2 自然数与人工数

1.最纯的数学

人们，特别是数学家，通常将数学视为一切科学的女王，而作为女王，它自然要避免与其他分支出现门不当户不对的联姻。例如，人们曾请希尔伯特在“纯数学与应用数学联合代表大会”上致开幕词，以消除人们在这两派数学家之间感觉到的敌意。他是以如下方式开始他的演讲的：

人们经常说，纯数学与应用数学相互敌对。这并不是真的。纯数学和应用数学之间并无敌意。纯数学与应用数学之间从来没有敌意。纯数学与应用数学之间永远也不会有敌意。纯数学与应用数学之间不可能有敌意，因为它们之间其实没有任何共同之处。

尽管数学家希望数学是纯粹的，希望与任何其他科学保持距离，但科学，特别是物理学，却喜欢数学，尽可能地与它建立“兄弟之情”。事实上，人们几乎正在使用纯数学的每一个分支，解释物质宇宙的这个或者那个特点，其中包括使用抽象群论、非交换代数和非欧几何，虽然这些分支已经被人视为最纯粹、最不可能有应用范围的数学。

然而，数学还有一个很大的分支，直到今天它还像一个超凡的隐士，全然不顾世间任何有目的的应用而遗世独立，只是作为脑力训练的体操让人望而生畏，因此取得了“纯洁之冠”的美誉。这个分支就是所谓的“数论”，其实是“整数的理论”，是纯数学思维最古老而又最错综复杂的产物。

尽管它看上去有些奇怪，但数论是最纯粹的数学类型，我们可以在某种意义上称其为经验科学，甚至是实验科学。事实上，它的大部分命题都是人们试图应用数字做各种不同工作的结果，就像物理学定律是人们试图对物质对象做不同的工作的结果一样。而且，这些命题确实有一些是用数学方法证明的，但还有一些尚未摆脱纯粹经验的出身，因此在向世界上最杰出的数学家提出挑战。

我们可以以质数问题作为一个例子，也就是那些不能被两个或者更多的较小整数的乘积来表示的数字，如1，2，3，5，7，11，13，17等就是质数，而12是非质数，因为可以把它写成2×2×3的形式。

有无限多个质数吗？或者存在着一个最大的质数，比它大的一切整数都可以表示为我们已经知道的所有质数的乘积的形式吗？欧几里得（Euclid）第一个尝试回答这个问题，并做出了一个非常简单而又优雅的证明，说明质数的数目超越了任何限制，也就是说并不存在“最大的质数”这种事物。

为了检验这个问题，让我们暂时做一个假定，认为确实只存在着有限数目的质数，而且指定字母N代表我们已知的这个最大的质数。现在让我们计算所有质数的乘积，然后加上1。我们可以用如下形式表达这个运算：

1×2×3×5×7×11×13×…×N+1。

这个计算得出的数字自然要比人们所说的那个“最大的质数N”大得多。同样明显的是，由于这种运算的安排，我们可以看出，这个数字无法被包括N的任何质数整除，因为它除以任何质数都会有余数1。

这就是说，这个数或者本身是一个质数，或者可以被一个大于N的质数整除。无论哪种情况，我们原来关于N是最大质数的假定都是错误的。

人们称这种证明方法为归谬法，即在推导中导出了矛盾的结果。这是数学家喜欢用的方法之一。

一旦我们知道质数的数目是无限的，我们就可以提出一个问题：是否存在着某种简单的方法，能够让我们把它们按照规律一个接一个地罗列出来，不漏掉任何一个。这种方法是古希腊哲学家、数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）首先提出的，人们通常称其为“筛法”。你需要做的就是：按顺序写下所有的整数1，2，3，4，……，然后画掉2的所有倍数，然后画掉余下数字中3的所有倍数，然后是5的所有倍数，以此类推。埃拉托色尼的筛法对前100个数字的应用（图9），其中包括26个质数。通过使用上述简单的筛法，人们已经编制了10亿以内的质数表格。

然而，如果能够找到一个可以让我们迅速地、自动地、连续不断地找到质数的公式，那么事情就会简单得多了。在许多个世纪中，数学家们进行了无数努力，但这样一个公式仍然暂付阙如。1640年，著名的法国数学家费马（Fermat）以为自己找到了一个只会产生质数的公式。

他发明的公式是+1，其中n是1，2，3，4等连续整数。

使用这个公式，我们发现：

22+1=5，

+1=17，

+1=257，

+1=65,537。

从中得出的每一个数字都确实是质数。将近一个世纪后，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）证明，费马的第五项计算+1的结果为4,294,967,297，但这个数并非质数，而是6,700,417和641的乘积。于是，费马计算质数的公式宣告失败。

另外一个引人注目的公式产生了许多个质数，其为

n2-n+41，

其中n也取1，2，3等自然数的值。人们证明，当n等于1到40时，所有根据公式做出的计算结果全都是质数，但不幸的是，公式的第41次运算惨遭败绩，事实上

（41）2-41+41=412=41×41，

这是一个平方数，不是一个质数。

又有人进行了另一次尝试，这次的公式是

n2-79n+1601，

到n=79时它还一路高奏凯歌，但在n=80时不幸落败！

就这样，找出一个只会产生质数的普遍公式的问题仍然未能得到解决。

数论定理的另一个有趣的例子是证明或者否证1742年提出的“哥德巴赫猜想”。这一猜想宣称：任何偶数都可以表达为两个质数之和。这很容易证明，因为在应用一些简单的例子时，这个猜想是正确的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3等。但是数学家们在这方面进行了无数推算，他们都无法给出确定的证据，证明这一猜想准确无误，或者找到一个例子，能够否证这个猜想。直到1931年，一位名叫施尼尔曼（Schnirelmann）的苏联数学家才向最后的证明走出了建设性的一步。他能够证明，每一个偶数是不多于30万个质数之和。更近一步，在施尼尔曼的“30万个质数之和”与人们想要的“两个质数之和”之间的鸿沟被引人注目地缩小了，因为另一位名叫维诺格拉多夫（Vinogradoff）的苏联数学家将之减少到了“4个质数之和”。但从维诺格拉多夫的四个到哥德巴赫的两个之间，这最后的两步似乎是最为艰难的，谁也不知道，人类究竟还需要几年时间，或者是需要几百年时间，才能跨越这两步，证明或者否证这个艰难的命题。

也就是说，我们希望得到一个公式，能够自动地得到任何一个我们设定的大数以下的所有质数，但距离实现这个希望何其遥远。而且，还没有任何人哪怕做出一项保证，确认可以得到这样一个公式。

我们现在或许可以提出一个更有限的问题，就是在给定的整数区间内，质数相对于所有整数有多大的百分比。当我们探查的数字越来越大时，这个百分比是否大致恒定？如果不是，它会增大还是减小？通过在已有的表格中为质数的数目计数，我们可以以经验的方式回答这个问题。我们通过这种方法发现，存在着26个小于100的质数，168个小于1000的质数，78,498个小于100万的质数，50,847,478个小于10亿的质数。将质数的这些数目除以对应的整数区间，我们得到了如下表格：

这份表格首先显示的是，质数的相对数目随着整数变大而逐步变小，但完全没有出现某个数值之后不会再有质数的迹象。

是否有一种简单的数学方法，显示质数的这种百分比有着随数字变大而下降的趋势呢？是的，有这样的方法，而且适用于质数平均分布情况的这项定律是整个数学科学最重要的发现之一。它直截了当地宣称：在从1到任何更大的数字N之间的数字区间中，质数的百分比约等于N的自然对数的倒数。而且N越大，精确度就越高。

在上一页的表格中，第四列是N的自然对数的倒数。如果你将这些数值与第三列的数值加以比较，就会发现其中的符合程度相当高，而且随着N的增大，二者越来越接近。

与数论中许多其他命题一样，以上陈述的这个质数数量定理最先是根据经验发现的，而且在很长时间内都没有经过严格的数学证明确认。直到19世纪快结束的时候，法国数学家阿达马（Hadamard）和比利时数学家瓦莱·普桑（Vallée Poussin）才成功证明了这个定理，但他们使用的方法过于复杂与困难，不适于在这里解释。

如果没有讲述著名的费马定理，那我们有关整数的讨论将以遗憾收场。这个定理与质数的性质关系不大，我们以此作为这类问题的一个例子。这一问题的根源可以一直追溯到古埃及，那时每个有经验的木匠都知道，如果一个三角形的三边长度是3:4:5的比率，则三个角中必有一个直角。事实上，古埃及人用这样的三角形来制造木匠的曲尺，现在人们称这样的三角形为埃及三角形。注4

注4：小学几何中对毕达哥拉斯定理的证明中说的是：32+42=52。

公元3世纪，亚历山大城的丢番图（Diophantns）开始考虑，3和4是不是唯一一对可以令其平方和等于第三个数的平方的整数。他能够证明还有其他具有同样性质的三数组（实际上，这样的三数组有无穷多个），并提出了找到它们的一般法则。现在人们称三条边的长度都是整数数值的直角三角形为毕达哥拉斯三角形，埃及三角形是其中的第一个。可以用一个代数方程简单地陈述构建毕达哥拉斯三角形的问题，其中的x、y和z都必须是整数：注5

注5：使用丢番图的一般规则（取任意两个可令2ab成为完全平方数的数值a与b，令x=a+，y=b+，z=a+b+，则x2+y2=z2，这一点很容易通过普通代数知识加以验证），我们可以建立一个所有可能的解的表格，这个表格的前面几行是这样的：32+42=52（埃及三角形），52+122=132，62+82=102，72+242=252，82+152=172，92+402=412，102+242=262。

x2+y2=z2

1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》（Arithmetica）的法文新译本，其中有关于毕达哥拉斯三角形的讨论。当读到这份讨论时，他在书的空白处写下了一份简短的夹注，大意是：虽然方程x2+y2=z2有无穷多组整数解，但当n是大于2的整数时，任何形如

xn+yn=zn

的方程都没有整数解。

“我确实发现了一个非常棒的证明，”费马补充道，“但书的空白处太小了，没法写下来。”

费马去世以后，人们在他的图书馆里发现了这本丢番图的著作，他在书页空白处的夹注的内容也为世人所知。这是三个世纪之前的事，也是从那时起，每个国家最优秀的数学家都试图证明那个费马在写下夹注时想到的定理，但一直到今天都还没有人能够证明注6。当然，人们在费马定理的证明上已经取得了显著进展，甚至通过这些尝试建立了一个崭新的数学分支，叫作“理想理论”。欧拉证明了方程x3+y3=z3和x4+y4=z4没有整数解；狄利克雷（Dirichlet）证明了方程x5+y5=z5没有整数解。而通过几位数学家的共同努力，我们现在有了当n为小于269的任何数值时费马方程没有整数解的证明。但我们还没有找到一个一般证明，即当指数n为任何整数值时方程没有整数解的证明，而且人们越来越怀疑，费马本人当时要么没有任何证明，要么证明中有错误。后来有人慷慨解囊，提供了一份奖项，悬赏10万德国马克征求证明，这让人们对证明定理趋之若鹜。可是，当然了，一切见钱眼开的业余玩家的努力没有得到一个铜板的回报。

注6：该定理已经由英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles）于1995年证明。——译者注。

当然，这个定理本身是错误的可能性一直存在，或许有一天，人们会发现两个整数的同次幂相加得到第三个整数的同次幂。但因为要找到这样一个例子就只能使用大于269的指数，因此现在的寻找绝非易事。