4.1 函数的导数和高阶导数

本节先从导数的定义入手，介绍已知函数导数的求解方法，然后将介绍基于MATLAB的一阶导数与高阶导数计算，并引入数学归纳法及其MATLAB实现，更严格地得出某些函数的任意阶导数计算方法。

4.1.1 函数的导数与微分

前面两个例子在数学上是等效的，由此可以给出函数导数的定义。其实，有了MATLAB这样的工具，可以很容易地由定义直接计算给出的函数导数。当然在后续的内容中将给出更容易、更简洁的导数计算方法。

定义4-1 函数y=f(x)对自变量x的一阶导数定义为

由定义看，曲线切线斜率就是已知曲线函数的导数函数，质点瞬时速度也是位移函数的导数函数。更进一步地，如果对瞬时速度再求一阶导数，可以得出质点的瞬时加速度；再继续求解则将得出函数的高阶导数。

定义4-2 如果∆x→0，则对自变量x而言，dx是其微分，而dy是函数y(x)的微分。

一个给定函数的导数可以通过求极限的方法直接得出，而求极限的方法前面一章已经充分叙述了，可以由limit()函数直接求解。这里将直接用例子演示求导的方法。

例4-3 给定函数，试由定义求出该函数的一阶导数。

解 利用第3章介绍的极限计算方法，根据定义就可以直接计算出一阶导函数。

得出如下的结果：

由fplot()函数可以直接绘制出原函数与一阶导数函数的曲线，如图4-1所示。

>> fplot([f,F],[0,5]); %将两个函数句柄放在一起绘制函数曲线

4.1.2 函数导数与高阶导数

f(x)函数对x的二阶导数就是f′(x)对x的导数，简记作f′′(x)，三阶导数简记为f′′′(x)，类似地，还可以定义出函数的n阶导数dnf(x)/dxn，简记作f(n)(x)。

如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用diff()函数解出给定函数的各阶导数。diff()函数的调用格式为f1=diff(f,x,n)，其中f为给定函数，x为自变量，这两个变量均应该为符号型的，n为导数的阶次，应该为具体的整数值，若省略n则将自动求取一阶导数；如果f表达式中只有一个符号变量，还可以省略变量x。

例4-4 给定函数，试求出。

解 若想求取函数的导数，需要完成下面三个步骤的内容：

（1）申明x为符号变量；

（2）用MATLAB语句描述原函数；

（3）调用diff()函数直接得出函数的导数。

下面的语句可以完成这三个步骤，求出函数的一阶导数。得出的结果与例4-3中由导数定义求出的完全一致。

     >> syms x; f(x)=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)

原函数的四阶导数可以直接由下面的语句求出。

得出的结果比较冗长，由可以显示出更好的效果如下：

从化简的结果看，单纯采用simplify()函数得出的化简结果不一定是令人满意的最简结果，需要再根据具体问题选择合适的化简方法。仔细分析上述结果可以发现，若按照sin x或cos x单独进行处理，则可能得出最简的结果。例如给出命令

     >> simplify(collect(simplify(f4),cos(x)))

则可以得出下面给出的更简洁的结果。

其中

f1(x)=8x7+112x6+552x5+1040x4−296x3−4080x2−5640x−2448

f2(x)=x8+16x7+72x6−32x5−1094x4−3120x3−3120x2+192x+1581

MATLAB现成的diff()函数还适合于求解给定函数更高阶的导数。例如，下面给出的命令一般可以在4s内获得该函数的100阶导函数（以Maple为符号运算引擎的MATLAB R2008a及早期版本所需时间不到1s）。

     >> tic, diff(f,x,100); toc %求该函数的100阶导数并测耗时

例4-5 试求函数y(x)=(ax+b)/(cx+d)的n阶导数。

解 这里给出的f(x)不能用diff()函数求出n阶导数，n必须取作有限的正整数。可以尝试几个阶次。

由这些命令可以立即得出如下结论：

根据这些结果可以归纳出结论

不过，这种凭几个公式直接归纳出来的结论往往不是严格的数学结论，这些结论需要进一步的严格数学证明，例如采用数学归纳法。

定义4-3 最简单且最常用的数学归纳法是假设n等于任意自然数时某命题成立。证明分为两个步骤：（1）先证明k=1时命题成立；（2）假设k=n时命题成立，由此推导出k=n+1时命题也成立。

例4-6 试用数学归纳法证明对任意自然数n，式（4-1-2）成立。

解 显然，前面已经证明了k=1时式（4-1-2）成立。假设k=n时式（4-1-2）成立，则对其右面再求一次导数就是(ax+b)/(cx+d)的n+1阶导数了。

这样，可以直接得出结果为(−1)ncnn!(ad−bc)(n+1)/(d+cx)n+2。由于(−1)n=(−1)n+2，n!(n+1)=(n+1)!，所以可见，k=n+1时式（4-1-2）也成立，从而由数学归纳法可以证明给出的命题。

定理4-1 （莱布尼茨公式）如果已知函数u(x)、v(x)，则

其中二项式系数

例4-7 试对较小的n验证定理4-1。

解 利用MATLAB并不能直接求取这个函数的n阶导数，所以只能对较小的n值进行验证性计算，例如给出下面的语句：

得出的结果如下：

可见，对较小的n，可以用MATLAB验证莱布尼茨公式成立。当然，对任意正整数n，可以用数学归纳法证明莱布尼茨公式成立。不过这样的证明用手工方法比较容易，很难由计算机实现。

4.1.3 复合函数的导数

定理4-2 复合函数F(x)=f(g(x))的导数可以由下式求出

例4-8 试用MATLAB证明定理4-2。

解 可以给出下面的语句直接推导复合函数的导数

     >> syms x g(x) f(x); diff(f(g(x)),x)

得出的结果为D(f)(g(x))*diff(g(x),x)，由此得证。

其实有了MATLAB这样的工具，不一定非得通过定理4-2求解复合函数的导数，因为这些规则已经嵌入diff()函数，即使不知道这些定理，也可以直接使用diff()函数计算复合函数的导数。

例4-9 已知函数f(x)=u(x)v(x)，试求f′(x)与f′′(x)。

解 定义了复合函数，直接调用diff()函数就可以计算出导数函数

可以得出一阶导数

f′(x)=u(x)v(x)−1[v(x)u′(x)+ln u(x)u(x)v′(x)]

和二阶导数

f′′(x)=u(x)v(x)−2[v2(x)(u′(x))2−v(x)(u′(x))2+ln u(x)u2(x)v′′(x)+u(x)v(x)u′′(x)+(ln u(x))2u2(x)(v′(x))2+2u(x)u′(x)v′(x)+2 ln u(x)u(x)v(x)u′(x)v′(x)]

例4-10 试推导函数F(t)=t2f(t)sin t的三阶导函数公式，并得出f(t)=e−t时的三阶导数，将这样得出的结果与直接求导的结果相比较。

解 用syms函数可以定义出函数表达式f(t)，这样由下面的语句可以直接推导出F(t)函数的三阶导函数公式。

得出的结果为

下面语句则可以直接推导出当f(t)=e−t时原函数的三阶导数，与直接求导结果完全一致。

得出的导函数为y1(t)=2e−t(t2 cos t+t2 sin t−6t cos t+3 cos t−3 sin t)。

4.1.4 分段函数的导数

如果给出了分段函数的符号表达式，可以用MATLAB符号运算工具箱提供的diff()函数直接计算其导函数。下面通过例子演示求导的方法。

例4-11 试求出分段函数的导数。

解 由下面的语句直接将分段函数输入到MATLAB环境，然后就可以调用diff()函数，求出函数的一阶导函数。

可以直接得出导函数

可见，在x=0处导数函数没有定义。由下面的语句还可以直接绘制出函数及其一阶导数的曲线，如图4-2所示。原函数是连续函数，但其一阶导数不连续。

     >> fplot([f,f1],[-2,2])

4.1.5 矩阵的导数

所谓矩阵的导数就是对矩阵的每个元素hij(x)逐个求导得出的矩阵。矩阵的导数也可以由diff()函数直接求取，无须其他特殊处理。

例4-12 试求矩阵函数的三阶导数矩阵。

解 利用diff()对H(x)的直接求导，得到新的导数矩阵N(x)。

这样得出的三阶导数矩阵为