5.2　BS模型基本公式

BS模型的整个推导过程需要用到一定广度和深度的数学知识，所以先告诉大家不同情况下BS公式的具体形式，保证人人都能玩得转。有兴趣的读者可以在5.4节探究BS公式的详细推导过程哦！

5.2.1　无股息股票欧式期权BS公式

我们先从最常用的开始吧，经过数学家和经济学家的证明，无股息股票欧式期权的BS公式如下：

看涨期权：

C=S₀N（d₁）-K e^-rTN（d₂）

看跌期权：

P=K e^-rTN（-d₂）-S₀N（-d₁）

式中：

需要说明的是，d₁和d₂看起来虽然很烦琐，但它们确实具有实际意义——d₁描述了期权对股价的敏感程度，d₂描述了期权最后被执行的可能性。

下面我们来一一说明公式中的各个参数，注意千万别用错了！

C：欧式看涨期权的价格；

P：欧式看跌期权的价格；

S₀：股票的起始价格；

K：执行价；

r：连续复利的无风险利率；

σ：股票价格的波动率；

T：期权的期限；

N（x）：标准正态分布的累计概率分布函数。

总之，通过BS公式，可以把无股息股票欧式看涨期权和看跌期权理论价格表示成股票起始价格、执行价、无风险利率、股票价格波动率和期权期限的代数表达式。

整个BS公式现在看起来就十分简单明了。

5.2.2　无股息股票美式期权

一般来说，BS模型只适用于欧式期权定价。但可以证明，在无股息股票美式看涨期权这种特殊情况下，BS公式同样适用。然而，BS模型不适用于美式看跌期权。

对于美式期权，期权的价值由时间价值和内在价值两部分组成。其中时间价值至少包括在到期前准备购入资产所付出钱的利息和由于波动率可能获得更多利润的价值。因此，提前执行无股息股票的美式看涨期权相当于花钱获得股票，这并不是最好的选择。投资者可以将买股票的钱存入银行，获得固定利息收益，等期权到期时，再用同样的钱去买同样价格（执行价）的股票。这样一来既获得利息，又可能获得股票未来上涨所带来的利润。

因此，提前行使无股息股票的美式看涨期权永远不会是最优的，那么上述欧式看涨期权的定价公式，自然也适用于无股息股票上的美式看涨期权。

然而，对于美式看跌期权，因为它给予期权持有者在有效期内卖出标的资产的权利，这就需要比较现在卖和未来卖哪个更划算。我们不妨都分析一下：如果现在卖，就可以把卖掉股票所获得的钱存在银行里，获得固定利息；如果到期卖，从现在至到期日的这段时间内，股票有可能大跌，也有可能大涨。综合来看，这两者哪个更有利我们并不清楚，现在卖和到期卖的结果并不确定，因此提前行使美式看跌期权不一定好也不一定差，也就不能用BS模型来定价了。