3.1　杆单元的位移模式及形状函数

3.1.1　阶梯状二杆结构描述

一个阶梯状的二杆结构如图3-1所示，材料的弹性模量和结构载荷、尺寸如下：E^（1）=E^（2）=20MPa，P₃=100N，A^（1）=2A^（2）=200mm²，l^（1）=l^（2）=100mm

该结构由两根杆件组成，由于不考虑重力的影响，仅考虑水平方向的平衡，可认为是一个理想化的力学模型。若按材料力学的方法研究，此结构为简单的轴向拉压问题，可以方便地计算出任一点的位移、应变和应力。但现在我们采用数值分析的方法研究此结构，即用有限元的方法对此结构进行分析，可得出有限元分析的一般步骤，并得出反映有限元法本质的共同性的结论。

首先需要研究此结构的特征结构，即该结构由两根杆件组成，每一杆件具有共同的特征。将该特征结构抽象为具有两个节点的单元，即杆单元，如图3-2所示。首先在此杆单元上沿杆轴线建立x轴坐标系，该单元有两个节点，每一节点仅有沿x方向的位移u₁、u₂，u（x）为杆单元的内部位移，P₁、P₂为节点力，E^e、A^e为杆单元的材料弹性模量及横截面积，l^e为杆单元的长度。

该结构有限元分析的一般过程如下，首先对结构进行离散化，将该结构离散为两个杆单元和三个节点，即单元①和单元②，三个节点的节点位移分别为u₁、u₂和u₃。然后研究单元的特性，得出单元内部各物理量之间的内在关系。最后将单元组装成整体结构，根据结构的平衡条件求出所有未知量。

3.1.2　二节点杆单元位移模式及形状函数

（1）单元位移模式

对于二节点的杆单元（如图3-2所示），由材料力学的知识可知杆内部位移是沿轴线线性分布的。已知杆单元的两个节点位移，故可设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）：

u（x）=a₀+a₁x　　（3-1）

（2）单元形状函数

单元的两个节点条件为：

　　 （3-2） 　　

将节点条件式（3-2）代入式（3-1）可得：

　　 （3-3） 　　

将其代入式（3-1），可将u（x）表达成节点位移（u₁，u₂）之间的关系，即：

　　 （3-4） 　　

其中N叫做单元位移插值函数矩阵，也叫做单元形状函数矩阵，为：

　　 （3-5） 　　

q^e叫做单元节点位移列阵，即：

q^e=［u₁　u₂］^T　　（3-6）

式（3-5）中的形状函数矩阵是有限元法中十分重要的矩阵，它把单元的节点位移和单元域内位移联系起来，N₁和N₂分别是1和2节点的形状函数。

由式（3-4）可知，当u₁=1、u₂=0时，杆单元的位移u（x）就是N₁；当u₂=1、u₁=0时，杆单元的位移u（x）就是N₂。所以形状函数的力学含义是：当单元的一个节点位移为单位值，其他节点的位移为零时，单元内位移的分布规律。正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵N及其元素N₁和N₂也由此而得名。