当自变量x在x= -1处取得增量Δx= -0. 1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0. 1，则f′（1）等于

（A）-1.

（B）0. 1.

（C）1.

（D）0. 5.

【 】

三、计算证明题

1．设函数y= y（x）由方程y- xey= 1所确定，求.

2．设其中f（u）具有二阶导数，且f（u）≠0，求.

3．求函数f（x）= x2ln（1+ x）在x= 0处的n阶导数f（n）（0）（n≥3）.

4．设函数f（x）在（- ∞, + ∞）上有定义，在区间[0,2]上，f（x）= x（x2-4），若对任意的x都满足f（x）= kf（x+ 2），其中k为常数．

（1）写出f（x）在[-2,0）上的表达式；

（2）问k为何值时，f（x）在x= 0处可导．

5．设其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）= 1, g′（0）= -1.

（1）求f′（x）；

（2）讨论f′（x）在（- ∞, + ∞）上的连续性．

6．已知曲线的极坐标方程是r= 1- cosθ，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程．

7．已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x= 0的某个邻域内满足关系式

f（1+ sinx）-3f（1- sinx）= 8x+α（x），

其中α（x）是当x——→0时比x高阶的无穷小，且f（x）在x= 1处可导，求曲线y= f（x）在点（6, f（6））处的切线方程．

8．设

（1）证明f（x）是以π为周期的周期函数；

（2）求f（x）的值域．

9．作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值．

10．利用导数证明：当x＞1时，有不等式

11．设函数f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且f′（x）≠0．试证明：存在ξ, η∈（a, b），使得

12．设函数f（x）在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数，且f（-1）= 0, f（1）= 1, f′（0）=0，证明：在开区间（-1,1）内至少存在一点ξ，使f‴（ξ）= 3.

13．设f（x）在区间[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且f（a）= f（b）= 1，试证存在ξ, η∈（a, b），使得

eη-ξ[f（η）+ f′（η）]= 1.

14．证明：当0＜a＜b＜π时，

bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa.

自测练习题答案或提示

一、填空题

1.n! ; 2.; 3. - πdx; 4.（ln2-1）dx;5. 3; 6. y-8= 3（x-5）; 7. 2x+ y= 1; 8. y= x; 9. ; 10.λ＞2; 11. ;12. ; 13. ; 14. ; 15. ;16. ; 17.（- ∞,1）; 18. y= x+ ; 19. y= 2x+ 1; 20.2e3; 21.4dx-2dy.

二、选择题

1.（C）2.（B）3.（A）4.（D）5.（B）6.（B）7.（C）8.（D）9.（C）10.（B）11.（C）12.（B）13.（B）14.（C）15.（D）16.（D）17.（B）18.（D）19.（B）20.（B）21.（B）22.（B）23.（C）24.（D）25.（C）26.（B）27.（C）28.（D）

三、计算证明题

1. 2e2.

2. .

3. .

4.（1）当-2≤x＜0，即0≤x+ 2＜2时，

f（x）= kf（x+ 2）= k（x+ 2）[（x+ 2）2-4]= kx（x+ 2）（x+ 4）.

（2）当k= - 时，f（x）在x= 0处可导．

5.（1）

（2）f′（x）在（- ∞, + ∞）上连续．

6．切线方程为；法线方程为.

7. 2x- y-12= 0.

8.（1）作变量代换．

（2）值域为

9. h= 4r, V= πr3.

10．作辅助函数f（x）=（1+ x）ln（1+ x）- xlnx.

11．用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．

12．在x= 0处用泰勒公式展开．

13．两次用拉格朗日中值定理．

14．构造辅助函数

f（x）= xsinx+ 2cosx+ πx- asina-2cosa- πa,0＜a≤x≤b＜π，

再利用函数的单调性证明．