第三章 涂料配方设计中的试验设计
试验设计方法指的是安排和组织试验的方法，有了正确的试验设计，才能以较少的试验次数、较短的时间，获得较多和较精确的信息。
涂料是一种精细化工产品，通常由两种以上原料混合制成，当原料的比例改变时，涂料的性能和配方的成本也会随之改变，试验设计与优化的基本目的就是在涂料配料比例中，寻求涂料性能与涂料配方成本之间的最佳平衡点。在涂料配方设计中，每一种涂料配方的设计都包含着试验条件的优化过程。
常用的试验设计方法有许多种，从不同的角度出发可有不同的分类方法。从如何处理多因素问题的角度出发，可将试验设计方法分为单因素试验法和多因素组合试验法两类。
单因素试验法，即每次只变动一个因素，而将其他因素暂时固定在某一适当的水平上，待找到了第一个因素的最优化水平后，便固定下来，再依次考察其他因素。这种方法的缺点是经济效益低，特别是在试验因子有交互作用时，更可能会得到错误的结果；而且，第一个因素的起点选择特别重要，若选择不合适，可能永远都找不出最优条件。
多因素组合试验法，是将多个需要考查的因素，通过数理统计原理组合在一起同时试验，而不是一次只变动一个因素，因而有利于展示各因素间的交互作用，可较迅速地找到最优条件。
怎样设计试验能达到最佳的试验效果？这就是试验设计与优化方法的一种应用。最优化是针对一个过程而言的，它是指怎样用最少的消耗得到最佳的响应。
在涂料配方设计中，可以采用数理统计知识和计算机技术进行试验设计和优化处理，这样就能够帮助涂料配方设计人员用最少的努力和最大的试验精度来进行试验设计和优化，以得到最多的试验信息。用计算机技术进行试验设计和优化处理，还可以用更多、更详细的试验参数来进行涂料配方设计，帮助人们减少外部误差，更好地控制试验设计。合适的试验设计包括变量分析和用近似公式建立数学模型。
本部分内容主要介绍正交试验设计法。
对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。
一、正交表中常用术语
1.试验指标
试验指标是指试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如收率、纯度等）。在涂料配方进行正交试验设计时，通常选用涂膜性能或涂料性能作为试验指标，如遮盖力、光泽度、耐候性、耐酸碱腐蚀性等，具体选择的试验指标种类应根据试验目的而定。
2.因素
因素是指试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的原因。因此，进行涂料配方的正交试验设计时，需要清楚影响该项指标的因素有哪些，再根据实际情况确定正交试验因素。
3.水平
水平是指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如当考察钛白粉的用量对遮盖力的影响时，可选钛白粉的用量作为考察的因素，不同用量作为水平。当然，水平不一定是量上的变化，也可以是种类的改变。如考察着色颜料对遮盖力的影响时，可选择白色颜料作为考察的因素，不同白色颜料（金红石型钛白粉、锐钛型钛白粉、立德粉、氧化锌等）作为水平。
二、正交试验设计的基本原理
在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格。如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示（见图3-1），3个因素各取3个水平，反映在图3-1上就是立方体内的27个点。
图3-1 3个因素选优区示意图
若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表3-1所示。
表3-1 3因素3水平全面试验方案
由上表可知，3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这有可能是科学试验做不到的。
正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图3-1中标有试验号的九个点，就是利用正交表L9（33）从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：
（1）A1B1C1
（2）A2B1C2
（3）A3B1C3
（4）A1B2C2
（5）A2B2C3
（6）A3B2C1
（7）A1B3C3
（8）A2B3C1
（9）A3B3C2
上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，试验次数仅是全面试验的三分之一。
从图3-1中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。
三、正交表及其基本性质
（一）正交表
正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表。
1.正交表的类别
常用的正交表包括等水平正交表和混合水平正交表两大类，各列水平数相同的正交表称为等水平正交表，如L4（23）、L8（27）、L12（211）等各列中的水平为2，称为2水平正交表，L9（34）、L27（313）等各列水平为3，称为3水平正交表；各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表，如L8（4×24）表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2，也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素，再如L16（44×23），L16（4×212）等都是混合水平正交表。
2.正交表的结构
表3-2是一张正交表，记号为L8（27），其中“L”代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行（试验次数），用这张正交表安排试验包含8个处理（水平组合）；括号内的底数“2”表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。
表3-2 L8（27）正交表
正交试验设计方法的关键是合理选择正交表。正交表是试验设计方法中合理安排试验并对试验数据进行统计分析的主要工具，常用的正交表主要有：L4（23）、L8（27）、L12（211）、L16（215）、L20（219）、L32（231）、L8（4×24）、L16（4×212）、L16（44×23）、L9（34）、L27（313）、L16（45）、L25（56）等。
（二）正交表的基本性质
1.正交性
（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等。
例如，L8（27）中不同水平只有1和2，各列中它们各出现4次；L9（34）中不同水平有1、2和3，每一列中它们各出现3次。
（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且对出现的次数相等。
例如，L8（27）中的任意两列（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）各出现两次；L9（34）中的任意两列（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
2.代表性
一方面：任一列中各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。
另一方面：由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
3.综合可比性
由于任一列的各水平出现的次数相等，任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。
所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。由图3-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3个点，任一直线上都包含1个点，因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。
整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其他因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3条件下各有B、C的3个不同水平，即：
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有综合可比性。同样，B、C因素的3个水平间亦具有综合可比性。
正交表的三个基本性质中，正交性是核心、是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。
四、正交试验设计基本程序
正交试验设计中，常用因子表示影响试验性能指标的因素，水平表示每个因素可能取的状态，交互作用表示各因素对指标的综合影响。采用正交试验设计方法，可以较好地解决多因素试验设计中几个比较典型的问题：
①确定因素对指标的影响，它能确定主要影响及其交互作用的影响；
②确定每个因素中哪个水平较好；
③确定各因素按什么水平搭配起来对指标较好。
对于多因素试验，正交试验设计是简单、常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
1.试验方案设计
选用正交试验设计，一般可按以下几个步骤进行。
（1）明确试验目，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，如强度、硬度、产量、出品率、成本等；也可为定性指标如颜色、光泽等。一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或采用模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。
（2）选因素、定水平，列因素水平表 根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2～4个水平为宜，还要注意两水平之间的差距。对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（≤6），否则会使试验次数骤增。在涂料配方设计前，应先有一些小型的探索性的试验基础，以便决定正式试验的价值和可行性。最后还要注意各因素间的交互作用。
（3）选择合适的正交表 正交表的选择是正交试验设计的关键问题之一。确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。
一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。
如假设有4个3水平因素，可以选用L9（34）或L27（313），若仅考察四个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，宜选用L9（34）正交表；若要考察交互作用，则应选用L27（313）。
（4）表头设计 所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。一般表头设计的原则是，表头上每列最多只能安排一个配方因子或一个交互作用，在同一列里不允许出现两个以上因素混杂的现象。实质上就是安排试验计划，这一步很关键。
（5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案。
（6）试验结果分析 试验结果分析一般采用极差分析，极差分析试验结果做少量计算，然后比较，就可得到最优化的涂料配方。但该法不能区分因素和水平的作用差异，精度较差。
另一种方法是方差分析。它是通过对偏差平方和自由度等一系列的计算，将因素水平变化所引起的试验结果间的差异与误差的波动等区分开来。这样分析得到的正交试验的结果，对于下一步试验或投入生产可靠性很大。
正交试验方案示意图如图3-3所示。
图3-2 正交试验方案示意图
2.正交试验结果分析
（1）正交试验结果分析的目的
①分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；
②判断因素对试验指标影响的显著程度；
③找出试验因素的最优水平（优水平）和试验范围内的最优组合（优组合），即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；
④分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的，找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；
⑤了解各因素之间的交互作用情况；
⑥估计试验误差的大小。
（2）直观分析法——极差分析法 极差分析法计算简便、直观、简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。极差分析法的过程见图3-3。
图3-3 极差分析法示意图
Kjm为第j列因素m个水平所对应的试验指标之和，kjm为平均值。由kjm大小可以判断第j列因素的优水平和优组合。
Rj为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据Rj大小，可以判断因素的主次顺序。
例如：通过正交试验来寻找改善附着力的最佳配方组成。水性带锈涂料配方如表3-3所示。
表3-3 水性带锈涂料配方
解决思路：
①明确试验目的，确定试验指标。对本试验而言，试验目的是为了提高涂层的附着力。所以可以以附着力的检测结果为试验指标，来评价配方组成的好坏。附着力越高，则配方组成就越优越。
②选因素、定水平，列因素水平表。对本试验分析可知，影响涂层附着力的因素很多，本试验拟考察亚铁氰化钾-磷酸、氧化锌、铁红和磷酸二氢锌-重铬酸钾的用量对涂料附着力的影响，以此为本试验的试验因素，分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各因素均取三个水平，因素水平表见表3-4。
表3-4 因素水平表
③选择合适的正交表。此例有4个3水平因素，可以选用L9（34）或L27（313）；因本试验仅考察四个因素，不考察因素间的交互作用，故宜选用L9（34）正交表。
④表头设计。此例不考察交互作用，可将亚铁氰化钾-磷酸量（A）、氧化锌量（B）、铁红量（C）和磷酸二氢锌-重铬酸钾量（D）依次安排在L9（34）的第1、2、3、4列上，见表3-5。
表3-5 表头
⑤编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。试验方案及试验结果如表3-6所示。
表3-6 试验方案及试验结果
说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。
⑥试验结果分析。分析A因素各水平对试验指标的影响。由表3-6可以看出，A1的影响反映在第1、2、3号试验中，A2的影响反映在第4、5、6号试验中，A3的影响反映在第7、8、9号试验中。
A因素的1水平所对应的试验指标之和为KA1=y1+y2+y3=5+5+1=11，kA1=KA1/3=3.6667；
A因素的2水平所对应的试验指标之和为KA2=y4+y5+y6=4+4+1=9，kA2=KA2/3=3；
A因素的3水平所对应的试验指标之和为KA3=y7+y8+y9=3+2+2=7，kA3=KA3/3=2.3333。
根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么kA1、kA2、kA3应该相等，但由上面的计算可见，kA1、kA2、kA3实际上不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因此，根据kA1、kA2、kA3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。
其他因素计算过程与A相同，总结果汇总如表3-7所示。
表3-7 正交试验结果汇总
因此，可以计算并确定B1、C2、D1分别为B、C、D因素的优水平。四个因素的优水平组合A1B1C2D1为本试验的最优水平组合，即为获得较高的附着力，最优的配方组成为亚铁氰化钾-磷酸4g、氧化锌3g、铁红12g和磷酸二氢锌-重铬酸钾2g的用量。
此外，根据极差Rj的大小，可以判断各因素对试验指标影响的主次。本例极差Rj计算结果见表3-7，比较各R值大小，可见RB>RA=RD>RC，所以因素对试验指标影响的主次顺序是BA（D）C。即氧化锌用量影响最大，其次是亚铁氰化钾-磷酸量和磷酸二氢锌-重铬酸钾量，而铁红量影响较小。
以各因素水平为横坐标，试验指标为纵坐标，绘制因素与指标趋势图（图3-4）。由因素与指标趋势图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。
图3-4 各涂料成分的添加量对附着力的影响趋势图
在实际生产中，应用正交试验设计做一批涂料试验后，往往还要再追加一些试验，因为在涂料配方设计中，因素与水平数互不相等。有时配方因素还从属于几道生产工序，涂料产品的机械性能指标与涂料生产工艺性能指标相互制约，所以在实际配方设计中，要根据具体涂料产品的生产情况，统一平衡，灵活运用，才能得到最佳的涂料生产配方。
对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，然后综合平衡，确定出最优条件。