01　半人马座α

1.1 什么是三体问题？

欢迎踏上“宇宙奥德赛”的第二段旅程，即穿越银河系之旅。在这场旅行的第一站，我们要拜访的是离地球最近的恒星系统：半人马座α。它也是中国著名科幻作家刘慈欣笔下的三体世界的原型（图1.1）。

不过在正式游览半人马座α之前，我想先科普一下，到底什么是三体问题。

一言以蔽之，三体问题就是研究3个物体在自身万有引力作用下的运动规律的问题。它关心的是，如果知道了某个时刻3个物体的质量、位置和速度，能否准确预言它们未来的运动轨迹。

第一个研究三体问题的人，是我们的老朋友艾萨克·牛顿爵士。在传世巨著《自然哲学的数学原理》中（图1.2），他研究了月球在地球和太阳引力影响下的运动。

在此后的数百年间，有数不清的数学家和物理学家都研究过这个三体问题。限于篇幅，我只介绍其中最重要的3个牛人。

第一个牛人是瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉（图1.3）。

历史上有一大堆特别牛的数学家。但能牛到像欧拉这么逆天的，实在是凤毛麟角。为了说明此人逆天的程度，让我们从他一生中最黑暗的时刻说起。

1766年，也就是欧拉59岁的那一年，他的左眼因为白内障而失明。由于他的右眼早在20多年前就已经失明了，这让欧拉一下就掉进了黑暗的深渊。

你不难想象，对一个整天写写算算的数学家而言，双目失明到底意味着什么。这几乎就是末日降临。

为什么要说“几乎”呢？是因为历史上有一个数学家从绝望中挺了过来，在双目失明的情况下，依靠匪夷所思的记忆力和心算能力继续从事数学研究，后来竟然又发表了将近200篇数学论文。你可能已经猜到，这个强悍到变态的怪物，就是欧拉本人。

我举一个例子，你就能体会到欧拉变态的程度了。双目失明以后，他曾经心算过一个17项相加的算式，即（这里的“！”代表数学中的阶乘）；事实上，他一直算到了小数点后50位，都没有出现任何错误！

欧拉一生中总共发表了800多篇论文，从而成为历史上发表论文数第二多的数学家，仅次于1983年沃尔夫数学奖得主保罗·埃尔德什。此外，他的论文质量也傲视群雄。有一个数学杂志，曾经组织了一群知名数学家来评选历史上最美的数学公式。结果在前5名中，有4个公式都是欧拉提出的。排名第一的就是著名的欧拉恒等式：e^iπ+1=0。

除了著作等身，欧拉也是一个很有眼光的伯乐。他发掘过的最有名的千里马，就是我要为你介绍的第二个牛人：意大利大数学家约瑟夫·拉格朗日（图1.4）。

拉格朗日也是一个旷世奇才。他很小的时候就考上了都灵大学。不过刚上大学的拉格朗日，其职业规划是成为一名律师。17岁那年，他偶然看到哈雷写的一篇介绍微积分的文章，这才对数学产生了浓厚的兴趣。

依靠自学，拉格朗日很快就补上了必要的基础，然后开始自己做一些数学研究。不久后，他提出了一种新的数学理论，那就是著名的变分法。

兴奋不已的拉格朗日立刻给曾经做过相关研究的欧拉写信，描述了自己的新理论。这封信让欧拉大为赞赏。为此，他甚至压下了一篇自己已经写好、内容非常相似的论文，好让拉格朗日的论文能够率先发表。

此后，拉格朗日又把变分法应用于牛顿力学，并且推导出了分析力学中最核心的公式：欧拉-拉格朗日方程。应该有不少数学系或物理系的同学，都曾深受此方程的折磨。

值得一提的是，拉格朗日因为提出欧拉-拉格朗日方程而名动天下的时候，还是一个20岁的毛头小伙子。换句话说，从对数学一无所知，到足以在数学史上青史留名，只花了拉格朗日短短3年的时间。

无论是欧拉还是拉格朗日，都在三体问题上倾注了大量的心血。下面，我就来讲一讲这两人对三体问题的主要贡献。

欧拉和拉格朗日研究的课题是，在两个大型天体构成的双体系统中，是否存在一些特殊的位置，让所有处在这些位置上的小天体，都能在两个大型天体的引力的作用下保持静止？

他们的研究结果表明，一共存在5个这样的位置（图1.5）。欧拉发现了其中的3个位置，也就是图1.5中的L1、L2和L3。这3个点位于两个大型天体（以太阳和地球为例）中心的连线上。其中L1点位于太阳和地球之间，L2点位于地球的外侧，而L3点位于太阳的外侧、很靠近地球公转轨道的地方。而拉格朗日则发现了另外的两个位置，也就是图中的L4和L5。这两点都位于地球绕太阳公转的轨道平面上，并且与太阳和地球构成了等边三角形的3个顶点。这5个特殊的位置，被后人称为拉格朗日点。

位于拉格朗日点的小天体，只依靠太阳和地球的引力就可以一直停留在拉格朗日点。这意味着，如果能把人造卫星或空间望远镜送到拉格朗日点，它们就能在不依赖额外燃料的情况下，一直相对于地球保持静止。因此，拉格朗日点是放置人造卫星或空间望远镜的最理想的位置。

不过，在这5个拉格朗日点中，L3、L4和L5点都离地球颇为遥远，以目前的技术还很难到达。L1点虽然离地球较近，但会受到比较严重的太阳风的干扰。因此，人们一般都会把人造卫星或空间望远镜送到L2点上。

拉格朗日点的发现为三体问题的研究带来了一线曙光。人们一度乐观地认为，总有一天人类能彻底解决三体问题；换言之，可以解析算出所有三体系统的运动轨迹。但到了19世纪末，这个美好的愿望因为一个人写的一篇论文而破灭。这个人就是我要为你介绍的第三个牛人：法国大数学家亨利·庞加莱（图1.6）。

庞加莱有一个绰号：世界上最后一个数学全才。下面这件事最能说明此人强悍到何种地步。在20世纪初期，他曾与另一个大数学家、德国哥廷根学派领袖克莱因在自守函数领域展开过一场异常惨烈的竞争。表面上看，两人最后平分秋色，但实际上，克莱因可谓兵败如山倒。因为这场竞争拖垮了克莱因的身体，让他研究数学的黄金时代早早终结。而庞加莱则游刃有余，在与克莱因展开竞争之余，还抽空建立了另一门数学分支。

言归正传。1887年，庞加莱参加了一个为庆祝瑞典国王奥斯卡二世60岁大寿而举办的数学竞赛。此竞赛的主题就是三体问题。数学家们原本希望能通过举办这次大赛来促进三体问题的解决，但现实却无情地粉碎了他们的梦想。

在这个数学竞赛中，庞加莱提交了一篇堪称惊世骇俗、后来让他名动天下的论文。他从数学上证明了，三体问题根本没有解析解；换言之，根本无法写出解析的数学公式，来精确预言三体系统未来的运动轨迹。更恐怖的是，三体系统存在很多无法精确预测其未来运动状态的数值敏感区，这让它变成了一个真正意义上的混沌系统。

听起来有点云里雾里，是吧？没关系。让我借助一个在中学物理中最常见的例子，来解释一下什么是数值敏感区和混沌系统。

图1.7是一个单摆。一根长为10米、质量可以忽略不计的轻杆，一端固定，另一端连着一个质量为m的小球。假设地球的重力加速度是10米/秒。开始的时候，小球静止在最低端的位置。如果给小球一个初速度，就可以让它摆动起来。很明显，初速度越大，小球所能达到的最大高度就越高。这个高度可以通过一个简单的能量守恒公式来计算，其中m是小球的质量，v是小球的初速度，g是地球的重力加速度，而h是小球所能达到的最大高度。

好了，现在最关键的问题来了。要是给静止的小球一个方向水平向右、大小为20米/秒的初速度，小球最终的运动状态将会如何？

用前面说的能量守恒公式，很容易算出这个20米/秒的初速度，恰好能让单摆沿逆时针的方向旋转180°，并且达到整个单摆系统的最高点（即高度为20米的地方）。换句话说，20米/秒的初速度会让此系统处于一个极端微妙的临界状态。此后，哪怕是最微小的改变，都会对单摆系统的运动状态产生巨大的影响。比如说，如果真实初速度比这个临界初速度大一亿分之一，小球就会继续沿逆时针的方向从左边落下；如果真实初速度比这个临界初速度小一亿分之一，小球就会沿顺时针的方向从右边落下。换句话说，如果一个物理系统的初始条件恰好处于临界状态（在此例子中就是20米/秒），那么初始条件的微小改变会造成最终结果的惊天巨变。这个临界的初始状态，就是所谓的数值敏感区。

处于数值敏感区的物理系统，其最终的运动状态就无法预测了。原因很简单。我们使用的测量仪器精度有限，根本不可能测出一亿分之一的速度变化。换言之，无论真实初速度比20米/秒大一亿分之一还是小一亿分之一，实验仪器测出的数值全都是20米/秒。这样一来，我们会发现同样是20米/秒的初速度，有时会让小球从左边掉落，有时又会让小球从右边掉落。这种由于处于数值敏感区而导致的结果无法预测的诡异现象，就是所谓的混沌现象。

不像单摆系统只有一个数值敏感“点”,三体系统有一大堆数值敏感区（图1.8）。这也让三体系统变得异常复杂艰深和变幻莫测。当然，这也是数学家们把三体问题列为世纪难题的最重要的原因。

在了解了什么是三体问题，以及三体问题为何如此复杂以后，让我们来聊聊半人马座α的三体问题。

半人马座α由3颗恒星构成，分别叫A星、B星和C星。C星离地球最近，只有4.25光年（光跑4.25年的距离），所以中国人又把它称为比邻星。

在刘慈欣笔下的《三体》中，三体世界一直处于恒纪元和乱纪元不断交替的状态。在恒纪元中，三颗恒星的运动会非常规律，从而让三体人有一段风调雨顺的好时光来发展三体文明；而到了乱纪元，3颗恒星的运动会变得杂乱无章，从而给三体文明带来灭顶之灾。

那么在真实的三体世界，即半人马座α，是否也存在恒纪元和乱纪元呢？答案是否定的。

看看表1.1，你就知道其中的道理了。根据目前的天文观测，半人马座αA星和B星的间距，会在10～35倍日地距离（日地距离约为1.5亿千米）之间变动。两者靠得最近时，相当于从太阳到土星的距离；两者离得最远时，相当于从太阳到冥王星的距离。但比邻星却与这两颗恒星相距甚远，约为日地距离的13 000倍。

这意味着，半人马座α的3颗恒星，其实按照以下的规律运动：首先，A星和B星构成了一个彼此绕转的双星系统，大概花80年可以完成一圈公转；其次，AB星作为一个整体，再与比邻星构成了一个彼此绕转的两体系统，大概花55万年可以绕转一圈。也就是说，半人马座α本质上并不是一个运动极端复杂的三体系统，而是一个运动相当规律的两体系统。因此，真实的三体世界，其实 只有永恒的恒纪元。

我们已经介绍完了三体问题。1.2节，我们将近距离地看看这个三体世界。