1.2.3 　晶向指数和晶面指数

在材料科学中，讨论有关晶体的生长、变形（包括弹性变形和塑性变形）和固态相变等问题时，常要涉及晶体中的某些方向（晶向）和某些平面（晶面）。空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的方向，称为晶向。通过空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶体中的原子平面，称为晶面。为方便起见，人们通常用一种符号即晶向指数和晶面指数来分别表示不同的晶向和晶面。国际上通用的是密勒（Miller）指数。

1.2.3.1　晶向指数

晶向指数是表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上阵点坐标值确定，其确定方法如下。

①建立坐标系。如图1-13所示，以晶胞中待定晶向上某一阵点O为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以晶胞的点阵常数a、b、c分别为x、y、z坐标轴的长度单位，建立坐标系。

②确定坐标值。在待定晶向OP上确定阵点P的三个坐标值。

③将三个坐标值按比例化为最小整数u、v、w，并加方括号，即［uvw］。如果u、v、w中出现负数，将负号标注在数字的上方，如。

例1-6　求图1-13中，OP晶向的晶向指数。

解：P点的坐标是（1，2，2），OP晶向的晶向指数是［122］。

例1-7　求图1-13中，AB晶向的晶向指数。

解：因为A点不在原点，有两种确定晶向指数的方法：一是将待定晶向平移到原点，二是取两个阵点的坐标差。在图1-13中，B点的坐标是（1，1，0），A点的坐标是（0，0，1），其坐标差是1、1、-1，AB晶向的晶向指数是。注意，在数字间不要加任何符号，因为有用的晶向都是一位数字。

对晶向指数需要作如下说明：①一个晶向指数代表着相互平行、方向一致的所有晶向；②若晶体中两晶向相互平行但方向相反，则晶向中的数字相同，而符号相反，如和等；③晶体中原子排列相同但方向不同的所有晶向称为晶向族，用<uvw>表示（u、v、w为非负数）。对于立方和棱方晶系，由于a=b=c，三个坐标轴可以互换，<uvw>的所有晶向可以用u、v、w和-u、-v、-w这6个数字排列而成，其个数用式（1-3）计算：

　　（1-3）

式中，m是指数为0的个数；n是相同指数的个数。

对于四方晶系，由于a=b≠c，只有x和y坐标可以互换。正交、单斜和三斜晶系不存在原子排列相同但空间位向不同的一组晶向，即<uvw>只有一个方向［uvw］。六方晶系的晶向指数的确定略显复杂，这里不作介绍。

例1-8　计算立方晶系<111>的晶向个数并写出其全部晶向。

解：m=0，n=3，代入式（1-3），N=48/2⁰/3！=8（个）。<111>的全部晶向是：［111］、 、、和、、、。

例1-9　计算立方晶系<110>的晶向个数并写出其全部晶向。

解：m=1，n=2，代入式（1-3），N=48/2¹/2！=12（个）。<110>的全部晶向是：［110］、、［101］、、［011］、和、、、、、。

1.2.3.2　阵点间距

不同晶向上原子排列的紧密程度不同，导致了材料性能不同。

方向指数［uvw］实质上表示了由原点O指向P点（图1-13）的向量，在u、v、w是最小整数的情况下（这是标定密勒指数时规定的），向量OP的模是该方向上两个相邻阵点之间的距离或距离的2倍，即阵点间距=|OP|或|OP|/2。这是因为带“心”（面心、体心、底心）的晶胞中在“心”的原子坐标有1/2，在求密勒指数时为化成最小指数而乘了系数2，在计算其模时应该除以2。

例1-10　分析说明简单晶格（只有平行六面体8个顶点上是阵点），阵点间距=|OP|并给出简单立方晶格阵点间距最小的3个晶向族。

分析：简单晶格包括简单立方、简单四方、简单棱方、简单正交、简单单斜和简单三斜共6种晶格。根据密勒指数建立坐标系的规则，这6种晶格的共同点是：阵点坐标是由自然数组成的。假设阵点间距=|OP|/n（n为正整数）成立，则坐标为（u/n，v/n，w/n）是阵点。在标定密勒指数时规定了“将三个坐标值按比例化为最小整数”，所以n只能为1，否则u/n、v/n、w/n就不全是整数，即不是阵点坐标值。

对立方晶系

　　（1-4）

所以，简单立方晶格阵点间距最小的3个晶向族是<100>、<110>和<111>，阵点间距分别是：

例1-11　分析说明体心晶格（在六面体的体心有一个阵点），点阵计算公式即式（1-5），并给出体心立方晶格阵点间距最小的3个晶向族和阵点间距。

（1-5）

分析：体心晶格包括体心立方、体心正方和体心正交三种点阵。因为处在体心的阵点坐标是（1/2，1/2，1/2），则（u±1/2，v±1/2，w±1/2）都是处在体心的阵点坐标，这些坐标化为最小整数时必须乘以2，即密勒指数的三个值分别是2u±1、2v±1、2w±1，全是奇数，即当u、v、w全为奇数时，u/2、v/2、w/2是体心的阵点坐标，阵点间距=|OP|/2。否则，即密勒指数中有奇数也有偶数时，阵点间距=|OP|。

根据式（1-5）和式（1-4）可知体心立方晶格阵点间距最小的3个晶向族是<111>、<100>和<110>，它们的阵点间距分别是：、a、

例1-12　分析说明面心晶格（在六面体的面心有一个阵点），阵点计算公式即式（1-6），并给出面心立方晶格阵点间距最小的3个晶向族和阵点间距。

（1-6）

分析：面心晶格包括面心立方和面心正交两种点阵。因为处在面心的阵点坐标中有两个是1/2，这些坐标化为最小整数时必须乘以2，即密勒指数中的两个是奇数，即当u、v、w中两个是奇数时，u/2、v/2、w/2是面心的阵点坐标，阵点间距=|OP|/2。否则，即密勒指数中有一个或三个是奇数，阵点间距=|OP|。

根据式（1-6）和式（1-4）可知面心立方晶格阵点间距最小的3个晶向族是<110>、<100>和<112>，它们的阵点间距分别是：、a、

对实际晶体，如果基元是原子（如金属），则原子间距和阵点间距相同。最小的阵点间距就是原子直径。因而，对体心立方晶体，<111>晶向族的阵点间距就是原子直径，而面心立方晶体的原子直径是<110>晶向族的阵点间距。

如果基元不是单个原子，则需要根据具体情况计算。如NaCl晶体，按上述方法计算出来的是同种原子（离子）的间距，并不是原子直径。

1.2.3.3　晶面指数

晶面指数是表示晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个坐标轴的截距值所确定。其确定方法如下：

①求待定晶面在三个坐标轴上的截距。

②取三个截距的倒数。

③按比例化为互质整数，用小括号将数字括起来，如果出现负数，将负号标注在数字的上方。

例1-13　求图1-14所示晶面的晶面指数。

解：该晶面与三个坐标轴的截距分别是1、2、2，它们的倒数是1、1/2、1/2，互质整数是2、1、1，则晶面指数是（211）。

例1-14　求图1-15所示两个晶面的晶面指数。

解：用三角形表示的晶面，坐标原点为O点，晶面与三个坐标轴的截距分别是1、1、1，它们的倒数是1、1、1，互质整数是1、1、1，则晶面指数是（111）。

用平行四边形表示的晶面，坐标原点为O'点，晶面与三个坐标轴的截距分别是1、-1、∞，它们的倒数是1、-1、0，互质整数是1、-1、0，则晶面指数是。

用平行四边形表示的晶面，坐标原点为O″点，晶面与三个坐标轴的截距分别是-1、1、∞，它们的倒数是-1、1、0，互质整数是-1、1、0，则晶面指数是。

本例说明：①标定晶面指数时，尽管坐标原点的选取是任意的，但不能取在晶面上；②坐标原点分别取在晶面的两侧，则标定出来的指数的符号相反。

对晶面指数需作如下说明：①晶面指数实际上是用该晶面的法线方向指数表示的，即（hkl）的法线方向指数是［hkl］，从原点指向该晶面的法线方向，两个晶面的夹角是指法线之间的夹角；②晶面指数（hkl）不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶面；③数字相同而符号相反的晶面相互平行属于同一组晶面，即（hkl）等同于，如图1-15所示的平行四边形晶面，如果以O'为坐标原点，则晶面指数是，如果以O″为坐标原点则晶面指数是，但是，它们的法线方向是相反的，因为在进行夹角计算时是用法线方向指数计算的，所以从数学角度看，把（hkl）和还是当作两个晶面理解更好（多数教材是当作一个晶面处理的），这样有利于将晶向指数和晶面指数在数学层面上进行统一；④晶体中原子排列规律相同的所有晶面称为晶面族，用{hkl}表示。{hkl}所包含的晶面数与<hkl>晶向族所包含的晶向数相同。如在立方晶系中，{111}有8个晶面，距离原点最近的8个晶面构成了正八面体，棱边长度为，如图1-16所示，当然，只有4个交叉（不同位向）的平面。

1.2.3.4　晶面间距和X射线衍射图谱

众所周知，光照射到光栅上会发生干涉和衍射现象，只要知道光的波长就能根据衍射条纹间距计算出光栅上刻痕的间距。晶体也可以看成是由晶面一层一层叠在一起而成，两个相邻晶面之间的距离称为晶面间距。将X射线以一定角度θ照射到晶面上，如果晶面间距d和角度θ满足布拉格定律，即

2dsinθ=nλ　　（1-7）

则出现衍射现象，其中n是衍射的级数，而λ是Χ射线的波长。

由于晶面间距d由晶格常数决定，如果用X射线衍射测出晶面间距，则可以计算出晶格常数。由于不同晶体的原子半径不同，晶格常数也不同，所以通过测定晶格常数可以确定晶体属于哪种物质。简而言之，通过X射线衍射可以确定晶体物质的类型。

根据晶面指数（hkl）（为非负整数）和晶格常数计算晶面间距d_hkl。立方晶系晶面间距计算公式如下：

对简单立方

　　（1-8）

对体心立方

　　（1-9）

对面心立方

　　（1-10）

例1-15　计算简单立方晶格最大的三个晶面间距。

解：由式（1-8）看出，晶面指数的数值越小，其晶面间距越大，所以，简单立方晶面间距最大的三个是：{100}、{110}和{111}，它们的晶面间距分别是：d₁₀₀=a、、

例1-16　计算体心立方晶格最大的三个晶面间距。

解：由式（1-9）看出，晶面指数的和为偶数且数值最小，其晶面间距最大，所以，体心立方晶面间距最大的是{110}，其次是{100}和{112}，它们的晶面间距分别是：、d₁₀₀=a/2、

例1-17　计算面心立方晶格最大的三个晶面间距。

解：由式（1-10）看出，晶面指数全为奇数且数值最小，其晶面间距最大，所以，面心立方晶面间距最大的是{111}，其次是{100}和{110}，它们的晶面间距分别是： 、d₁₀₀=a/2、

通过上述三个例题看出，晶格类型不同，最大的三个晶面间距的比值不同。

对简单立方，三个最大晶面间距的比值是：

对体心立方，三个最大晶面间距的比值是：

对面心立方，三个最大晶面间距的比值是：

将晶体进行X射线衍射，根据衍射峰的位置和布拉格定律计算晶面间距的比值，由此确定晶格类型，再根据晶面间距计算公式计算晶格常数。

图1-17是纯Al和α-Fe的X射线衍射图谱和标准图谱的比较。图中PDF是指PDF卡片，后面的数字是卡片编号。PDF卡片由粉末衍射标准联合会出版，有数万种化合物的衍射图谱，通过衍射图谱与标准图谱对比可知道所做衍射样品属于哪种晶体。图1-17中标定的晶面指数与PDF卡片比有两点不同：①图1-17中用的是晶面族符号，而PDF卡片中用的是晶面符号，每个衍射峰是同一个晶面族的所有晶面衍射的结果，所以用晶面族符号表示更确切；②{100}晶面族的衍射峰在PDF卡片中标定为（200），而不是{100}。至少在国内出版的关于X射线衍射和固体物理的教科书中认为，在式（1-9）和式（1-10）中分母上有2的那些晶面没有衍射峰，如体心立方和面心立方的{100}等，并称之为几何消光，还通过散射因子的推导得到证明。问题出在推导散射因子时无意中用了只适用于简单晶格，即简单立方、简单四方、简单棱方、简单正交、简单单斜和简单三斜六种晶面间距的计算公式，在这六种晶格中没有被“消光”的晶面，其他晶格都有被“消光”的晶面。其实，这些被“消光”晶面的晶面间距计算公式中与其他晶面（无“消光”的晶面）间距计算公式相比，分母上都要增加数字2，如果将晶面指数乘以2，计算结果是相同的，所以，PDF卡片上把{100}标定为{200}，{200}不符合晶面指数标定中“按比例化为互质整数”这一规则。

1.2.3.5　立方晶系夹角公式

当分析晶体的塑性变形时，需要分析作用在晶面的某个方向上的切应力大小，这就需要用到晶向、晶面的夹角计算公式，另外，判断某个方向是否在某个晶面上（即平行于晶面），也需要用夹角公式判断。设两个晶向［u₁v₁w₁］、［u₂v₂w₂］夹角为φ，则

　　（1-11）

例1-18　分别计算［100］和［111］以及［100］和（111）的夹角。

分析：［100］和［111］之间的夹角是两个晶向之间的夹角，直接用式（1-11）计算。［100］和（111）的夹角是晶向和晶面之间的夹角，而晶向和晶面的夹角是指晶向和晶面法线方向的夹角，也直接用式（1-11）计算。

解：题中要求计算的两个夹角相等，，即φ=54.736°。

例1-19　写出（111）晶面上属于<110>晶向族的6个方向指数。

分析：某个晶向在晶面上的充分必要条件是它们的夹角为90°，即式（1-11）的分子部分等于0。由式（1-3）可知，<110>晶向族共有12个晶向，但在（111）晶面上的只有6个，即、、、、、，实际上就是图1-15所示（111）晶面的三个边。

知识巩固1-4

1.空间点阵中各阵点列的方向叫作_________。

（a）原子列 （b）晶向 （c）晶面方向 （d）晶面

2.通过点阵中阵点的平面叫_________。

（a）对称平面 （b）几何平面　 （c）晶面　　　（d）晶面族

3.晶体中原子排列相同但方向不同的所有晶向称为_________。

（a）平行晶向　 （b）一族晶向　 （c）交叉晶向　 （d）相交晶向

4. 晶体中原子排列规律相同的所有晶面称为_________。

（a）平行晶面　 （b）一族晶面　 （c）交叉晶面　 （d）相交晶面

5.为了分析各种晶面上原子分布的特点，需要给各种晶面规定一个符号，这就是_________。

（a）方向指数　 （b）晶面指数　 （c）晶向指数　 （d）符号指数

6.在体心立方晶体中，原子密度最大的一族晶向是_________。

（a）<110>　 （b）<111>　 （c）<211>　 （d）<122>

7.在面心立方晶体中，原子密度最大的一族晶向是_________。

（a）<110>　 （b）<111>　 （c）<211>　 （d）<122>

8.在体心立方晶体中，原子密度最大的一族晶面是_________。

（a）{111}　 （b）{110}　 （c）{211}　 （d）{112}

9.在面心立方晶体中，原子密度最大的一族晶面是_________。

（a）{111}　 （b）{110}　 （c）{211}　 （d）{112}

10.（110）晶面上有下列哪个晶向。_________

（a）［111］ （b） （c）