第4章　非线性振动与随机振动

1　非线性振动

1.1　机械工程中的非线性振动类别

在对一个振动系统进行研究时，一般情况下其阻尼力和弹性力有时可线性化，但有时则必须考虑其非线性性质。在工程实际问题中也存在着一些不能线性化的系统。在机械系统中非线性力有非线性势力、非线性阻尼力和混合型非线性力。

　　 （19-4-1） 　　

　　 或 　　 　　 （19-4-2）

只有x、均较小，才可以将p（x，）函数在x＝0、附近展开成泰勒级数，并只取一次项，得线性振动的普遍方程式：　　（19-4-3）

非线性振动系统可分为自治系统和非自治系统。

（1）自治系统

系统中，广义力f不直接与时间有关，其微分方程式是：

　　 （19-4-4） 　　

自治系统分保守系统和非保守系统。

1）保守系统中，广义力仅与坐标x有关，系统的总机械能保持不变，微分方程式是：

　　 （19-4-5） 　　

2）非保守系统是指系统受到的广义作用力与广义速度有关。普遍的微分方程式是：

　　 （19-4-6） 　　

若f（x）为保守力，上式可分为三类：

①，系统在振动中总能量将不断消耗，振动将衰减，称耗散系统；

②，系统在振动中总能量将不断增长，振动将增大，称负阻尼系统；

③，增大到一定时将减小，最终出现定常振动，是为自激振动。自激振动的一个典型例子是范德波尔振子（即范德波尔方程）：

　　 （19-4-7） 　　

和瑞利方程：

　　 （19-4-8） 　　

（2）非自治系统

当系统受到的外力F（t）是随时间而变化的动态力，或弹性力和阻尼力与x、的关系是随时间而变化的，运动的微分方程式中含有时间t，如式（19-4-2）。

非自治系统中主要的两类如下。

1）强迫振动系统。系统只受到随时间变化的激振力P（t），系统的微分方程式为：

　　 （19-4-9） 　　

若或，，则该式即为杜芬方程。以该式表示的系统即为杜芬系统。

2）参数激励系统。弹性恢复力和阻尼力的系统随时间而变化时，得到变系数的运动微分方程式：

　　 （19-4-10） 　　

或一般的是如下的形式：

　　 （19-4-11） 　　

该系统一般都可以转化为马蒂厄方程：

　　 （19-4-12）