第4章　回归分析

4.1　概述

回归分析是研究变量之间相互依赖关系的一种统计方法，是数理统计学中应用广泛的一个分支。

两个变量之间的关系一般可分为两类：一类是变量之间存在着完全确定的函数关系，一个变量或一些变量可以确定另一变量的值。例如，圆的周长l和面积S与其半径r存在确定的函数关系l=2πr、S=πr²。电学中电压V、电流I和负载电阻R间有明确的函数关系V=IR。另一类是变量间存在密切的关系，但没有达到严格的确定关系，而具有某种程度的不确定性，这种变量之间不完全确定的关系称为相关关系。相关关系是一种统计关系，因变量y的取值与自变量x的取值虽有一定关系，但y的取值带有一定的随机性，它只是随自变量x大体上按一定的规律而变化。例如，儿童是身高和体重与年龄有一定的关系，虽然这种关系也可以用一个函数式表示，但具体到一个儿童，其计算值可能与实际测量值存在一定差距。又如，粮食产量与施肥量有关，肥料有助于提高粮食产量，但施肥量相同的田地其粮食产量仍有差别。

函数关系与相关关系的差别在于：函数关系是由自变量x决定因变量y的值，而相关关系是由x值决定y值的概率分布。

确定性关系和相关关系是两种不同类型的变量关系，但它们之间没有绝然的区别。由于测量误差和其他因素的影响，确定性关系往往以相关关系表现出来，而当人们对事物变化规律有深刻认识时，原来是相关关系的变量又能找出其确定性关系的表达式。

在分析测试中，测量结果与其他影响因素之间虽有密切的关系，但又不像数学函数关系，因变量y随自变量x严格地按确定的规律变化，而通常表现为相关关系。当自变量x变化时，因变量y大体上按某种规律变化（即在一定范围内变化，有时会有例外），不能由x_i精确求出y_i值。如ICP-AES、AAS等分析方法，测量的光谱强度I（或吸光度A）与其浓度c间通常有I=a+bc关系式，但由于测量误差、干扰的存在，仪器性能、测量条件的影响，关系式中的系数a、b会在一定范围内变动。一定浓度c在重复测量时，测得的I会在一定范围内变化，或者说由强度I计算出的浓度c不是十分确定的。用回归直线表示I和c之间的关系时，试验点不一定都在按其相关关系式画出的直线上，试验点与回归直线有一定的离散度。

回归分析是研究相关关系的一种数学工具，它是利用数理统计方法，在大量的试验数据和观察中，寻找隐藏在随机性后面的统计规律。

回归分析的内容有：

①从一组数据出发，计算变量间相关关系的数学表达式；

②对这些相关关系表达式进行可信度的检验和判断；

③从影响某一变量的许多自变量中判断影响量的主要因素和次要因素；

④利用求得的相关关系，对试验和生产过程进行预测和控制。

在分析测试中，遇到最多的是一元线性回归问题。一元线性回归虽简单，但应用广泛，且包含了回归分析的基本思想和方法，具有普遍意义。