第五节　直梁弯曲

一、弯曲变形的概念

当杆件受到垂直于杆轴线的力或力偶作用而变形时，杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。如图2-52所示高大的塔设备受风载荷作用；图2-53所示起重机的横梁受自重和起吊重物的作用；图2-54所示卧式容器受到自重和内部物料重量的作用等都是产生弯曲变形的典型实例。工程上把以弯曲变形为主的杆件统称为梁。

如果梁的轴线是在纵向对称平面内产生弯曲变形，则称为平面弯曲，如图2-55所示。平面弯曲是弯曲问题中最基本和最常见的情况，故本节只研究直梁的平面弯曲问题。

常见的梁有以下三种。

（1）悬臂梁

一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图2-52所示，高塔设备就可简化为悬臂梁。

（2）简支梁

一端为固定铰链支座，而另一端为活动铰链支座的梁称为简支梁。如图2-53所示，起重机的横梁即可简化为一简支梁。

（3）外伸梁

简支梁的一端或两端伸出支座以外的梁称为外伸梁。如图2-54所示，放在两个鞍座上的卧式容器可简化为一外伸梁。

简支梁或外伸梁两个支座间的距离称为梁的跨度。

二、直梁弯曲时的内力

1.剪力和弯矩

梁在外力作用下，内部将产生内力。如图2-56所示，为求出梁横截面1-1上的内力，假想沿1-1截面将梁截为两段，取其中一段（此处取左段）作为研究对象。在这段梁上作用的外力有支座约束反力R_A。截面上的内力应与这些外力相平衡。由静力平衡方程∑F_y=0判断截面上作用有沿截面的力Q，截面上还应有一个力偶M，以满足平衡方程∑M_o=0，该力偶与外力对截面1-1形心O的力矩相平衡。内力Q称为横截面上的剪力。内力偶M称为横截面上的弯矩。因此，梁弯曲时的内力包括剪力Q与弯矩M。

运用静力平衡方程求图2-56中1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。

利用静力平衡方程可先求出支座反力R_A和R_B。1-1截面，如图2-56（b），取左段为研究对象。

由方程

∑F_y=0，R_A-Q₁=0

得

Q₁=R_A

由

∑M_o=0，M₁-R_Ax₁=0

得

M₁=R_Ax₁

用同样的方法，可求出2-2截面上的剪力和弯矩

Q₂=R_A-F

M₂=R_Ax₂-F（x₂-a）

上面是取横截面1-1，2-2的左段梁为分离体进行分析所得到的剪力和弯矩。如果取横截面1-1，2-2的右段梁为分离体进行分析，也可求得同样大小的剪力和弯矩，但方向和转向相反。这说明梁横截面上内力的计算，与所取的分离体（左段梁或右段梁）无关。为方便起见，通常是选取外力比较简单的左（右）段梁为分离体。如在计算横截面2-2上的剪力和弯矩时，由于右段梁只有支座反力R_B作用，故取右段梁为分离体进行计算较为方便，如图2-56（d）所示。

用截面法计算横截面上的剪力和弯矩，是求弯曲内力的基本方法。在这一方法的基础上，可直接由梁上的外力求截面上的剪力与弯矩。由上面的计算可以得到剪力、弯矩的计算法则如下。

某截面上剪力等于此截面一侧所有外力的代数和。

某截面上弯矩等于此截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。

即

Q=∑F

M=∑M_o（F）

为了使从左右两段梁上求得的内力符号一致，根据梁的变形情况，对剪力与弯矩的符号作如下规定：以某一截面为界，左右两段梁发生左上右下的相对错动时，该截面上剪力为正，反之为负，如图2-57（a）、（c）所示。若某截面附近梁弯曲呈上凹下凸状时，该横截面上的弯矩为正，反之为负，如图2-57（b）、（d）所示。

由图2-57（a）、（c）可看出，截面左侧向上，右侧向下的外力产生正剪力；截面左侧向下，右侧向上的外力产生负剪力。因此，由外力计算剪力时，截面左侧向上的外力为正，向下的外力为负；截面右侧情况与此相反，即“左上右下为正”。外力代数和为正时，剪力为正，反之为负。

由图2-57（b）、（d）可看出，截面左侧外力（包括力偶）对截面形心之矩为顺时针转向时产生正弯矩，逆时针转向时产生负弯矩；截面右侧情况与此相反。因此，由外力计算弯矩时可规定：截面左侧对截面形心顺时针的外力矩为正，反之为负；截面右侧情况与此相反，即“左顺右逆为正”。

2.剪力图和弯矩图

从上述求剪力和弯矩的方法可以看出，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即

Q=Q（x）

M=M（x）

上面的函数表达式，即为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁各横截面上剪力Q和弯矩M沿轴线变化的情况。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，或简称为Q图和M图。作图的基本方法是，平行于梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，正值画在x轴的上方，负值画在x轴的下方，并且在图上标明端值。有了剪力图和弯矩图就能一目了然地看出剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，从而找出最大剪力和最大弯矩所在的横截面位置及数值。在一般情况下，梁的破坏通常是发生在弯矩最大的横截面，故弯矩绝对值最大的横截面就是危险截面。因此，在进行梁的弯曲强度计算时，应以危险截面上的弯矩为依据。

［例2-9］　试作出图2-56（a）所示梁的剪力图和弯矩图。

解：图2-56（a）梁可简化为图2-58（a）。

①求支座反力。

利用静力平衡方程可求出

②列剪力方程和弯矩方程。

由前面分析可知，AC段梁的剪力方程和弯矩方程为

CB段梁的剪力方程和弯矩方程为

③画剪力图和弯矩图。

由上述方程可知，剪力Q₁、Q₂均为与x无关的常数。Q₁为正的常数，因此在Q-x图上为一条平行于x轴的直线，且位于x轴的上方。Q₂为负的常数，因此在Q-x图上也是一条水平直线，但位于x轴的下方。所以整个梁的剪力图是由两个矩形所组成，如图2-58（b）所示。

由弯矩方程可知，AC段和CB段梁的弯矩M₁、M₂均为x的一次函数，故在M-x图上均为斜直线，只要求出该直线上的两点就可作图。

AC段　在x₁=0处，M₁=0；在x₁=a处，。利用这两个位置处的弯矩值，就可绘出AC段梁的弯矩图。

CB段　在x₂=a处，；在x₂=l处，M₂=0。利用这两个位置处的弯矩值，同样可绘出CB段梁的弯矩图。

如图2-58（c）所示，整个梁的弯矩图为一个三角形，最大弯矩发生在集中力F作用点处的横截面上，此即危险截面，其最大弯矩值为

如果，则有

［例2-10］　如图2-59（a）所示，填料塔内支承填料用的栅条可简化为受均布载荷作用的简支梁。已知梁所受的均布载荷集度为q（N/m），跨度为l（m）。试作该梁的剪力图和弯矩图。

解：①求支座反力。由对称性可知

②列剪力方程和弯矩方程。

取梁左端A为坐标原点，以梁的轴线为x轴。在距左端为x的横截面1-1处将梁切开，根据图2-59（b）所示的分离体的平衡条件，得到的剪力方程和弯矩方程分别为

③作剪力图和弯矩图。由式（a）可知，剪力Q为x的一次函数，故在Q-x图上是一条斜直线。只要求出任意两个横截面处的剪力值，就可确定这条斜直线的位置。如在x=0处，；在x=l处，。连接这两点，即可画出剪力图如图2-59（c）所示。

由式（b）可知，弯矩是x的二次函数，说明弯矩图是一条抛物线。为此，至少要定出曲线上的三个点，才能近似地画出弯矩图。由

x=0，M=0

x=l，M=0

画出弯矩图，如图2-59（d）所示。

由Q、M图可知，最大剪力发生在梁的两端，其值为；而最大弯矩发生在梁的中间截面，即l处，其值为，此即为危险截面。

三、纯弯曲时横截面上的应力

前面讨论了梁弯曲时横截面上的内力。在一般情况下，截面上既有弯矩又有剪力。为了使问题简化，先讨论只有弯矩而无剪力的所谓纯弯曲的情况。梁在其两端只受到在纵向对称平面内的一对力偶作用时，其弯曲即属于纯弯曲。

为了分析弯曲时的应力及其分布规律，首先观察梁纯弯曲时的变形情况。如图2-60所示，取一矩形截面梁，在它的侧面画上很多间距相等的纵向线与横向线，然后在梁的两端各作用一个力偶M，使其发生纯弯曲。实验结果表明：

①侧面的纵向线弯曲成了弧线，而且向外凸出一侧的纵向线伸长，凹进一侧的纵向线缩短，中间一条纵向线长度不变；

②侧面上的横向线仍保持为直线，且仍垂直于梁的轴线。

可设想梁由许多纵向纤维组成，并且梁内部纤维的变形与表面纤维的变形相同。那么，在凸出一侧的各层纤维都是伸长的，而凹进一侧的纤维层是缩短的。中间的一层既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图2-61所示。由于代表横截面的横向线仍保持为直线，且仍垂直于梁的轴线，故梁变形时横截面仍保持为平面，这就是弯曲变形的横截面平面假设。

由以上实验观察，可判断梁纯弯曲时，横截面上只有正应力。梁凸出一侧的纤维层伸长，其应力为拉应力。凹侧纤维层缩短，应力为压应力。注意到梁变形时横截面仍保持为平面的特点，可知，纵向纤维层的伸长或缩短与它到中性层的距离成正比，其应变也与此距离成正比。

根据变形现象及平面假设，从变形的几何关系、物理关系、静力平衡条件可以推导出纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式为

　　（2-29）

式中　σ——横截面上距中性轴为y的各点的正应力；

M——横截面上的弯矩；

y——计算正应力的点到中性轴的距离；

I_z——横截面对中性轴z的惯性矩，它表示截面的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能力，常用单位有m⁴、cm⁴和mm⁴。

由式（2-29）可知：梁弯曲变形时，横截面上任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，亦即横截面上的正应力沿截面高度按直线规律变化；中性轴上各点（y=0），正应力为零；离中性轴最远的点，正应力最大，弯曲正应力沿截面宽度方向（距中性轴等距的各点）相同，如图2-62所示。

由图2-62可见，横截面上离中性轴最远的点（y=y_max），正应力值最大。

令

则

　　（2-30）

式中　M——截面上的弯矩，N·mm；

W_z——横截面对中性轴z的抗弯截面模量，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能力，单位为m³或mm³，常见截面的轴惯性矩I_z和抗弯截面模量W_z如表2-3所示。

式（2-29）和式（2-30）是梁在纯弯曲的情况下建立起来的，对于横力弯曲的梁，若其跨度l与截面高度h之比l/h大于5，仍可使用这些公式计算弯曲正应力。

四、梁的正应力强度计算

弯曲变形的梁，其横截面上通常既有由弯矩引起的正应力，又有由剪力引起的剪应力。对于工程中常见的梁，理论分析表明，正应力是引起梁破坏的主要因素，所以要进行强度计算，首先要找出最大弯矩M_max的危险截面。对于等截面直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。在危险截面上，离中性轴最远的上下边缘各点的应力最大，破坏往往就是从这些具有最大正应力的点开始。因此，为了保证梁能安全工作，最大工作应力σ_max应不得超过材料的许用弯曲应力。于是，梁弯曲正应力的强度条件为

　　（2-31）

式中，［σ］为弯曲许用应力，通常其值等于或略高于同一材料的许用拉（压）应力。

利用梁的正应力强度条件，可以对梁进行强度校核；确定梁的截面形状和尺寸；计算梁的许可载荷。

［例2-11］　如图2-63所示，分馏塔高H=20m，作用于塔上的风载荷分两段计算：q₁=420N/m，q₂=600N/m；塔内径为1000mm，壁厚6mm，塔与基础的连接方式可看成固定端。塔体的许用应力［σ］=100MPa。试校核塔体的弯曲强度。

解：①求最大弯矩值。

将塔简化为受均布载荷q₁、q₂作用的悬臂梁，由前面的知识画出其弯矩图，如图2-63（b）所示。由图可见，在塔底截面弯矩值最大，其值为

②校核塔的弯曲强度。

由表2-3查得，塔体抗弯截面模量为

W_z=πd²δ/4=π×1000²×6/4=4.7×10⁶（mm³）

塔体因风载荷引起的最大弯曲应力为

所以塔体在风载荷作用下强度足够。

五、提高弯曲强度的主要措施

提高梁的强度，就是在材料消耗最低的前提下，提高梁的承载能力，从而满足既安全又经济的要求。

从弯曲强度条件

可以看出，要提高梁的承载能力，应从两方面考虑。一方面是合理安排梁的受力情况，以降低M_max的数值；另一方面则是采用合理截面，以提高抗弯截面模量W_z的数值，充分利用材料的性能。

1.降低最大弯矩值M_max

梁的最大弯矩值M_max不仅取决于外力的大小，而且还取决于外力在梁上的分布。力的大小由工作需要而定，而力在梁上分布的合理性，可通过支座与载荷的合理布置达到。

如图2-64（a）所示，在均布载荷作用下的简支梁，最大弯矩为

若将两端支承各自向里移动0.2l，如图2-64（b）所示，则最大弯矩减小为

仅为前者的1/5。化工厂里的卧式储罐的支座就是这样布置的，这使得因储罐和物料自重引起的罐壁弯曲应力较小，如图2-65所示。

如图2-66（a）所示简支梁AB，集中力F作用于梁的中点，则M_max=Fl/4。若按图2-66（b）所示，将F移至距支座A点l/6处，则M_max=5Fl/36。相比之下，后者的最大弯矩就减少近一半。工程上常使梁上的集中力靠近支座作用，这可大大减小梁的最大弯矩值。

2.选择合理的截面形状

若把弯曲正应力的强度条件改写成

M_max≤［σ］W_z

可见，梁可能承受的M_max与抗弯截面模量W_z成正比，W_z越大越有利。另一方面，使用材料的多少与自重的大小，则与截面面积A成反比，面积越小越经济，越轻巧。因而合理的截面形状应该是截面积A较小而抗弯截面模量W_z较大，可用比值W_z/A来衡量截面形状的合理性和经济性。现将几种常用截面的比值W_z/A列于表2-4。

从表中所列数值可看出，工字钢或槽钢优于环形，环形优于矩形，矩形优于圆形。其原因是中性轴附近的正应力很小，该处材料的作用未充分发挥，将它们移置到离中性轴较远处，可使材料得到充分利用。由此，选择合理截面的原则是使尽量多的材料分布到弯曲正应力较大的、远离中性层的边缘区域，在中性层附近区域留用少量材料，以使材料得到充分利用。所以桥式起重机的大梁以及其他钢结构中的抗弯杆件，经常采用工字形、槽形等截面。