2.1　板式塔的模拟

早在20世纪80年代初，黄洁等曾用涡流（湍流）扩散模型及二维、三维离散混合池模型和经验的湍流传质扩散系数以预测塔板上的浓度分布，并由此计算出塔板效率^［1，2］。21世纪初，王晓玲用零方程方法对板式精馏塔的三维浓度及其效率进行计算^［3，4］。刘伯潭^［5］根据标量脉动方差及其耗散率两方程的模式^［6～8］，建立了两方程模型，用于求解板式精馏塔浓度分布^［5］，后经孙志民^［9～13］及刘国标^{［14，15］}的进一步完善，应用于板式塔和填料塔的精馏过程浓度分布及分离效率的预测，并得到验证。随后李文彬进行雷诺质流模型的探索，也取得进展^［16］。

2.1.1　板式塔传质扩散特征数模型

王晓玲^［3，4］采用拟液相特征数模型，并结合计算流体力学方程，进行精馏塔塔板三维浓度分布计算，该计算基于如下假设。

①在精馏塔塔板上气液相的相间质量传递被认为是输入与输出彼此相等，即如通常一样近似地设气液相为恒质量流，故质量守恒方程的源项，同时也使。

②在一块塔板上的气液两相浓度变化范围内，气液相组分平衡关系简化为线性方程。

③气液相进口浓度是均匀分布的。

此外，在建立模型时，如果传质组分间的蒸发潜热被认为相等（例如本章的正庚烷及环己烷分离）或传质量很小（如本章的甲苯在水溶液中的“剥淡”），可略去热量守恒的方程组而对模拟结果不会产生影响。

精馏过程稳态的三维拟液相模型方程组的形式如下。

质量守恒方程为：

动量守恒方程为：

k方程为：

方程为：

传质组分质量守恒方程为：

式中

上面各式中，下标L表示液相；为液相的相含率；为组分传质方程源项，m·s^-1；k_L为以液相浓度表示的液膜传质系数，m·s^-1；C_L为液相主体中组分n的时均浓度，kg·m^-3；为与界面气相浓度平衡的液相组分n的界面浓度，kg·m^-3；a为单位体积气液混合物的有效两相接触面积，m²·m^-3。

液相传质系数k_L采用Lockett推荐的经验公式^［17］：

对于气体以气泡形式穿过液体的过程，采用Cockx公式^［18］计算两相有效接触面积，即：

在零方程模型封闭中，认为与ν_t成一定的比例。对于筛板精馏塔，推荐涡流扩散系数取为^［19］。此式实际上相当于取等于0.8。这样假定为一常数来封闭传质方程就是零方程的封闭方法。

（1）流体力学方程的边界条件

①进口　塔板流速场坐标系如图2-1所示。假设进口处速度分布均匀，则液相x方向速度可由液流强度L及清液层高度计算，其他方向速度为零，即：

式中清液层高度h_L（单位为m）采用如下公式^［20］计算：

进口边界条件采用文献上的经验关联式。其边界条件为^［21］：

式中，W为进口堰宽。

②出口　采取充分发展流的条件及设定出口压力（表压）为零，即：

③壁面　对于底板、出口堰和流场四周的塔壁，均采用无滑移边界条件（参见附录Ⅰ的Ⅰ.3.1节）。

④气液接触表面自由表面　各方向的应力为零，故其边界条件为：

⑤对称边界　塔板中心面边界条件为方向对称，即：

（2）传质方程的边界条件

①进口　设浓度均匀分布，而且为一确定值，即：

②出口　浓度均匀取充分发展流条件，即：

③壁面　在底板、出口堰和边壁处，传质通量为零，因此边界条件为：

底板

出口堰

边壁

模拟结果如下。

根据上述模型方程，除能计算出塔板上流速的分布外，还能计算出浓度分布。模拟对象为Bell等^［22］的实验塔板，可计算出三维浓度场。图2-2为部分计算结果。由于Bell等只测量了速度分布，没有测量塔板上的浓度分布，导致未能用实验验证计算的结果。

2.1.2　板式塔传质扩散两方程模型

孙志民^［9～12］在两方程封闭方法^［5］基础上，完善了板式精馏塔计算传质学模拟方法，并与实验结果对比，及对工业精馏塔进行了模拟与验证。数学模型如下（模型的假设与零方程相同）。

2.1.2.1　流体力学方程组

质量守恒方程为：

动量守恒方程为：

方程为：

方程为：

模型常数为：1.44，1.92，σ_k1.0，σ_ε1.3^［23］。

动量守恒方程源项的确定如下。

对于筛板塔模拟中的源项，根据采取不同的气相速度，可有两种不同的计算方法。

（1）根据空塔气速计算（空塔气速模型）

对于x、y方向的源项计算可取张敏卿等提出的公式^{［24，25］}：

对于z方向按下式计算^［26］：

式中，。其中，按下式计算^［27］：

也可由如下关联式给出^［28］：

（2）根据筛孔气速计算（筛孔气速模型）

由于筛孔塔板的开孔率一般很低，故筛孔处的气速较空塔气速要大1～2个数量级，常使筛孔出口气体以喷射气柱的形式穿过液层。由于气柱对周围液体的作用，周围的液体会加速上升。同时气柱就像质地松散的柱体在液流方向对液体产生阻力。孙志民^［12］基于以上分析，认为此时的气液动量传递源项要包括喷射气流对液体的卷吸及夹带作用力——曳力和气柱对液流的横向阻力。

基于错流中气体射流的研究结果，曳力可以表示为^［29］：

式中，C_T取为0.1；，及的计算公式上面已经给出。气相速度由圆孔射流的研究结果给出^［30］：

如图2-3所示，x方向为液流方向，z方向为垂直于塔板并指向液层的方向，y方向是与x-z平面垂直的方向。r为流场中的点距某一筛孔中心的距离，θ为r与液流方向即x方向的夹角。

沿x方向液相流动阻力为^［29］：

式中，常数C_p0.4。

动量守恒方程的源项为：

（3）两种计算方法的比较

为了说明此两种计算方法的差别，孙志民对直径为1.2m的实验筛板塔（结构参数见表2-1）的模拟分别按空塔气速计算和按筛孔气速计算源项得到流场，如图2-4所示。实验筛板塔的主要结构参数及操作条件见表2-1。

由图中可以看出，按空塔气速的计算结果在整个主流区液相速度都较均匀，而按筛孔气速的计算结果显示液速只在开孔区较为均匀，并且其最大值较空塔气速模型计算所得的大，而且这些大速度区出现在塔壁附近，其原因是它们处于布孔区的边缘，此处筛孔的外围没有其他孔的影响，气速衰减较慢，对周围液体的加速也较大。由于流场主流部分彼此相差不多，特别是在一般情况下筛孔的分布比较均匀，故空塔气速与筛孔气速模型的计算结果一般来说相差不会很大。

2.1.2.2　传质部分方程组

传质组分质量守恒方程为：

方程为：

方程为：

模型常数为：，1.8，，0.8，，^［9，11］。

需要说明的是，除上述及的模型化方程外，也可采取其他的模型化方程（参阅第1章）。计算表明，采用不同的模型化方程及相应常数会导致模拟结果略有差异，但一般不会很大。

浓度输运方程中的S_C（kg·m^-3·s^-1）为相对于某一组分的传质源项，其值可以表示为：

式中，K_OL为以液相为基础的总包传质系数，m·s^-1；a为单位液相体积的气液接触面积，m²·m^-3；为与通过塔板的气相浓度平衡的液相质量浓度，kg·m^-3。

K_OL可表示为：

式中，k_L及k_G分别为液膜及气膜传质系数；m为气液相平衡常数，对于稀溶液则等于Henry常数。

对于k_L及k_G采取Zuiderweg根据筛板塔而拟合的关联式^［31］：

式中，m值在涉及浓度范围内的平均值为0.0055。气液接触面积，h为液层高度，单位鼓泡面积上的比表面积在喷雾（spray）区和混合与乳状（mixed and emulsion）区的表达式分别如下^［31］：

喷雾区　　

混合与乳状区（）

式中，（25mm＜H_w＜100mm）；。这里的比表面积以单位鼓泡面积为基础，与传质源项中的以单位体积为基础的比表面积不同，在使用时需除以液层高度。

2.1.2.3　边界条件

（1）流体力学方程部分

速度进口条件为：

k和ε的边界条件采用文献上的经验关联式^［23］：

①近壁区　采用对数律壁函数^［23］，参阅附录Ⅰ的Ⅰ.3.1节。当壁面单元时，此时的无量纲速度为：

无量纲距离由下式计算^［32］：

式中，κ为卡门常数（对光滑表面，κ0.418）；E9.8；k_P是节点P的湍动能；μ是流体的黏度；y_P是节点P到壁面的距离。

对于的近壁区网格，按层流处理，即：

对于湍动能方程，在包括近壁区的整个流场中均须计算，在壁面处的边界条件为：

式中，n为壁面的法线方向。

对于耗散率方程，在近壁区就不再求解，而是以下式代替：

对于底板、出口堰和流场四周的塔壁，设为无滑脱边壁条件，即各方向速度为零：，，。

②气液接触自由表面　各方向的应力τ_ij为零。各方向的边界上有：

③塔板中心线　以x方向为轴的y方向上对称，即：

④出口　取充分发展的管流条件，即：

同时，设出口处表压为零。

（2）传质方程部分

假设进口处浓度分布均匀，浓度进口条件为：

关于的边界条件，由于浓度测量的困难，这方面的研究较少，这里采用类比的方法，借鉴传热中的研究成果^［33］，取为：

的边界条件可由时间尺度比r_c（设r_c0.9）间接求得：

在近壁区也采用壁函数法按FLUENT软件进行处理：

式中，为无因次传质边界层厚度。

2.1.3　板式塔传质扩散雷诺质流模型

本节的模拟采用了相互作用的液相建模形式。为简化起见，假定塔板上的液相分率和液相密度是常数。

2.1.3.1　标准雷诺质流模型

（1）模型方程

①CFD方程组（模型）

总质量守恒方程为：

　　（2-1）

动量守恒方程为：

　　（2-2）

其中，由下面的方程给出：

　　（2-3）

式中的常数为：C_k=0.09，C₁=2.3，=0.4^［34］。

②质量传递方程组（雷诺质流模型）

组分质量守恒方程为：

　　（2-4）

脉动的质量流率为：

　　（2-5）

式中的常数为：，，。

附属方程如下。

k_L方程为：

　　（2-6）

方程为：

　　（2-7）

边界条件与第2章2.1.1节中给出的一致。

（2）模拟结果的验证和比较

模拟对象为塔板，被分离物系是正庚烷和甲基环己烷二元混合物。文献［35，36］的作者对全塔所有塔板进行了模拟，给出了距离塔板底面不同高度截面上的浓度分布模拟结果，其中第8块和第6块塔板模拟结果分别如图2-5（a）、（b）和图2-5（c）、（d）所示。

2.1.3.2　混合雷诺质流模型

模型方程与标准雷诺质流模型相同，即项采用式（2-8）进行简化：

　　（2-8）

混合雷诺质流模型和代数雷诺质流模型，只需要求解简化的式（2-8）来代替复杂的式（2-3）。文献［37］的作者对所有塔板距离塔板底面不同层次高度上的浓度分布进行了模拟，其中第8块塔板如图2-6（a）、（b）所示，第6块塔板如图2-6（c）、（d）所示。

通过比较图2-5（a）、（b）和图2-6（a）、（b）以及图2-5（c）、（d）和图2-6（c）、（d），我们发现标准雷诺质流模型和混合雷诺质流模型模拟得到的结果差别甚小，主要集中于入口堰的末端和相邻的部分墙壁处。产生这些差异的原因是，标准雷诺质流模型是各向异性的，能够给出更加详细的三维流动和传质模拟结果，而混合雷诺质流模型是各向同性的，在那些区域内不能给出详细的三维流动行为。但是如果忽视这些小区域内的差异，结果表明混合雷诺质流模型可以用于总的模拟来代替复杂的标准雷诺质流模型来对多塔板精馏塔内的所有塔板进行模拟，从而节省计算所需的时间。

使用混合雷诺质流模型得到的结果也可以与双方程模拟得到的结果进行比较，如图2-7所示。在图中可以看出，两种模型得到的结果总体上是一致的，除了在靠近入口堰和塔壁区域，在这些区域相比于双方程模型，混合雷诺质流模型给出了更加详细的浓度分布。

混合雷诺质流模型也可以通过比较实验测量的每块塔板出口浓度来验证。图2-7为塔板浓度分布，图2-8为根据塔板出口浓度分布计算的Murphree塔板效率值。图2-7和图2-8中也展示了采用双方程模型得到的结果。从图2-8中可以看出混合雷诺质流模型和双方程模型得到的塔板效率值比较接近，总的趋势混合雷诺质流模型更接近实验。采用标准和混合雷诺质流模型模拟得到每块塔板出口C₆浓度的比较由图2-9给出，在图中两者得到的结果是相吻合的。

总的来说，采用双方程模型和不同的雷诺质流模型对于一个板式精馏塔的整体模拟结果是十分相近的，并被实验测量所验证，但如果需要塔板上详细的质量传递和流动信息，标准雷诺质流模型是最好的选择。

为了简便起见，在本节的论述中我们采用脉动的质流通量，即负的雷诺质流-，来代替雷诺质流。

在求解模型方程的过程中，脉动的质流通量、、可以同时获得^［36］。它们在第8块塔板上不同轴向位置的径向分布如图2-10（a）所示。在所有方向上脉动质流通量的总和为，如图2-10（b）所示。

如图2-10（b）所示，脉动质流在靠近入口堰区域（x=0.2）比出口堰区域附近（x=0.6）要大，这是因为在精馏操作过程中，c以及随着x方向（即主体流动方向）是减小的。在r方向，其与主体流动方向是垂直的，所有、和分布直到0.3r几乎是不变的，然后轻微地上升直到r=0.45r处达到最大值。这个趋势在图2-10（c）、（d）、（e）中也同样可以看到。这个最大值点表明，在塔板上一个最大质流输运的出现以及最大湍流扩散和涡流混合的存在，这是由于在精馏塔内的部分区域产生的回流（大尺度旋涡）所造成的影响。这个模拟结果与很多实验工作得到的结果是一致的，在这些实验中这个区域附近观察到了回流现象。在图2-10（b）和（d）中和沿着r方向的分布从r=0到r=0.3m几乎是零梯度，这表明了湍流（脉动）质流流动保持不变，即在这个区域湍流影响保持稳定（参见2.6.1.3节）。但前面提到的浓度的变化是非常小的，在浓度分布中几乎辨认不出。

2.1.3.3　代数雷诺质流模型

我们可以进一步降低混合雷诺质流模型方程的复杂性。在稳态条件下，通过设定式（2-8）左侧的对流项与右侧的湍流和分子扩散项相等，可得到式（2-9）。

　　（2-9）

代数雷诺质流模型就是用式（2-9）来代替混合雷诺质流模型中的式（2-5），而所有其他的模型方程不变。

为了验证这个模型，文献［37］的作者模拟了第8块塔板上的浓度分布，并对采用不同雷诺质流模型得到的结果进行了比较，如图2-11所示。从图中可以看出，尽管总体上不同模型得到的分布是相似的，标准雷诺质流模型相比较其他两种简化的模型给出了更加细微的浓度分布变化情况。

上述两种简化模型还可以通过如图2-12和图2-13所示的每块塔板出口浓度和Murphree塔板效率来加以比较。采用代数雷诺质流模型模拟得到的出口浓度比混合模型得到的结果要大一些。而在图2-13中采用代数雷诺质流模型模拟得到的Murphree塔板效率要低一些。除了含较大实验误差的第3块、第4块塔板，这两种模型得到的Murphree塔板效率模拟结果都与实验吻合得较好。

2.1.4　多组分点效率的预测

2.1.4.1　双组分和多组分点效率的差异

多组分精馏的分离效率与双组分精馏的不同体现在以下几个方面。

①在双组分系统中，液相和气相间的扩散通量与浓度梯度的负值成正比；然而在多组分系统中并不是这样。

②在双组分系统中，组分i和组分j的扩散系数是相等的；然而在多组分系统中它们并不是相等的。

③在双组分系统中，点效率的范围是0～1；然而在多组分系统中点效率可以小于0或大于1。

多组分系统复杂性的出现主要是由于分子间相互复杂作用的特性形成了非理想溶液，并且可能出现奇异的行为。

点效率在精馏塔的设计和操作中是一个基础数据。塔板效率可以采用本章中的CMT模型进行计算，研究表明，塔板效率与塔板结构、流动形态和操作条件是有关的，所以它只适用于在特定操作条件下的特定的精馏塔。而点效率只依赖于气液相接触的局部条件和物系的物理属性，它是评价采用板式精馏塔分离某种物系可行性的一种更好的方法。

对于点效率的研究已有几十年的历史，并形成了以作者的姓名命名的表达形式，如Murphree^［39］、Hausen^［40］、Standard^［41］和Holland^［42］。在这些表达式中Murphree点效率E_MV使用最为广泛。对于塔板，其定义为气相浓度在进入和离开塔板过程的减小值和如果离开塔板气相浓度与液相浓度相平衡的气相浓度减小值之比。它的数学表达式如下：

　　（2-10）

式中，下标n表示塔板编号；和分别表示进入和离开塔板的气相浓度（组分i）；表示在局部点与液相浓度相平衡的气相浓度。注意在这一部分下标i和j分别表示组分i和j，并不是流动的坐标方向。命名法可以从图2-14中清楚地看到。

Murphree点效率可以按照液相浓度表示成以下形式，即：

　　（2-11）

气相Murphree点效率E_MV在精馏过程中经常使用，而液相点效率E_ML则适用于液相控制过程，例如吸收和解吸过程。

准确来讲，在塔板上方垂直方向进行的传质过程是复杂的，如图2-15所示，其中包含喷射、分散的气泡、飞溅以及塔板间由于液滴形成的雾沫夹带。通常塔板在竖直方向可被分为三个区域，

即泡沫区（喷射）、气泡分散区（自由鼓泡）、气泡破碎区（液滴飞溅形成塔板间的夹带）。

因为气泡破碎区对于传质的贡献很小。而前面两个区域，液相为连续相，气相为离散相，在传质过程中占主导地位，并在文献中据此确立了两区域模型。

2.1.4.2　Oldershaw筛板

由Oldershaw^{［43，44］}开发的筛板被认为是用以代表点效率的最常用的精馏塔板。其主要结构参数由表2-2给出。Oldershaw筛板的结构和外观如图2-16所示。用其进行模拟是获得特定物系分离点效率的一种简单而方便的方法。

文献［46］的作者对于塔板上的液相使用两区域模型模拟了Oldershaw筛板^［46］。采用的是三组分非理想溶液（乙醇、异丙醇、水）的精馏分离，目的是考察多组分精馏中的奇异现象。

对于非理想的多组分气液相体系，经常采用Maxwell-Stefan方程来计算传质行为。Maxwell-Stefan方程的基本原理在第7章7.6.2节中进行了简要的介绍。

2.1.4.3　多组分板效率的实验工作

文献［46］的作者进行了以下的实验工作，以验证模拟的结果。实验在Oldershaw筛板上进行，实验装置如图2-17所示。分别针对三组分系统（乙醇、异丙醇、水）和四组分系统（乙醇、异丙醇、叔丁醇、水）测试点效率。其中三组分系统的初始组成如下：

入口气相的组成为：

操作条件为：T351.4K，1.652×10^-4m³·s^-1，11.28mm。

2.1.4.4　用于模拟的点效率模型

为了计算Murphree塔板效率，我们需要知道离开塔板气相的组成y_out，其值可以通过以下公式得到。因为塔板上组成的变化范围很小，我们可以假设气液平衡关系是线性的，即：

　　（2-12）

式中，y^*是气相的气液平衡浓度；是n-1阶对角矩阵，表示两组元对的平衡常数。在界面上有：

　　（2-13）

式中，是界面上的气相浓度。然后我们可以得到：

传递的质量流量可以由下式进行计算：

　　（2-14）

　　（2-15）

计算中液相主体浓度是已知的。式（2-14）和式（2-15）可以采用逐步迭代的方法进行求解来得到气液相间的质量通量。

对于塔板上穿过液相的气相，其浓度从y_in变化到y_out，而且应采用不同的方法进行计算。如图2-18所示，在筛板上取一个高度上的微元，我们得到：

和

式中，是气相流率；A是塔板上鼓泡区的面积；是气泡的表面积。结合前面的方程得到了：

对以上方程进行积分，积分被分为从塔板处h=0到h=h₁的气泡形成区和从h₁到h₂的气泡分散区，从而可以得到用于计算点效率的y_out。采用试差法逐步计算来得到结果。用于计算每个区域的方程如下。

（1）气泡形成区

实验工作表明，这一区域的气体主要形式为喷射。筛孔气柱如图2-19所示。文献［47］的作者关联了气体喷射直径d_j与塔板上清液层高度h_L和塔板筛孔直径d_h的关系：

故喷射气柱的比表面积可由下式求得：

式中，为塔板开孔率。由于气体流过喷射柱类似其流过湿壁塔，所以传质系数可通过两组分系统的关系加以计算^［48］：

式中，d_j为气体喷射直径；u_j和u_h分别为基于喷射直径和筛孔直径的气体速度。

（2）气泡分散区

到达这一区域的气柱破碎为不同尺寸的气泡，而且呈分散分布。气泡的平均直径可由下式估算^［49］：

式中，We_c为Weber数；为表面张力；为停留时间。τ值可由下式计算^［50］：

根据文献报道^{［44，50］}，气泡的平均直径与最大直径之比为常数，即：

上述气泡直径估算方法的可靠性已由文献中的实验数据验证，两者的比较列于表2-3。

对于孔径小于2mm的筛板塔，这一区域内的气含率可由下式计算：

式中，为筛板的开孔率。由上述的迭代方程再结合气泡直径，便可求出比表面积为：

文献［52］的作者对气泡和板上液层之间的两组分传质系数进行了测量，文献［53］的作者将其关联成如下公式：

式中，为气相中i组分的分子扩散系数。

（3）计算步骤

结合图2-19，板上两个清液层区域的总高度为h（），确定积分微元，其中，。在微元内，组分i的质量通量可由以下方法计算。

①对于并假设，则组分i的平均组成为。

②采用上述方法计算传质通量，以获得离开积分微元内的气相组成。若气相组成非常接近假设值，则继续计算位于其上部的下一个积分微元，直到液层区域的顶部，便可获得板上气体的出口组成。

作为上述计算的一个例子，表2-4列出了文献［46］的作者得到的传质通量沿液层高度的计算结果。

从表2-4可以看出，传质在液层液位低时快，随气体上升到泡沫区的顶部而降低。这表明气泡形成区在传质过程中占主导地位。

2.1.4.5　模拟结果及其与实验数据的比较

三组分系统和四组分系统的Murphree点效率模拟值与实验值的比较分别列于表2-5和表2-6。可以看出，大部分情况下误差较小，仅为百分之几。对于估算来说，这一误差是可以接受的。

2.1.4.6　多组分系统的奇异现象

前述文献［46］所报道的三组分系统的计算结果可用来说明多组分系统的奇异现象。图2-20为三组分系统中异丙醇的扩散通量与推动力的关系。

图2-20表明，在A点与B点之间，推动力为正值，传质方向从y₀（气相）到y（液相）。在B点，虽然推动力为正值，但异丙醇的质量传递通量为0，这种现象在二元系统中是不会发生的，即所谓的扩散障碍现象。从B点到C点，推动力仍然为正值，但异丙醇的传递通量却为负值，也就是说，传质方向相反，这种现象称为反向扩散。另外，图2-21示出了组分异丙醇传质推动力和传质通量随液层高度变化的模拟结果。从图2-21可以看出，在液层高度h约为25mm处，推动力趋近于0，但异丙醇仍能进行相间传质，这种现象称为渗透扩散。需要指出的是，在三组分系统中，只有异丙醇出现了这种奇异现象，乙醇和水并未出现。故非理想多组分系统的复杂性依赖于诸多因素，仍需进一步研究。