1.2.1　宏观对称元素和宏观对称操作

1.2.1.1　对称中心

对称中心的对称操作是反演,它的效果是使(x,y,z)变到(,,)处,有手性变化。操作矩阵R为:

R=　　　(1.1)

1.2.1.2　镜面

镜面的对称操作是反映,涉及手性变化,如图1.5所示。图中表示对称操作前后手性有变化。当纸面为镜面时,上下等效点重合在一起,按国际表的表示方法,此时可用-+来表示这两个重叠的对称相关点。“+”表示镜面上方的点;“-”表示镜面下方的点。

图1.5　镜面记号和镜面反映(“+”在纸面上方;“-”在纸面下方)

镜面反映操作可表达为:

{m[uvw]}(x,y,z)=(x',y',z')　　　(1.2)

式中[u v w]表示镜面法线方向。以m[0 0 1]为例,它的操作矩阵为:

R=　　　(1.3)

当它作用到某个一般点(x,y,z)上时,其对称相关点坐标可如下求得:

{m[001]}(x,y,z)=R=　　　(1.4)

这就是图1.5中上下等效点重合的情况(纸面为m,[0 0 1]和纸面垂直)。

1.2.1.3　旋转(真旋转)

一个n次旋转轴定义为绕此轴旋转α(=2π/n)后晶体的外观复原,α称为旋转角。

和一般的宏观图形旋转对称不同的是,晶体中只存在n=1,2,3,4,6几种旋转轴,不存在5次及6次以上的旋转轴。这是晶体的三维周期性制约所致。

旋转轴除了轴次外还有轴线的方向。晶体学中用记号[u v w]表示某一方向,在需要时常常同时标出轴次和轴的方向,如

国际符号:n[u v w]

熊夫利符号:C_n[u v w]

真旋转的效果,如用手来表示,只涉及单手,“手性”没有变化。

以2[0 0 1]为例,它的操作矩阵为:

R=　　　(1.5)

当它作用到某个一般点(x,y,z)上时,其等效点坐标可如下求得:

{2[001]}(x,y,z)=R=　　　(1.6)

写成通式:=　　　(1.7)

1.2.1.4　反轴(非真旋转轴)

反轴又称为旋转倒反轴,下面就是两种符号的对比:

它的对称操作是旋转倒反,是一种复合操作,即是另两个操作的乘积。对特定晶体,组成这种复合操作的每一步不一定是对称操作,但两者合起来的效果却是对称操作。在国际方案中,它是先进行n次旋转,接着进行倒反,记为n,简略符号。图1.6示出反轴对称操作中的对称相关点位置。

图1.6　由反轴联系的对称相关位置示意

由图可以看出,相当于对称中心,相当于存在镜面,相当于3+,相当于3+m,只有有新对称性。

因此,晶体的宏观对称元素只有8个基本的,即1,2,3,4,6,,m,。操作通式:

=　　　(1.8)

称不改变“手性”的对称操作为第一类对称操作,如旋转;改变手性为第二类对称操作,如反映、反演、旋转倒反等。这种左右手的手性关系称为对称关系或对映关系。如果两个物体具有这种关系,则称为对映体(enantiomorph),如右旋α石英和左旋α石英就是一对典型的对映体。显然,对映体中不可能具有使手性变化的对称元素,如镜面、对称中心及反轴等。如果两个物体具有相同的手性,就称它们是同宇(congruent)的。