三、四个重要的等值公式
(一)公式的等值
上面提到,一个蕴涵式命题和它的逆否式是等值的。
两个公式等值,是指在任何情况下,它们的真假情况都一样。如果其中一个成立,则另一个成立;如果其中一个不成立,则另一个不成立。二者之间是当且仅当的充要条件关系。两个等值的公式,形式可以不一样,但表达相同的逻辑内容。
有的等值关系,靠直觉不难把握,如一个蕴涵式命题和它的逆否式,即“A→B”与“﹁B→﹁A”等值。但有的等值关系难以靠直觉来把握,如下例。
【思考2-15】 总经理说:如果提拔小张,就要提拔小李。
董事长说:我不同意。
以下哪项等同于董事长的意思?
A.如果提拔小张,则不能提拔小李。
B.小张要提拔,但小李不能提拔。
【解析】此题的正确答案是B。凭直觉很可能选A。为什么答案是B而不是A?因为A符合董事长的意思,但不等同于董事长的意思;而B等同于董事长的意思。
此题的结构如下:
总经理:张→李。
董事长:﹁(张→李)。
A.张→﹁李
B.张∧﹁李
答案是B。因为“﹁(张→李)”和“张∧﹁李”等值。一般地,“﹁(A→B)”和“A∧﹁B”等值。
逻辑学有判定公式等值的一般性方法,应对MBA测试不需要掌握这些方法,只需要记住并正确运用以下四个重要的等值公式:
﹁(A∧B)=(﹁A∨﹁B)
﹁(A∨B)=(﹁A∧﹁B)
﹁(A→B)=(A∧﹁B)
(A∨B)=(﹁A→B)
(二)德摩根律
以下两个等值公式称为德摩根律:
﹁(A∧B)=(﹁A∨﹁B)
﹁(A∨B)=(﹁A∧﹁B)
例如:
(并非:小张既高又胖)=小张不高或者小张不胖
(并非:小张失约或者他没有接到通知)=小张没有失约并且他接到了通知
记住:根据德摩根律,否定“且”,得到“或”;否定“或”,得到“且”。这要成为我们的逻辑直觉。
【思考2-16】 分别写出与下列命题等值的肯定命题。
(1)并非:小张既不高又不胖。
(2)并非:小张高而不胖。
(3)并非:小张不高但胖。
(4)并非:不游香山或者不登长城。
(5)并非:游香山或者不登长城。
(6)并非:不游香山或者登长城。
【解析】(1)小张高或者胖;(2)小张不高或者胖;(3)小张高或者不胖;(4)既游香山又登长城;(5)不游香山但登长城;(6)游香山但不登长城。
顺便提一下:﹁(要么A,要么B)=(A∧B)∨(﹁A∧﹁ B)。不难理解:否定“要么A,要么B”,就是断定“要么A,要么B”是假的;“要么A,要么B”只有在A和B二者都真或者都假的情况下是假的。
(三)条件关系的否定
否定“且”,得到“或”;否定“或”,得到“且”。那么,否定“则”得到什么呢?记住下面这个在应试中多有应用的公式:
﹁(A→B)=(A∧﹁B)
这个等式是怎么得到的?A→B的含义是:A是B的充分条件,即有A一定有B,不会有A而无B。用公式表示则为
(A→B)=﹁(A∧﹁B)
等式两边同时否定,得
﹁(A→B)=﹁﹁(A∧﹁B)
由此得到
﹁(A→B)=(A∧﹁B)
多种类型的MBA试题可能涉及上面这个公式,以下三道例题是三种不同的类型。可以用不同的解法对比一下:仅凭日常思维,也能解答下列各题;但借助上面这个公式,可使思考大为简明。
【例2-4】 总经理:如果提拔小张,那么要提拔小李。
以下哪项如果为真,说明总经理的上述承诺没有兑现?
A.小张没提拔,但小李提拔了。
B.小张和小李都没提拔。
C.小张提拔了,但小李没提拔。
D.小张和小李都提拔了。
E.小张和小李至少提拔了一个。
【解析】总经理承诺:张→李。
﹁(张→李)=(张∧﹁李)
答案是C。
【例2-5】 总经理:如果提拔小张,那么要提拔小李。
董事长:既然你作出了此承诺,那为什么提拔了小李,却没有提拔小张?
董事长最可能把总经理的承诺理解为:
A.小张和小李都不提拔。
B.小张和小李至少要提拔一个。
C.只有提拔小李,才能提拔小张。
D.只有提拔小张,才能提拔小李。
E.除非提拔小李,否则不提拔小张。
【解析】
总经理:张→李
董事长:李∧﹁张 =﹁(李→张)
董事长否定的是“李→张”,即“只有提拔小张,才能提拔小李”,这说明他把总经理的承诺理解为“只有提拔小张,才能提拔小李”。答案是D。
【例2-6】 总经理:如果提拔小张,那么要提拔小李。
董事长:只有提拔小张,才提拔小李。
人事部长:提拔小张,但不提拔小李。
如果上述三个承诺中只有一个兑现,可推出以下哪个结论?
A.小张和小李都被提拔。
B.小张和小李都未被提拔。
C.小张被提拔,小李未被提拔。
D.小张未被提拔,小李被提拔。
E.以上结论都不能被推出。
【解析】
总经理:张→李
董事长:李→张
人事部长:张∧﹁李
总经理和人事部长的承诺互相矛盾,必有一个兑现。因此,董事长的承诺没有兑现。由此可推出:
﹁(李→张)=李∧﹁张
即小张未被提拔,小李被提拔。答案是D。
上面三个等值公式都涉及否定。否定是一种重要的逻辑思考形式,MBA试题对否定多有涉及。以下思考题是关于否定的练习。
【思考2-17】 分别指出在何种情况下以下各项承诺没有兑现。
(1)不提拔李,但提拔赵。
(2)李和赵至少提拔一人。
(3)除非不提拔李,否则提拔赵。
(4)如果提拔李,就不能提拔赵。
(5)李和赵至多提拔一人。
(6)只有提拔李,才提拔赵。
(7)罚款,或者停业。
(8)要么罚款,要么停业。
【解析】要断定在何种情况下某项承诺没有兑现,方法是,先分析该项承诺的结构,并对其否定,否定所得出的结果,就是所要断定的情况。
第(1)项承诺的结构是:﹁李∧赵。则:
﹁(﹁李∧赵)= 李∨﹁赵
因此,在提拔李或不提拔赵的情况下,承诺(1)没有兑现。
第(2)项承诺的结构是:李∨赵。则:
﹁(李∨赵)=﹁李∧﹁赵
因此,在李和赵都不提拔的情况下,承诺(2)没有兑现。
第(3)项承诺的结构是:﹁(﹁李)→赵 = 李→赵。则:
﹁(李→赵)= 李∧﹁赵
因此,在提拔李但不提拔赵的情况下,承诺(3)没有兑现。
第(4)项承诺的结构是:李→﹁赵。则:
﹁(李→ ﹁赵)= 李∧赵
因此,在李和赵都提拔的情况下,承诺(4)没有兑现。
第(5)项承诺的结构是:﹁(李∧赵)= ﹁李∨﹁赵。则:
﹁(﹁李∨﹁赵)= 李∧赵
因此,在李和赵都提拔的情况下,承诺(5)没有兑现。
第(6)项承诺的结构是:赵→李。则:
﹁(赵→李)= 赵∧﹁李
因此,在提拔赵但不提拔李的情况下,承诺(6)没有兑现。
第(7)项承诺的结构是:罚款∨停业。则:
﹁(罚款∨停业)=﹁罚款∧﹁ 停业
因此,在既未罚款又未停业的情况下,承诺(7)没有兑现。
第(8)项承诺的结构是:要么罚款,要么停业。则:
﹁(要么罚款,要么停业)=(罚款∧停业)∨(﹁罚款∧﹁停业)
因此,在既罚款又停业或者既未罚款又未停业的情况下,承诺(8)没有兑现。
【例2-7】 小张是某公司营销部的员工。公司经理对他说:“如果你争取到这个项目,我就奖励你一台笔记本电脑或者给你项目提成。”
以下哪项如果为真,说明该经理没有兑现承诺?
A.小张没有争取到这个项目,该经理没有给他项目提成,但送了他一台笔记本电脑。
B.小张没有争取到这个项目,该经理没奖励给他笔记本电脑,也没给他项目提成。
C.小张争取到了这个项目,该经理给他项目提成,但并未奖励他笔记本电脑。
D.小张争取到了这个项目,该经理奖励他一台笔记本电脑并给他三天假期。
E.小张争取到了这个项目,该经理未给他项目提成,但只奖励了他一台台式电脑。
【解析】题干的承诺是:
争取到项目→(笔记本电脑∨提成)
这一承诺的否定是:
争取到项目∧﹁笔记本电脑∧﹁提成
即只有在“争取到项目,但既未得笔记本电脑又未获提成”的情况下,才能说明题干的承诺没有兑现。答案是E。
【例2-8】 在家电产品“三下乡”活动中,某销售公司的产品受到了农村居民的广泛欢迎。该公司总经理在介绍经验时表示:只有用最流行畅销的明星产品面对农村居民,才能获得他们的青睐。
以下哪项如果为真,最能质疑总经理的论述?
A.某品牌电视由于其较强的防潮能力,尽管不是明星产品,仍然获得了农村居民的青睐。
B.流行畅销的明星产品由于价格偏高,没有赢得农村居民的青睐。
C.流行畅销的明星产品只有质量过硬,才能获得农村居民的青睐。
D.有少数娱乐明星为某些流行畅销的产品做虚假广告。
E.流行畅销的明星产品最适合城市中的白领使用。
【解析】题干断定:
青睐→明星产品
其否定是:
青睐∧﹁明星产品
因此,A项最能质疑。
(四)“或”与“则”的等值置换
“或”与“则”的等值置换,是指以下等值公式成立:
(A∨B)=﹁A→B
(A→B)=(﹁A∨B)
上述两个等式不是独立的。也就是说,由其中的一个等式成立,显然可以证明另一个等式成立。
上述等值公式说明,在日常表达中,可以用“则”来替代“或”,或者用“或”来替代“则”,而不改变所表达的逻辑内容。
第一个等式是说,可以用“则”来替代“或”。这比较直观,例如,“小李当选或小张当选”,可以表达为“如果小李不当选,则小张当选”。
第二个等式是说,可以用“或”来替代“则”。这不太直观。例如,“如果天下雨,则地上湿”,可以表达为“天不下雨,或者地上湿”。
不管其直观程度如何,这种“或”与“则”的等值置换是普遍成立的。应对MBA逻辑测试,需要使这种等值置换如同德摩根律那样成为一种直觉。
“或”与“则”的等值置换,有一种简单的操作方法,这种方法可以使这种替代不必经过对命题具体内容的思考。
“或”与“则”的等值置换,无非是使原来“或”的左件和右件,适当地分别成为“则”的前件和后件;或者使原来“则”的前件和后件,适当地分别成为“或”的左件和右件。方法是:
● 第一,保持右件(后件)公式不变。
● 第二,改变左件(前件)公式的否定符。
所谓改变一个公式的否定符是指,如果该公式前端无否定符,则加上否定符;如果该公式前端有否定符,则删去该否定符。例如:
(﹁A∨B)=A→B
(A→﹁B)=(﹁A∨﹁B)
【思考2-18】 对下列各项进行“或”“则”等值置换:
(1)李和赵至少提拔一人。
(2)李和赵至多提拔一人。
(3)除非不提拔李,否则提拔赵。
(4)如果提拔李,就不能提拔赵。
(5)只有提拔李,才提拔赵。
(6)除非同时提拔李和赵,否则不提拔张。
【解析】
(1)李∨赵=﹁李→赵。
(2)﹁(李∧赵)= 李∨﹁赵 = 李→﹁赵。
(3)﹁(﹁李)→赵 = 李→赵 =﹁李∨赵。
(4)李→﹁赵 =﹁李∨﹁赵。
(5)赵→李 =﹁赵∨李。
(6)﹁(李∧赵)→﹁张 =(李∧赵)∨﹁张。
【例2-9】 临江市地处东部沿海,下辖临东、临西、江南、江北四个区,近年来,文化旅游产业成为该市的经济增长点。2010年,该市一共吸引全国数十万人次游客前来参观旅游。12月底,关于该市四个区吸引游客人数多少的排名,各位旅游局长作了如下预测。
临东区旅游局长:如果临西区第三,那么江北区第四。
临西区旅游局长:只有临西区不是第一,江南区才是第二。
江南区旅游局长:江南区不是第二。
江北区旅游局长:江北区第四。
最终的统计表明,只有一位局长的预测符合事实,则临东区当年吸引游客人次的排名是:
A.第一。
B.第二。
C.第三。
D.第四。
E.在江北区之前。
【解析】这是2012年一道有难度的真题。由题干,以下四个断定只有一真:
①临西第三→江北第四;
②江南第二→﹁临西第一;
③ ﹁江南第二;
④江北第四。
这是一种常见题型。解答这类题,首先分析诸断定中是否有两个互相矛盾(因为互相矛盾的断定必有一真);如果没有断定互相矛盾,则再分析哪个断定如果真,则必有另一断定也真,因而该断定假。
上述四个断定中,没有两个互相矛盾。是否有一个断定真,另一个也真呢?这里,把题干的前两个断定中的“则”,用“或”加以置换,可使解题思考豁然开朗。
①临西第三→江北第四=﹁临西第三∨江北第四;
②江南第二→﹁临西第一=﹁江南第二∨﹁临西第一。
由此,题干的条件可如下述:
①﹁临西第三∨江北第四;
②﹁江南第二∨﹁临西第一;
③﹁江南第二;
④江北第四。
如果③真,则②真,因此③假;如果④真,则①真,因此④假。由③和④假,得江南是第二,江北不是第四,即江北和江南都不是第四,第四只可能是临西或临东。如果①假,则临西第三;如果②假,则临西第一。①和②必有一假,因此,临西不可能是第四。结论:第四是临东。答案是D。
这是一道难度较大的真题,但上述整个解题思考不超过一分钟。从历年的真题来看,只要思考得法,都可以在一分钟内“搞定”,问题是如何“思考得法”。如果一道真题,文字解析篇幅很长,即使每一步都无误,也不会是实考所需要的。
【例2-10】 近日,某集团高层领导研究了发展方向问题。王总经理认为:既要发展纳米技术,也要发展生物医药技术;赵副总经理认为:只有发展智能技术,才能发展生物医药技术;李副总经理认为:如果发展纳米技术和生物医药技术,那么也要发展智能技术。最后经过董事会研究,只有其中一位的意见可被采纳。
根据以上陈述,以下哪项符合董事会的研究决定?
A.发展纳米技术和智能技术,但是不发展生物医药技术。
B.发展生物医药技术和纳米技术,但是不发展智能技术。
C.发展智能技术和生物医药技术,但是不发展纳米技术。
D.发展智能技术,但是不发展纳米技术和生物医药技术。
E.发展生物医药技术、智能技术和纳米技术。
【解析】题干概括:
王:纳米∧生物
赵:生物→智能=﹁生物∨智能
李:(纳米∧生物)→智能
=﹁(纳米∧生物)∨智能
=﹁纳米∨﹁生物 ∨智能
即:
王:纳米∧生物
赵:﹁生物∨智能
李:﹁纳米∨ ﹁生物∨智能
除B项外,其余各项都断定发展智能技术。如果发展智能技术,则赵和李的意见都被采纳,违反条件,因此,除B项外,其余各项都可排除。
在B项断定的情况下,王的意见被采纳,赵和李的意见不能被采纳,即只有一位的意见被采纳,符合题干。
答案是B。
(五)综合样题
【例2-11】 要发展,必须稳定。
以下哪项的意思都和题干的断定相同?
Ⅰ.保持稳定,就能发展。
Ⅱ.除非稳定,否则不能发展。
Ⅲ.或者稳定,或者不发展。
A.只有Ⅰ。
B.只有Ⅱ。
C.只有Ⅲ。
D.只有Ⅱ和Ⅲ。
E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
【解析】题干:发展→稳定。
Ⅰ.稳定→发展 ×
Ⅱ.﹁稳定→﹁发展 √
Ⅲ.稳定∨﹁发展 √
答案是D。
【例2-12】 航空公司承诺:只要不起雾,飞机就按时起飞。
以下哪项如果为真,说明航空公司的承诺没有兑现?
Ⅰ.没起雾,但飞机没按时起飞。
Ⅱ.起雾,但飞机仍然按时起飞。
Ⅲ.起雾,飞机航班延期。
A.只有Ⅰ。
B.只有Ⅱ。
C.只有Ⅲ。
D.只有Ⅱ和Ⅲ。
E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
【解析】承诺:
﹁起雾→起飞
否定该承诺:
﹁(﹁起雾→起飞)
=﹁起雾∧ ﹁起飞
答案是A。
【例2-13】 鱼和熊掌不可兼得。
以下哪项断定符合题干的断定?
Ⅰ.鱼和熊掌皆不可得。
Ⅱ.鱼不可得或熊掌不可得。
Ⅲ.如果鱼可得则熊掌不可得。
A.只有Ⅰ。
B.只有Ⅱ。
C.只有Ⅲ。
D.Ⅱ和Ⅲ。
E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
【解析】
﹁(鱼∧熊掌)(题干)
=﹁鱼∨﹁熊掌(Ⅱ)
=鱼→﹁熊掌(Ⅲ)
≠﹁鱼∧﹁熊掌(Ⅰ)
答案是D。