4.4 二元线性回归分析
在实际工作中，影响因变量（y）的自变量（x）往往不止一个，可能有多种因素，这就需要用多元回归分析方法。多元回归分析的基本原理与一元回归方法相同，由于自变量多，计算较为复杂。二元线性回归分析是多元线性回归中最简单的情况。
4.4.1 二元线性回归方程求解
设两个自变量分别为x1和x2，因变量为y，二元线性回归方程可表示为：
（4-61）
式中，a为常数项，b1、b2分别为x1、x2的偏回归系数，反映x1、x2对因变量y的影响程度。通过一系列自变量（x11，x21）、（x12，x22）、…、（x1n，x2n），分别测量得因变量y1、y2、…、yn，用最小二乘法确定常数项a和偏回归系数b1、b2。
与一元线性回归方程类似，二元线性回归方程的变差平方和可表示为：
（4-62）
满足变差平方和的条件是：
（4-63）
（4-64）
（4-65）
解式（4-63）得：
（4-66）
将式（4-66）代入式（4-64）、式（4-65），得：
（4-67）
（4-68）
令
解式（4-67）和式（4-68），整理得：
（4-69）
（4-70）
回归方程中的a用式（4-66）计算。
4.4.2 二元线性回归方程的显著性检验
4.4.2.1 方差分析
在求得二元线性回归方程后，需要确认y与x1、x2之间是否存在显著的相关性，为此可进行方差分析。
与一元线性回归方程类似，可将y的总变差平方和QT分解成回归变差平方和QR和剩余变差平方和Qe，这样：
式中，
计算方差分析统计量：
（4-71）
对给定显著性水平α，当
，则认为在显著性水平下，y与x1、x2存在显著的线性关系。反之，不存在显著的线性关系。
表4-18给出了多元线性回归方程方差分析表。
表4-18 多元线性回归方差分析表
注：m是自变量数，对二元线性回归方程m=2。
4.4.2.2 相关系数
与一元线性回归方程相似，在二元线性回归方程中要检验因变量y与自变量x1、x2的相关性，可用一个全相关系数R来表征它们之间的相关性。
（4-72）
对二元线性方程，亦可表示为：
（4-73）
当R≥r0.05，（n-3）时，认为所建立的回归方程在95%置信水平是有意义的。对二元回归方程，还可检验y对x1或x2是否有显著意义。类似一元回归方程的相关系数计算［式（4-14）］，用
和
分别表示y对x1和y对x2的偏相关系数，用
表示y对x1与x2的偏相关系数，有：
（4-74）
并有：
（4-75）
4.4.3 二元线性回归方程的精度
类似于一元线性回归方程，对于二元线性回归方程，用残余标准差表示回归方程的精度：
（4-76）
式中，Qe是残差平方和；ν是自由度；n是回归方程试验点数目；m是回归方程自变量数目。对二元回归方程：m=2，ν=n-3。
【例4-9】 已知某矿区铁精矿的全铁含量与其二氧化硅和三氧化铝含量有关，通常，二氧化硅和三氧化铝含量高，则全铁含量低。根据12个样本的测量结果（表4-19），试计算它们的回归方程、相关系数和标准差。
表4-19 铁含量与其二氧化硅和三氧化铝含量的关系
解 本题按二元一次方程求解，将表4-19各数据填入Excel表格，计算以下参数：
按式（4-69）、式（4-70）和式（4-66）
由此，回归方程表示为：y=69.91-0.981x1-1.222x2
按式（4-72），求全相关系数R：
按式（4-76），计算回归方程标准差se：
二元一次方程的计算较为复杂，而且容易出错。在实践中可利用Excel的数据分析/回归功能进行计算，在y值输入区域输入Fe含量，在x值输入区域输入SiO2和Al2O3含量，即可计算并给出回归方程的a、b1、b2、R和se等参数（见第13章图13-23）。
4.4.4 二元非线性化回归
对二元非线性回归，可用一元非线性回归方程的方法处理，先将自变量设置为线性项，然后按二元线性回归方法处理，求出常数项a和回归系数b1、b2，建立回归方程。在此基础上进行方程的显著性检验，计算回归方程的残余标准差和相应的置信区间。