3.1 单变量函数的极限

3.1.1 单变量函数极限的ε–δ定义

假设已知函数f(x)，则极限问题的数学表示为

其物理意义是当自变量x无限接近x0时，函数f(x)无限逼近的值。在一般微积分学教程中会给出如下极限问题的ε–δ定义。

定义3-1 （ε–δ定义）对任意事先选定的ε>0，都存在满足0<|x−x0|<δ的正数δ，使得|f(x)−L|<ε，则称极限为L。

例3-1 常数e是一个无理数，试显示其前32位。

解 由下面的命令可以直接显示所需的位数

     >> vpa(exp(sym(1)),32) %用户还可以显示该无理数任意多位数值

其前32位为e≈2.7182818284590452353602874713527。如果将32替换成其他整数，则可以显示任意指定位数。用这种语句最多显示位数为32766位，超过这个位数要求则应该使用循环，参见第I卷。

例3-2 试通过ε–δ定义验证一个重要极限。

解 考虑不等式|(1+1/x)x−e|<ε，这个不等式是一个关于x的非线性的不等式，不借助计算机工具不能直接求解该不等式。其实，可以将该不等式的求解转换为解方程问题，如果给定ε的值，将(1+1/x)x−e−ε=0方程的边界求出来，该边界的绝对值就是我们期待的δ。

MATLAB中提供了单变量方程的简易求解函数fzero()，如果选定ε=0.01，则通过求解方程得出D=0.0073，表明若能保证−0.0073⩽x⩽0.0073，则(1+1/x)x与e的距离将小于ε=0.01。

     >> eps0=0.01; f=@(x)(1+x)^(1/x)-exp(1)-eps0; D=abs(fzero(f,0.1))

可以用下面的语句绘制出x∈(−0.01,0.01)区间的函数曲线，如图3-1所示。从图中可见，如果选择了误差限ε=0.01，则可以找到一个δ的值，使得−δ⩽x⩽δ时，能保证−ε⩽L−e⩽ε。如果缩小期望的误差限ε，通过非线性方程的求解方法都能找到相应的边界δ，确保−δ⩽x⩽δ时，实际的误差满足预先指定的误差限要求。

还可以尝试一些更小的误差限ε，如10−3，…，10−8，用下面的循环结构可以解出对应的边界δ，如表3-1所示。可见，不论选择多么小的ε都能找到对应的δ，并且可以发现，δ几乎与ε的选择呈现线性变化，而这些现象不借助计算机是不得而知的。

如果想进一步减小ε，利用fzero()这类双精度框架下的函数就很难完成了，必须使用符号运算实现，得出的δ=7.358×10−11，仍然与ε的变化呈线性关系。再进一步减小ε，即使使用符号运算的框架也很难求出δ。

     >> syms x; f=(1+x)^(1/x)-exp(sym(1))-1e-10; x1=vpasolve(f)

3.1.2 函数极限的计算机求解

如果从ε–δ定义求一个函数的极限是很麻烦的，所以在“高等数学”或“数学分析”课程中介绍了大量的极限求解方法、公式和技巧，例如，需要记忆两个基本的极限公式与，需要灵活地运用各种各样的方法，如四则运算方法、中值定理等，还需要掌握学习了微分后才知道的L'Hôpital法则，甚至更高深的方法，如Taylor级数展开、定积分法、Stolz–Cesàro定理等，均需花费大量的时间反复练习，才能较好地学会极限求解问题。并且，在实际求解极限问题时，能不能得出问题的解，很大程度上取决于求解者掌握的公式与技巧。

在本书中我们尽量回避这些底层的问题，将极限问题直接用计算机理解的格式输入计算机，让计算机去完成这些烦琐的工作，剩下的任务就是等待和解释计算机给出的结果了。

重新考虑前面给出的极限问题

其中x0可以是一个确定的值，也可以是无穷大量，例如x→∞，还可以是另一个已知的函数或变量。极限问题在MATLAB符号运算工具箱中可以使用limit()函数直接求出，该函数的调用格式为

L=limit(f,x0)， %默认符号变量

L=limit(f,x,x0)， %一般求极限语句

在求解之前应该先申明自变量x，再用符号表达式的形式定义原函数f，若x0为∞，则可以用inf直接表示。

如果函数中只有一个符号变量，或f(x)是由函数的格式给出的，则可以在调用语句中忽略自变量x。由symvar()函数可以提取出符号表达式f中符号变量的列表，该函数的调用格式为list=symvar(f)。

下面将通过例子演示基于MATLAB语言的求解极限的方法。

例3-3 求解另一个重要的极限问题。

解 求解函数的极限问题需要下列三个步骤：

（1）申明必要的符号变量，这里需要申明的是x；

（2）将f(x)=sin x/x函数用MATLAB描述出来；

（3）调用MATLAB函数limit()直接求解。

在MATLAB的工作窗口内可以直接给出下面的语句实现这三个步骤，得出原始问题的极限为L=1。

     >> syms x; f(x)=sin(x)/x; L=limit(f,0) %直接求解极限问题

由于函数f(x)在输入符号表达式f中已经使用了函数形式，所以在调用limit()函数时可以略去x直接求解。当然也可以调用下面的语句求解，得出完全一致的结果。

     >> L=limit(f,x,0)

有了MATLAB这样强有力的工具，还可以由下面的语句绘制出x∈(−0.1,0.1)区间的函数曲线，如图3-2所示，可以利用该曲线观察极限的逼近过程。由于x=0点函数没有定义，所以在生成x向量时有意引入一个小的偏移量，避开x=0点。

例3-4 试求解极限问题。

解 利用MATLAB语言，应该首先申明a，b和x为符号变量，然后定义函数表达式，最后调用limit()函数求出给定函数的极限，得出的极限为eab。从下面的语句看，求解这样的问题和例3-3对用户来说一样简单。

     >> syms x a b; f(x)=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); L=limit(f,inf) %直接计算

虽然在原函数中使用了三个符号变量，由v=symvar(f)语句也可以提取出这三个符号变量v为向量[a,b,x]，但由于原函数已经申明成了自变量x的函数，所以在语句调用时即使略去x，也可以准确地得出关于x的极限。

例3-5 试求极限。

解 求解这个极限问题时，先申明符号变量，再将函数输入MATLAB工作空间，然后调用limit()函数即可以得出极限L=1/12。

     >> syms x; f(x)=1/2/(1-sqrt(x))-1/3/(1-x^(1/3)); L=limit(f,1)

例3-6 试求下面极限

解 尽管给出的函数看起来很复杂，仍可以使用MATLAB对其直接描述，然后调用limit()函数直接求解，得出的结果为L=7 ln 5e−a−b。

3.1.3 复合函数的极限

如果给出某个复合函数，这个复合函数由若干个其他函数组成，若已知这些组成函数的极限，则可以求解复合函数的极限。

例3-7 已知，，试求。

解 由常规方法输入复合函数，并对其求导，再将已知的数值代入结果，则得出的结果为，在实函数领域，其结果应该为−6。

3.1.4 序列的极限

如果给出了某序列的表达式，也可以调用limit()函数直接求解。在一般情况下，没有必要刻意地将n设置为整型符号变量。

例3-8 试求出下面序列的极限

解 从给出的趋势看，第一项为21/2，第二项为，第三项为，第四项为，可以总结出，第n项为，显然，指数项为等比级数，首项为a0=1/2，公比为q=1/2，项数为n，这样第n项的指数为，所以可以直接由下面的语句求出其极限，为L=2。

这里，利用等比级数的公式求出了2的指数，事实上，MATLAB是可以计算有穷级数与无穷级数求和问题的，第6章将会介绍相关的内容。

如果取一系列的n值，则可以绘制出序列的演化过程，如图3-3所示，可以看出该序列到第七项就累计到极限1%的误差限之内了。

     >> n0=1:20; f=F(n0); stem(n0,f)

例3-9 试求出序列的极限。

解 序列极限的求解方法与函数极限完全一致，先声明符号变量，然后用符号表达式描述序列，最后调用limit()函数直接求解。由下面的语句可以得出F=0。

例3-10 试求出极限

解 该极限表达式既包括序列又包括函数，但这丝毫未给求解带来任何困难，可以申明两个符号变量n和x，这样用下面语句可以直接得出问题的极限为ex/(x2+1)。该极限问题的求解容易程度对用户来说也与sin x/x极限相仿。

对序列极限而言，一般没有必要将符号变量n设置为整数型符号变量。

很多序列极限问题将涉及序列求和与求积的MATLAB函数，暂时不能求解，这类问题留待6.1节与6.3节叙述，这里只给出一个例子与求解代码，不作讲解。

例3-11 试求序列极限

解 由下面的代码将得出问题的解为L=n(n+1)/4。

     >> syms n x k; L=limit((1-symprod(cos(k*x)^(1/k),k,1,n))/x^2,x,0)

3.1.5 分段函数的极限

在学习手工推导函数或序列极限时，有的时候需要分几种情况考虑。如果使用MATLAB这样的工具，可以调用limit()函数直接求解，得出所需的极限，有时候得出的极限是由分段函数表示的。

例3-12 试求出和。

解 如果手工求解这样问题，需要分若干种情况分别讨论，如果使用MATLAB求解，只需直接给出下面的命令即可。

     >> syms x n real; f=x^n; L1=limit(f,n,inf), L2=limit(f,x,inf)

得出的结果均为分段函数，其中L2的描述为

     piecewise([n == 0,1],[0 < n,Inf],[n < 0,0])

这两个极限的结果可以解读成（其中L1结果最末一个条件有误，应该包括x=0，即−1<x<1）

3.1.6 无穷小量与无穷大量

这里首先给出几个相关的定义，然后介绍这类问题的求解方法。

定义3-2 若，则称f(x)为x→x0时的无穷小量（infinitesimal）。

定义3-3 对一个无穷小量的函数，如果，其中c为常数，p>0，则称f(x)为p阶无穷小量。

定义3-4 假设f(x)与g(x)都是无穷小量，如果，且c=0，则f(x)称为g(x)的高阶无穷小量，记作f(x)=o(g(x)；如果c为非零常数，则f(x)与g(x)为同阶无穷小量，或f(x)与cg(x)等价，记作f(x)∼cg(x)。

定义3-5 如果，则称f(x)为x→x0时的无穷大量。

定义3-6 若，其中c为常数，p>0，则称f(x)为p阶无穷大量。

例3-13 试证明x→0时。

解 如果想证明两个无穷小量函数等价，则应该求其比值的极限，如果这个极限等于有界非零常数，则两个无穷小量是等价的。这个例子可以用下面的语句直接验证，因为极限的值为−1，所以这个函数等价。

     >> syms x; f(x)=asin(x/sqrt(1-x^2))/log(1-x);  limit(f,0)