3.2　塔式起重机动力学模型及动态特性分析

回转塔式起重机有变幅、回转和起升运动3种基本工作状态，每一种工作状态都包括加速、匀速和减速3种基本运动形式。由于惯性力、离心力、科氏力和外界干扰的存在，引起货物的摆动，使起重机产生周期性扭矩、弯矩和倾翻力矩，影响着系统的稳定性和就位精度，延长辅助作业时间。本节针对回转塔式起重机货物的运动及摆动特点，建立惯性极坐标系和非惯性球坐标系，根据Lagrange-Euler运动方程推导出起重机的动力学模型，分析其动力学特性，揭示货物运动及摆动规律。

3.2.1　塔式起重机非线性动力学模型

回转塔式起重机通过起重臂的回转运动和变幅小车沿着起重臂的移动运输货物，根据这一运动特点，建立极坐标系，坐标原点取在塔身回转中心线与起重臂回转面交点处。货物随悬挂点运动的同时做空间摆运动，且摆长不断变化，据此建立非惯性笛卡儿坐标系和非惯性球坐标系，坐标原点取在钢丝绳的悬挂点处，随变幅小车移动，并且与起重臂同步旋转，回转塔式起重机结构示意图及坐标系统如图3.7所示。

货物悬挂点在极坐标系中的位置是（ρ，ψ），ρ和ψ分别表示小车的位移和起重臂的回转角度，货物在非惯性球坐标系中的位置用三个广义坐标（l，θ，ϕ）表示，l表示起升钢丝绳的长度，ϕ表示起升钢丝绳与x₁o₁z₁平面夹角，θ表示起升钢丝绳在x₁o₁z₁平面投影与过货物悬挂点铅垂线的夹角。系统有5个参量：变幅小车运动速度（或加速度）、起重臂回转角速度（或回转角加速度）、货物提升速度（或提升加速度）、货物摆动角度θ和ϕ，前三个量是控制量，后两个量为被控制量。

根据起重机工作的实际情况，给出如下假设和要求：①将钢丝绳的质量集中在吊钩处；②起升钢丝绳刚度足够大，其长度变化忽略不计；③忽略空气阻力。

设x₁o₁y₁平面位置势能为零，Lagrange函数为

　　（3.13）

根据Lagrange-Euler运动方程，在同时进行变幅、回转和起升运动的工况下，起重机动力学模型为

　

　　

　　

　　

式中，J_m表示回转臂的转动惯量；M和m分别表示小车和货物的质量；b_ρ、b_ψ、b_l分别表示变幅运动、回转运动和起升运动的阻尼系数；F_ρ、F_ψ和F_l分别表示变幅机构、回转机构的驱动力和起升机构的提升力；g为重力加速度。

回转塔式起重机动力学模型由变幅机构动力学方程、回转机构动力学方程、起升机构动力学方程以及货物摆动运动学方程组成，状态变量之间相互耦合，使系统成为时变的二阶非线性微分系统。货物摆动运动学方程式（3.17）和式（3.18）是关于摆角θ和ϕ的二阶振荡环节，它描述了变幅运动、回转运动与货物摆动之间的关系，变幅运动和回转运动的加速度为输入，货物摆角为输出。起升运动使系统成为弱阻尼系统，货物摆动的频率与钢丝绳长度有关，摆动的幅值与合成加速度有关。

基于MATLAB仿真软件，根据起重机非线性动力学模型式（3.14）～式（3.18），计算起重机在同时进行变幅、回转和起升运动的工况下系统的运动状态，货物摆动情况如图3.8所示。

系统参数：货物质量m=1kg，采样频率为0.005s，小车质量M=1.5kg，小车运行的最大加速度为a_max=1m·s^-2，额定速度v_max=0.3m·s^-1，小车运动等效阻尼系数b_ρ=0.1N·s·m^-1，参考命令是加速运行0.3s，匀速运行2s，减速运行0.3s，起吊臂的转动惯量J_m=5.5kg·m²，回转额定速度=0.3rad·s^-1，参考命令是加速运行0.3s，匀速运行2s，减速运行0.3s；起升机构的额定提升速度=

0.2m·s^-1，起升钢丝绳的长度由0.8m 提升到0.4m，再下降到0.8m，实现起重机点到点的位置控制，边值约束条件为

式中，t_f 表示起重机运行时间。上式确定了起重机的起止位置、速度和加速度。

3.2.2　塔式起重机实验台及非线性化模型验证

按照z-135塔式起重机，以1∶30的比例设计回转塔式起重机模拟实验台，起重机模拟实验台如图3.9所示。

回转塔式起重机模拟实验系统由一套PC机控制两套伺服系统和一套步进电动机驱动系统，分别驱动变幅机构、回转机构和起升机构运行。每一套伺服系统由运动控制器、伺服驱动器、伺服电动机组成，驱动器采用日本松下MSDA043A1A伺服驱动器，电动机采用日本松下小型小惯量MSMA022A1C伺服电动机，11线2500p/r增量式光电编码器装在电动机轴上，测量电动机的转角和转速。一套伺服系统通过同步带驱动小车沿着起重臂移动，变幅范围是0.1～1.5m，电动机轴上的光电编码器间接测量小车的位移和速度，反馈给运动控制器和伺服驱动器，实现起重机变幅运动控制。另一套伺服系统驱动起重臂回转，使起重臂做±360° 回转，光电编码器测量起重臂回转的角位移和角速度，反馈给运动控制器和伺服驱动器，实现起重机的回转运动控制。在起重臂两端安装光电限位开关，保证了变幅运动安全可靠。步进电动机驱动起升机构运行，实现货物的升降运动。两套伺服系统和一套步进电动机驱动系统实现起重机的变幅、回转和起升运动。

安装在变幅小车上的CCD摄像头对货物摆动角度进行测量，起重机在同时进行变幅、回转和起升运动的工况下，货物摆角的测量值与根据式（3.17）、式（3.18）的计算值之间的误差曲线如图3.10所示。

由于建模时没有考虑机械系统的延时特性和空气阻力的影响，使理论计算值与实际测量值有一定的误差，最大误差不超过30%，且随着时间的推移，误差越来越小，最终收敛于0，即理论计算值能逐渐跟踪实际值，说明式（3.17）、式（3.18）能比较准确地描述货物摆动特性。

起重机在同时变幅、回转、起升运动的工作状态下，货物摆动模型不是单项运动作用效果的叠加，由于科氏力的存在，使状态变量之间相互耦合，使货物摆动模型成为时变非线性的二阶微分方程。为了定量分析货物摆动特性，对其进行位置控制和消摆控制，需要对模型进行线性化处理。

3.2.3　塔式起重机线性化模型及动态特性分析

起重机每完成一个工作循环，使货物实现提升―运输―下降运动，每一种运动都包括加速、匀速和减速运动。起重机设计规范规定了各运行机构的最大运行速度和启动、制动时间，即间接规定了各机构运行的最大加、减速度。为了快速启动、制动，各运行机构通常以恒加减速启动、制动，即，，。线性化模型是在平衡状态θ_e=0° 和ϕ_e=0° 附近，即货物摆角小于10° 的情况下，对系统施加小扰动，忽略高次项，保留一次项求得。起重机同时做变幅、回转和起升运动，货物摆动线性化模型：

　　（3.19）

　　（3.20）

　　（3.21）

　　（3.22）

　　（3.23）

起重机同时做变幅、回转运动，货物摆动线性化模型为

　　（3.24）

　　（3.25）

基于MATLAB软件，根据线性化模型式（3.19）～式（3.23），计算起重机在同时进行变幅、回转和起升运动的工况下系统的运动状态，货物摆动情况如图3.11所示。货物在移动过程中，做变幅摆动，到达目标位置后，做等幅摆动。

回转塔式起重机动力学模型是时变的、非线性的，能比较准确地描述起重机动力学特性，用非线性模型可以求出系统运动状态的数值解。用线性化模型可以方便地求出平衡状态附近的解析解。

非线性化模型和线性化模型都是在起重机同时做变幅、回转、起升运动的工况下推导出来的，其他工况下的动力学模型可以作为特例而求出。

线性化模型是关于摆角θ和ϕ的二阶微分方程，起升运动使系统成为弱阻尼系统，货物摆动表现为小阻尼二阶振荡特性，摆动的频率与摆长有关，摆动的幅值与合成加速度有关。摆角θ主要是变幅运动惯性力和回转离心力共同作用的结果，摆角ϕ 主要由回转运动惯性力和科氏力引起。