第1章 微积分问题简介

1.1 微积分学发展简史

人们普遍认为现代微积分学诞生于17世纪，是由英国科学家牛顿爵士（Sir Isaac Newton，1643−1727，图1-1（a））与德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646−1716，图1-1（b））独立建立起来的。在微积分领域发展初期，牛顿与莱布尼茨使用的方法与研究对象是不同的，牛顿将时间t看作函数的自变量，莱布尼茨认为函数的自变量为x；牛顿将函数的导数记作，，莱布尼茨采用的是今天仍在使用的dnf(x)/dxn；积分符号∫也是莱布尼茨引入的。

微积分学研究的起源可以追溯到古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德（Archimedes，约公元前287−公元前212年，图1-2（a））所处的年代,，在约公元前250年，阿基米德建立了积分学的雏形，并研究了无穷小量（infinitesimals），利用杠杆平衡原理和穷竭法（method of exhaustion）给出了将物体切成无穷小量的薄片计算面积和体积的步骤，还提出并证明了很多定理。公元3世纪，中国数学家刘徽（约公元225−295年，图1-2（b））在公元265年出版了《九章算术注》，给出了圆面积的计算方法。公元5世纪，中国古代著名数学家祖冲之的儿子祖暅给出了球体积的计算公式，并给出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，亦即两个等高物体，在任何一个水平切面处，如果截面积相同，则两个物体的体积相同。

文献列出了现代微积分学领域一些里程碑式的成果。

1666年，牛顿引入了流数（fluxion）描述即时速度。在其完成于1671年，出版于1736年的著作中，将连续变量称为流动量，将流动量的导数称为流数，提出了已知连续运动的路径，求给定时刻速度的微分法与已知运动速度求给定时间经过路径的积分法，还研究了无穷级数问题，奠定了数学分析这一全新的数学分支。

1676年，莱布尼茨使用了符号∫ydx，积分符号是一个拉长的S字母，源于拉丁词summa，表示求和，该表达式计算的是函数曲线下的面积。

1684年，莱布尼茨发表了微分学的第一篇论文。与牛顿在物理学上的出发点不同，莱布尼茨的研究领域是几何学，起源于对曲线任意点切线的研究。他明确给出了一阶微分的定义，并定义了微分符号dx、dy。图1-3给出了莱布尼茨的手迹。

1687年，牛顿的科学巨著Philosophiae Naturalis Principia Mathematica（自然哲学之数学原理）出版，带有牛顿修改标记的扉页见图1-4。

1691年，法国数学家Guillaume François Antoine L'Hôpital（1661−1704）提出了著名的L'Hôpital法则，不过后人认为该法则是瑞士数学家Johann Bernoulli（1667−1748）最早发现并教给L'Hôpital的。L'Hôpital的著作Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes（理解曲线的无穷小量分析）在当时有着广泛的影响。

1693年，莱布尼茨提出了微积分基本定理。

1715年，英国数学家Brook Taylor（1685−1731）提出了将函数表示成无穷级数求和的数学表达式，又称为泰勒（Taylor）级数，该级数的原始思想是苏格兰数学家、天文学家James Gregory（1638−1675）提出的。

1754年，法国数学家Jean-Baptiste le Rond d'Alembert（1717−1783）用极限的方法取代了无穷小量。

1772年，法国数学家Joseph-Louis Lagrange（1736−1813）首次使用了derived function一词，后来派生出现在用的derivative。Lagrange在1797年还提出了均值定理（mean-value theorem）。

1817年，波西米亚王国（今捷克）数学家Bernard Bolzano（1781−1848）提出了函数连续性的概念，并给出了极限的ε–δ定义，还提出了中值定理（intermediate-value theorem）。

1853年，德国数学家Georg Friedrich Bernhard Riemann（1826−1866）提出了给定区间的实函数的Riemann积分，该积分是1823年法国数学家Baron Augustin-Louis Cauchy（1789−1857）提出的Cauchy积分的拓展。

1861年，德国数学家Karl Theodor Wilhelm Weierstrass（1815−1897）提出了极值定理（extreme-value theorem），并于1874年改善了Bolzano的极限定义与函数连续性的概念，形成了更严格的数学理论与体系。

牛顿与莱布尼茨创立的微积分学是很多科学与工程分支的基础。单变量与多元函数微积分、函数极限、级数求和、泰勒（Taylor）级数展开、傅里叶（Fourier）级数展开、常微分方程等问题的求解是微积分学的重要内容。