2.3　物料衡算和能量衡算

2.3.1　动量传递

在流动的流体中，动量由高速流体层向相邻的低速流体层传递。动量传递影响速度分布和流动阻力的大小，并因此影响热量和质量的传递。动量传递是化工设备研究和设计的基础。动量传递的理论基础是流体力学，主要研究对象是黏性流体流动。动量传递包括两种机理：①分子动量传递，由分子热运动和分子间的吸引力造成；②涡流动量传递，由流体微团的脉动（或涡旋）运动造成。

动量传递的前提是相邻流体层间存在速度差异（速度梯度）和物质交换。设与平面相邻的A、B两流体层具有不同的速度，A层较快，动量较大，B层较慢，动量较小。当两流体层间由于分子的热运动或流体微团的脉动运动而发生物质交换时，动量便由A层传递到B层，动量传递速率由动量通量表示。动量传递的结果是使层间出现剪切应力，大小等于动量通量。对于A层，剪切应力的方向与流动方向相反，阻滞流体的前进；对于B层，剪切应力的方向与流动方向相同，推动流体前进。

动量传递研究动量通量（即剪切应力）和速度梯度（即剪切应变率）的关系。对于分子尺度上的动量传递，剪切应力与剪切应变率的关系反映流体的力学属性，据此可将流体分为理想流体、黏性流体、牛顿型流体和非牛顿型流体。对于微团尺度上的涡流动量传递，剪切应力与剪切应变率的关系与流体性质、流动空间的几何形状和尺寸、边界表面状况和流动速度等有关。剪切应力与剪切应变率的关系，常用于以牛顿第二定律为基础的运动方程中，以求解速度分布和流动阻力。

2.3.2　纳维、斯托克斯与纳维-斯托克斯方程

克劳德-路易纳维（Claude-Louis Navier，1785—1836，图2-6），法国工程师与物理学家。1802年就读于巴黎综合理工学院，1804年继续在国立桥路学校就读，并于1806年毕业。1819年，确认了机械应力中的零线，修正了伽利略伽利莱的错误结果。1821年，纳维将弹性理论以数学公式的形式表示。1824年当选法国科学院院士。1826年，确认弹性模量是材料的一个性质，和物体的截面二次轴矩无关。1830年时担任国立桥路学校的教授，次年在巴黎综合理工学院担任微积分及力学的教授。纳维的主要贡献在力学领域，是结构分析的创始者之一，提出了纳维-斯托克斯方程。纳维是埃菲尔铁塔上所刻的72人之一。

斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819—1903，图2-7），英国力学家、数学家。1841年毕业于剑桥大学，1849年起任剑桥大学卢卡斯数学讲座教授，1851年当选皇家学会会员，1852年被授予皇家学会朗福德奖，1854年起任学会秘书，1886年任皇家学会会长，1893年被授予皇家学会科普利奖。斯托克斯成为继牛顿之后任卢卡斯讲座教授、皇家学会秘书、皇家学会会长这三项职务的第二人。斯托克斯的主要贡献是对黏性流体运动规律的研究。1845年，在《论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和运动的理论》论文中给出黏性流体运动的基本方程组，其中含有两个常数，这组方程后称为纳维-斯托克斯方程，是流体力学中最基本的方程。1851年，斯托克斯在《流体内摩擦对摆运动的影响》的研究报告中，提出球体在黏性流体中作较慢运动时所受阻力的计算公式，指出阻力与流速和黏滞系数成比例，此即关于阻力的斯托克斯公式。斯托克斯发现了流体表面波的非线性特征，其波速依赖于波幅，并首次用摄动 方法处理了非线性波问题。斯托克斯对弹性力学也有研究，他指出各向同性弹性体中存在两种基本抗力，即对体积压缩的抗力和对剪切的抗力。在数学场论中，提出了线积分和面积分之间的转换公式（斯托克斯公式）。斯托克斯为人谦逊，诲人不倦。例如，他早在1854年就预见到了Kirchhoff理论，有人认为他在这方面领先，但他坚持说他没有看到其中的某些关键之处。

2.3.3　欧拉及其对流体力学的贡献

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783，图2-8），瑞士数学家和物理学家，曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。欧拉是历史上最伟大的数学家之一，为数学界做出了重要贡献，更把数学推至几乎整个物理领域。他是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究非常广泛，在数学的许多分支中可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，如欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理（微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、欧拉-傅里叶公式（三角函数）、欧拉-拉格朗日方程（变分学、力学）、欧拉-马克劳林公式等。18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程学。欧拉创立了许多符号，如用sin、cos等表示三角函数，用e表示自然对数的底，用f（x）表示函数，用∑表示求和，用i表示虚数等。欧拉第一个使用“函数”描述包含各种参数的表达式。

欧拉是刚体力学和流体力学的奠基人，弹性系统稳定性理论的开创者。他提出质点动力学微分方程可用于液体（1750）。他曾用两种方法描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和确定的流体质点（1759）描述流体速度场，前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755），奠定了理想流体的理论基础。欧拉数Eu等于ΔP/（ρu²），反映了流场压力降与其动压头之间的相对关系，体现了流动过程中动量损失率的相对大小。另外，提出了欧拉角（刚体运动）、伯努利-欧拉定律（弹性力学）等。欧拉旺盛的精力和钻研精神一直持续到生命的最后一刻。1783年9月18日下午，欧拉一边逗小孙女玩，一边思考着计算天王星的轨迹，突然，他从椅子上滑下来，嘴里轻声说：“我死了”，一代科学巨匠就这样停止了生命。

2.3.4　拉格朗日与拉格朗日法

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813，图2-9），法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1756年当选柏林科学院外籍院士，1766年接替L.欧拉，担任柏林科学院物理数学部主任，1787年离开柏林到巴黎定居。1789年法国革命后，从事度量衡米制改革，担任法国经度局委员，并讲授课程。1795年，巴黎综合工科学校成立，他和该校创立者G.蒙日（1746—1818）一起担任主要的数学教员。他被拿破仑任命为参议员，封为伯爵。1813年4月10日卒于巴黎。

拉格朗日在数学、力学和天文学三个领域中都有历史性贡献。在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何和力学脱离开来，使数学更为独立，不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日是变分方法的奠基人之一，对代数方程的研究为伽罗瓦群论的建立起了先导作用。拉格朗日继欧拉之后研究了理想流体运动方程，最先提出速度势和流函数的概念，成为流体无旋运动理论的基础。他在《分析力学》（1788）中从动力学普遍方程导出的流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，称为拉格朗日方法，以区别着眼于空间点的欧拉方法，但实际上这种方法欧拉也用过。1764—1778年，拉格朗日因研究月球平动等天体力学问题曾五次获得法国科学院奖。

2.3.5　过堂风与连续性方程

过堂风指通过穿堂、过道或相对的门窗的风。连续性方程的应用条件是流体充满整个管道，无泄漏，无积累。空气流动虽然不符合这一条件，但根据连续性方程可以定性解释这一现象：风通过穿堂、过道等处时，由于流道变窄，风速必然增大。在山口、楼宇之间风速较大，也是同样原因。

2.3.6　流体动力学之父——丹尼尔·伯努利

瑞士的伯努利（Bernoulli）家族是数学史和科学史上最杰出的家族之一，在17、18两世纪的三代人中出现了八位杰出的数学家和科学家。

杰可布·伯努利Ⅰ（JacobBernoulliⅠ，1654—1705）在数学上有很多贡献，最重要的包括解析几何、概率论和变分学三个领域。杰可布大大丰富了微积分学，他继续莱伯尼兹的工作，对各种链线（catenary curves）作了详尽研究，后来广泛应用于建造吊桥和高压线路。这些当时新颖而困难的问题，如今已成为微积分教科书或力学教科书中的练习题。另外还有统计和概率论中的伯努利分配和伯努利定理，微分方程中的伯努利方程，数论中的伯努利数和伯努利多项式，以及微积分中的伯努利双扭线。杰可布·伯努利在1690年解答等容曲线（isochrone curve）问题中首次使用了积分（integral）。

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）对微积分有很多贡献。1696年洛必塔（Marquis de L'Hospital，1661—1704）出版了第一本微积分的教科书，实际上是由约翰·伯努利编写而在金钱协议下让于洛必塔的，计算不定式0/0的方法在后来的微积分教科书中被错误地命名为洛必塔法则。约翰·伯努利的研究相当广博，包括与反射和折射相关的光学现象、曲线族垂直投射、解析三角、幂数计算等问题。约翰精力充沛，头脑清晰，在他八十高龄临终的前几天仍在勤奋工作。约翰·伯努利的三个儿子尼古拉（Ⅲ）、丹尼尔（Ⅰ）和约翰（Ⅱ），均为18世纪著名的数学家和科学家。尼古拉（Ⅲ）（1695—1726）在数学上很早就崭露头角，后受聘于彼得堡科学院，八个月后不幸溺水而亡，他发表过曲线、微分方程和概率方面的论文。

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782，图2-10），1700年生于荷兰格罗宁根，1716年获哲学硕士学位，1721年获巴塞尔大学医学博士学位，1724年解决了微分方程中的里卡蒂方程，1725—1732年任俄国彼得堡科学院数学教授，1728年与欧拉一起研究弹性力学，1732-1750年回巴塞尔，教授解剖学、植物学和自然哲学，1750年任物理学教授和哲学教授，同年被选为英国皇家学会会员，1782年逝世于巴塞尔，终年82岁。丹尼尔是伯努利家族中成就最大的科学家。他对数学和物理学都做出了卓越贡献。在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程、弦振动理论等，提出了或然率期望值（moral expectation）的概念，是偏微分方程的拓荒者，曾被称为数学物理的奠基人。在物理学方面，涉及天文、重力、潮汐、磁学等多个方面，其中对流体力学和气体动力学的研究尤为突出。1738年出版的《流体动力学》是世界上第一本流体动力学的书，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的基本定理之一，因此被尊称为流体动力学之父。在气体动力学方面，利用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力，认为大量气体分子的运动造成了对器壁的压力，压缩气体的较大压力是由于气体分子数增多，相互碰撞更加频繁所致。丹尼尔将级数理论用于力学的研究，这对力学发展具有重要意义。

2.3.7　伯努利方程的应用

飞机飞行的原理

飞机是比空气重的飞行器，需要消耗自身动力获得升力，升力源于飞行中空气对机翼的作用（图2-11）。机翼的上表面弯曲而下表面平坦，空气流到机翼前缘，分成上、下两股气流，分别沿机翼上、下表面流过，在机翼后缘重新汇合向后流去。机翼上表面比较凸出，流管较细，流速加快，压力降低；机翼下表面，流管较粗，流速较慢，压力较大，从而产生升力。气流方向与翼弦的夹角称为迎角。在飞行速度等条件相同的情况下，获得最大升力的迎角，称为临界迎角。在小于临界迎角范围内增大迎角，升力增大；超过临界迎角后，再增大迎角，升力反而减小。升力、阻力与飞行速度的平方成正比。在机翼上一般装有副翼和襟翼，操纵副翼可使飞机滚转，放下襟翼可使升力增大。尾翼包括水平尾翼和垂直尾翼。水平尾翼由固定的水平安定面和可动的升降舵组成。垂直尾翼包括固定的垂直安定面和可动的方向舵。尾翼通常产生负升力，操纵飞机俯仰和偏转，保证飞机平稳飞行。

飞机动力装置主要有航空活塞式发动机加螺旋桨推进器、涡轮喷气发动机、涡轮螺旋桨发动机等。现代高速飞机多使用喷气式发动机，其原理是将空气吸入，与燃油混合点火，爆炸膨胀后的空气向后喷出，其反作用力推动飞机前进。

滑翔伞（图2-12）的原理与飞机相似。由于速度是决定升力大小的重要因素，因此为了提高与气流的相对运动速度，滑翔伞通常采用逆风起飞，以增大升力，缩短起飞助跑距离。另外，下雨撑伞时，若遇到风，常感到雨伞像要飞到天上似的，这是因为雨伞有圆弧面，造成上方空气流速大，下方流速小，形成升力。

水翼艇

水翼艇（图2-13）是一种在艇体装有水翼的高速舰艇，能在水上飞行。水翼的上、下表面水流速不同，故在水翼的上、下表面产生了压强差，产生了举力。当水翼艇开足马力达到一定速度时，水翼产生的举力把艇体托出水面，使艇体与水面保持一定距离，减小了舰艇在水中的航行阻力，使之可以高速航行。

汽车气流偏导器

汽车的外形是底盘平而车顶向上隆起，这一形状和飞机机翼有着相同的空气动力学效应，空气会对车身产生向上的作用力，在高速行驶时导致车身不稳，容易失控。跑车尾部装有气流偏导器，其底部呈弧形，相当于倒置的飞机机翼。跑车行驶时，流过气流偏导器上方的气流速度小于下方气流速度，故在其上、下表面产生压强差，形成向下的压力，增大驱动轮与地面的摩擦力，使跑车可以用更快的速度转弯。但是，更大的下压力通常也意味着更大的阻力。

船吸现象

1912年9月20日，当时世界上最大的远洋邮轮之一奥林匹克号 （图2-14）离开南安普敦的码头，开往纽约。在怀特岛东北海域，奥林匹克号与高速航行的皇家海军霍克号巡洋舰相遇，两船近距离高速并行，忽然霍克号转向，好像受到巨大引力似的向奥林匹克号冲去，最终7350t的霍克号和45000t级的奥林匹克号相撞，霍克号的舰首戳进奥林匹克号的船尾，两船都严重受损，奥林匹克号上的1300名乘客被送回岸上。奥林匹克号在南安普敦修补之后，返回贝尔法斯特大修。英国的海事法庭宣布，发生碰撞的主要责任由奥林匹克号承担。

其实，这次海上事故可以用伯努利方程解释：当两船平行航行时，两船之间的水比外侧的水流得快，压强小，在外侧水的压力作用下，两船渐渐靠近，最后相撞。现在，航海上将这种现象称为“船吸现象”，世界海事组织对航海规则作了严格规定，包括两船行驶时必须保持多大间隔，在通过狭窄地段时，小船与大船彼此应如何规避，等等。我们划船时，有时想和另一艘船的朋友并行，但是会发现两船总是莫名其妙地靠在一起，也是同样道理。

同理，骑车时，如果有汽车从身旁急速驶过，我们会感到有一股力量将我们推向汽车。火车进站时，不能靠得太近，因为人和火车之间的空气流速较大，压力小，火车像有吸力将人吸过去。汽车在马路上快速驶过后，马路两边的树叶会随风飘动，这是因为汽车快速行驶时，马路中间的空气流速大，压强小，两侧的气压将树叶吹向中间。

屋顶为何被风掀飞？

龙卷风能将屋顶掀飞，但人们发现了一个奇怪现象：龙卷风发生前将门窗关严后再撤离的人家，大部分屋顶都被掀飞了，而走得匆忙忘记关门窗的人家屋顶大都保存了下来。这是因为龙卷风从屋顶快速刮过时，屋顶上方的空气流动加快，气体压强变小，而屋顶下的空气几乎是不流动的。如果关严门窗，会使屋内的压强大于屋外的压强，一旦风速超过一定值，压强差就会掀起屋顶。如果门窗没关，屋内外气压平衡，因此屋顶就不会被掀开。

趣味实验

取一只玻璃漏斗，开口朝下垂直放置，用嘴从漏斗的颈部向下吹气，再将一个乒乓球放进漏斗的喇叭口中，可观察到乒乓球被吸在漏斗的喇叭口内［图2-15（a）］。如图2-15（b）所示，取一只乒乓球放在水平桌面上，再取一支圆珠笔管，尖嘴端向下，用嘴沿竖直方向吹气，当吹乒乓球侧面时，球会向笔管的正下方滚。当笔管移动时，球也跟着移动。把球放在一块倾角为45°左右的镜面上，用笔管水平吹球的上侧，乒乓球会在镜面上旋转不停而不掉下来。当笔管沿镜面移动时，乒乓球也跟着在镜面上移动。将硬纸片折成∩形，放在桌上，对着∩的开口吹气，发现纸片像被粘在桌子上似的，无法吹翻。

球类运动中的弧旋球

足球比赛的前场直接任意球，通常是防守方在球门前组成一道“人墙”挡住进球路线，进攻方的主罚队员起脚一记劲射，球绕过“人墙”，眼看就要偏离球门飞出时，却又沿弧线转过弯来直入球门，让守门员措手不及，这就是神奇的“香蕉球”或弧旋球（图2-16）。为什么足球在空中沿弧线飞行呢？因为运动员并不是踢足球的中心，而是稍稍偏向一侧，使球在空中前进时不断旋转，这时，一方面空气迎着球向后相对流动，另一方面，由于空气与球之间的摩擦，球周围的空气又会被带着一起旋转。这样，球一侧空气的流动速度加快，而另一侧空气的流动速度减慢，于是足球在压力作用下，被迫向空气流速大的一侧转弯。可以做一个简单的实验：用细线吊起一个空塑料瓶，用手旋转塑料瓶，使其绕对称轴旋转（图2-17），用电风扇向其吹风，塑料瓶向哪个方向移动呢？

汽化器与喷雾器

汽化器是向汽缸供给液体燃料与空气混合物的装置。当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速增大，压强减小，也称文丘里 效应，汽油被吸入并被空气喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。正是由于汽化器的发明和液体燃料的使用，汽车销量开始增加，汽油也由过去主要用作清洗剂而一举成为上等燃料。喷雾器的原理与汽化器相似。

本生与本生灯

煤气灯，也称本生灯，由罗伯特·威廉·本生（Robert Wilhelm Bunsen，1811—1899）发明。本生出生在德国的哥廷根，1830年以一篇物理学论文获得了博士学位，1853年当选法国科学院院士，1858年当选英国皇家学会会员，1899年8月16日卒于海德堡。在本生灯发明前，煤气灯中煤气燃烧不完全，火焰很明亮但温度不高。1853年，本生将其改进，先让煤气和空气在灯管内充分混合，然后从喷嘴喷出燃烧，旋转灯管或者下部的螺钉可以调节进气量使煤气燃烧完全，温度可达2300℃，且没有颜色（图2-18）。如今的很多煤气用具，如家用煤气灶可以不烧黑锅底，也都体现了本生灯的燃烧原理。

本生在他发明的灯上灼烧各种化学物质，发现钾盐灼烧时为紫色，钠盐为黄色，锶盐呈洋红色，钡盐为黄绿色，铜盐为蓝绿色。起初，他认为他的发现会使化学分析极为简单，只要辨别一下灼烧时的焰色，就可以定性判断其化学成分。但后来发现事情绝非那样简单，因为在复杂物质中，各种颜色互相掩盖，使人无法辨别，特别是钠的黄色几乎把所有物质的焰色都掩盖了。本生试着用滤光镜将各种颜色分开，效果比单纯用肉眼观察好一些，但仍不理想。1859年，本生和物理学家基尔霍夫合作将一架直筒望远镜和三棱镜连在一起，设法让光线通过狭缝进入三棱镜分光，这就是第一台光谱分析仪。他们合作分析各种物质，本生在物镜一边灼烧各种化学物质，基尔霍夫在目镜一边观察、鉴别和记录。1860年5月10日，本生和基尔霍夫在狄克海姆矿泉水中，发现了新元素铯；1861年2月23日，他们在分析云母矿时，发现了新元素铷。此后，光谱分析法被广泛采用。1861年，英国化学家克鲁克斯用光谱法发现了铊；1863年，德国化学家赖希和李希特用光谱法发现了新元素铟，以后又发现了镓、钪、锗等。本生和基尔霍夫创造的方法，可以研究太阳及其他恒星的化学成分，为以后天体化学的研究打下了坚实的基础。1877年，本生和基尔霍夫共同获得了戴维奖。1890年，本生获得了英国工艺学会的何尔伯奖。本生在化学上建树极多，他研究过火山和气体，制作过本生电池和镁照明材料。1853年，他发明了利用硫酸对游离碘进行容量分析的方法。1875年，对稀土元素光谱作了统一研究。晚年，他还制造了一架蒸气量热器，用来测定某些物质的比热容。

本生对荣誉、勋章、奖章很淡漠，他对他的学生和朋友说：“这些荣誉和奖章的价值，全在于它们能使我的母亲感到高兴，可惜她已不在人世了。”本生不喜欢政治性的社交，尤其不喜欢和显贵们交往，他认为那是浪费时间。1886年，海德尔堡大学举行建校五百周年庆祝活动，邀请了许多显贵参加纪念大会，校长和显贵们纷纷致词，许多人对本生的成就给予了高度评价，但本生却睡着了。学生的活动惊醒了他，他说他梦见一支试管掉在了地上。本生为了事业终生未娶，有人曾给他介绍女友，他一次也没有主动约会，在结婚的日子竟忘记了举行婚礼的时间，并且就那样不了了之。人们问他为什么不结婚，他说：“我总是没有时间。”本生70岁时给他的好友写信说：“垂暮之年，来日不多，回忆过去，最使我快乐的是我们共同进行的研究工作。”

马里奥特恒速装置

医院输液容器即为一马里奥特恒速装置。如图2-19所示，为了使高位槽底部的液体流量不随槽内液面的下降而减少，可将高位槽上端密封，并于高位槽底部设置一个与大气相通的侧管。液体从下管排出而使槽内上方空间形成真空，在大气压力作用下，侧管中的液面开始下降，降至截面1时，空气进入槽内补充，使截面1处的压力始终为大气压力p₀。设p₁、p₂分别为截面1和截面2处的压强，忽略截面1处流体的流速，在截面1、2之间列伯努利方程：

　　 （2-3） 　　

又　　 p₁=p₂=p₀

　　 所以 　　 　　 （2-4）

由此可见，只要液面下降不低于截面1，则h₂一定，流速一定；液面低于截面1后，由于h₂下降，出口流速相应减小。