3.2 基于粗糙集的不确定知识表示方法

传统的知识表示模型对知识的描述是确定、清晰的，即被描述的对象具有或不具有某种属性是明确的。然而，在现实世界中，人们常常要在领域信息不完整、不确定、不精确的前提下完成对事物的认识、分析、推理、判断、预测和决策。这种智能行为往往要求人们对未知的信息进行估计、推测，对不完整数据进行分析、处理，对已知的证据进行分辨、扬弃。

粗糙集理论是1982年由Z.Pawlak提出的一种刻画不完整性和不确定性的数学理论，它从新的角度对知识进行了定义，把知识看作关于论域的划分，从而认为知识是有粒度的，知识的不精确性是组成论域知识的颗粒太大引起的。粗糙集理论的主要特点之一是它仅利用数据本身所提供的信息，不需要任何附加信息或先验知识，从这个角度来说它比证据理论、模糊集理论、统计学等更为方便，它是一种有效地分析和处理不确定知识的新的数学工具。文献[3]中基于粗糙集理论，定义了用于知识表示的特征集和原子概念，并在此基础上提出了一种基于粗糙集理论的知识表示特征集模型[4]。

3.2.1 知识、划分与等价关系

知识在不同的范畴内有多种不同的含义。在粗糙集理论中，知识被认为是一种对对象进行分类的能力。

定义1：设U≠Φ是人们感兴趣的对象组成的有限集合，称为论域。任何子集X⊆U，称为U中的一个概念或范畴。空集也被认为是一个概念。U中的一族概念就称为关于U的知识。

定义2：设U≠Φ是论域，C={X1,X2,…,Xn}，使得Xi⊆U，Xi≠Φ，Xi∩Xj=Φ，对i≠j，i,j=1,2,…,n，且，则称C为一个划分。Xi称为划分C的一个等价类。U上的一族划分称为关于U的一个知识库。U上的一个划分与其上的一个等价关系是等价的。每一个等价关系描述的是论域U上的某一个属性，即属性亦可看作一个等价关系。

3.2.2 信息表、不可分辨关系和基本集

一个知识表示系统S可表示为S=<U,At,Val,f >，U是论域，At是属性集，Val=∪a∈AtVala是属性值的集合，f:U×At→Val是一个信息函数，它指定U中每一对象的属性值。由这样的属性−值对就构成了一张表，称为信息表。有时，针对某类问题，At=C∪D，C和D分别称为条件属性和决策属性，此时称信息表为决策表。

不可分辨关系是粗糙集理论中一个十分重要的概念，它是一族等价关系集合的最细划分，该关系中的每一个等价类不能由原等价关系族的任一等价类再细分，称之为基本集合。不可分辨关系揭示了知识的颗粒状结构，基本集就是组成论域知识的颗粒。

3.2.3 粗糙集的下近似、上近似及边界区

给定一个有限的非空集U，称为论域，R为U上的一族等价关系。R将U划分为互不相交的基本等价类，二元对K=(U,R)构成一个近似空间。

定义3：设U≠Φ是论域，X⊆U，ω为U中的一个对象，[ω]R表示所有与ω不可分辨的对象组成的集合，即由ω决定的等价类。当集合X能表示成基本等价类组成的并集时，称集合X是可精确定义的；否则，集合X只能通过逼近的方式来刻画。

集合X关于R的下近似：

集合X关于R的上近似：

集合X的边界区：

R_(X)实际上是那些根据已有知识判断肯定属于X的对象所组成的最大集合，亦称X的正域，记作POS(X)。由根据已有知识判断肯定不属于X的对象所组成的集合称为X的负域，记作NEG(X)。

R¯(X)是那些可能属于X的对象所组成的最小集合。显然，R¯(X)+NEG(X)=U。

Bn(X)为集合X的上、下近似之差。如Bn(X)=Φ，则称X关于R是清晰的；反之，如Bn(X)≠Φ，则称集合X是关于R的粗糙集。

3.2.4 知识表示特征集模型

知识表示系统的基本成分是研究对象的集合，关于这些对象的知识是通过指定对象的属性及其属性值来描述的。把这种描述对象的属性−值对看成对象所具有的某种特征。

定义4：设U≠Φ是论域，Ω ={ω1,ω2,…,ωm}是对象集，Ω⊆U，Ω中任何对象所具有的特征所组成的集合称为特征集T={τ1,τ2,…,τn}。这些特征可由如下的属性−值对表示：τ=(a,v)，a∈At，v∈Val。由特征集构成的表称为特征表。

对于任一对象ω∈Ω，如ω可由τ描述，则这种关系可表示为(ω,τ)∈Γ，Γ表示特征关系。于是得到：

定义5：在论域U中，已知一特征集T，对于每个τ∈T满足下式：

则称[τ]为τ特征集。

同理，非τ特征集[]可定义如下：

利用[τ]和[]可构造如下原子集：

称[α0],[α1],…,[αN]为原子概念，所有原子概念集称为概念空间C。事实上，每个原子概念都是一种布尔表示的等价类，在同一等价类中所有对象都是不可区分的，这些等价类共同形成了对论域U的划分。原子概念是信息系统知识表示的最基本范畴，或者说是构成知识的最小“颗粒”。很显然，颗粒越细，知识表示越清晰；反之，颗粒越粗，知识表示越粗糙。

根据粗糙集理论对于知识的定义，可以用原子集/原子概念来对知识A⊆U进行描述和表达：若A可由一族原子概念精确描述，即A可表示成原子集的并集，则A是确定性知识，是可精确定义的；反之，A是不确定性知识，只能粗糙定义。显然，由于原子集对U的划分不可能是无限的，知识表达的最小单元（颗粒）肯定存在，因此，概念空间的表达能力是有限的，在一定前提下，可用原子集对知识进行精确表示，得到确定性知识。而更多的情况下，我们不得不面对不确定性知识表达的问题。对于不能用原子集精确表示的不确定性知识，采用逼近的方式来描述，即使用两个精确集——上近似和下近似来表示。知识A的下近似、上近似分别表示如下：

由此可得：

（1）若A_=A¯，则称A可用原子集精确定义，即A是确定性知识。

（2）若A_≠A¯，则称A不能用原子集精确定义，即A是不确定性知识。对不确定性知识A的描述又可分为四种情况：

① 若A_≠Φ，且A¯≠U，则称A为粗糙可定义的；

② 若A_=Φ，且A¯≠U，则称A为内不可定义的；

③ 若A_≠Φ，且A¯=U，则称A为外不可定义的；

④ 若A_=Φ，且A¯=U，则称A为完全不可定义的。

3.2.5 讨论

知识的精确表达是相对的，是在一定范畴和一定前提条件下的。选取的特征集不同，就可以得到不同的原子概念，故确定的知识可能变为不确定的知识，不确定的知识亦可能变为确定的知识。特征集的大小变化可导致原子概念的规模发生变化，同样可使确定的知识和不确定的知识相互转变。