第三节　宏观经济指标区间定理及其证明

一、以实际GDP为例的宏观经济指标区间定理

现以典型的可加性宏观经济指标实际GDP为例，讨论其年增速的合理运行区间的存在性。所谓合理运行区间的存在性，就是指GDP的年度增长率可以用其半年度（或季度）增长率界定，或者可以用其半年度（或季度）增长率表示这个年度增长率的某种意义下的上下限。合理运行区间亦可称为适当区间。

1．将年度分解为上、下两个半年度的情形

假定第一年上半年实际GDP为a₁，下半年实际GDP为a₂；

假定第二年上半年实际GDP为b₁，下半年实际GDP为b₂；

这样，由于可加性，

第一年实际GDP为a₁+a₂=a；

第二年实际GDP为b₁+b₂=b；

第二年实际GDP增速为（b-a）/a=g；

第二年上半年实际GDP同比增速为（b₁-a₁）/a₁=g₁；

第二年下半年实际GDP同比增速为（b₂-a₂）/a₂=g₂。

假定，所讨论的经济处于增长时期，这样，假定：

a₁≤a₂；b₁≤b₂；b₁≥a₁，b₂≥a₂；

并且，以上所有数据均为正数。

同时，不妨假定：

min（g₁，g₂）=g₁；max（g₁，g₂）=g₂；

第二年实际GDP同比增速为

g=（b-a）/a=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）；

容易得出：

g≥（b₂-a₂）/（a₁+a₂）≥（b₂-a₂）/2×a₂=g₂/2=max（g₁，g₂）/2；

g≤［（b₁-a₁）+（b₂-a₂）］/a₂≤［（b₁-a₁）/a₁］+［（b₂-a₂）/a₂］≤g₁+g₂=min（g₁，g₂）+max（g₁，g₂）≤2max（g₁，g₂）

上述计算证明：第二年实际GDP同比增速g位于区间［max（g₁，g₂）/2，2max（g₁，g₂）］之中，或者，第二年实际GDP同比增速小于第二年上半年实际GDP同比增速和下半年实际GDP同比增速中最大者的2倍；同时，大于第二年上半年实际GDP同比增速和下半年实际GDP同比增速中最大者的1/2。

区间［max（g₁，g₂）/2，2max（g₁，g₂）］就是第二年实际GDP同比增速g的合理运行区间。这个区间是客观存在的，这个区间是可以用g₁和g₂界定的，即其上下限是可以用g₁和g₂表示的。

从以上讨论可见，当经济减速或经济波动时，同样可以找到第二年实际GDP同比增速g的合理运行区间。

2．将年度分解为季度和月度的情形

用上述方法，借助第一季度和第二季度的数据，可以找出上半年GDP增速的合理运行区间，同时，借助第三季度和第四季度的数据，可以找出下半年GDP增速的合理运行区间。这样，就可借助4个季度的数据，可以找出第二年全年GDP增速以季度数据界定的合理运行区间。

同样，可以使用可加性宏观经济指标的月度值，界定其年度指标年增长率的合理运行区间。

由以上讨论可见，可加性宏观经济指标年度经济增长率的合理运行区间是客观存在的，其合理运行区间的上下限数值可在其半年度、季度或月度增长率指标值中寻找。一般而言，每项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的上下限，既可在其月度增长率数据中寻找，也可在其季度和半年度增长率数据中寻找。如果在一项可加性宏观经济指标的季度和月度增长率数据中找不到此项经济指标的合理运行区间的上下限数值，则应怀疑相应统计数据的统计口径发生了变化。

上文，假定经济处于增长时期，即假定

a₁≤a₂；b₁≤b₂；b₁≥a₁，b₂≥a₂；

并且，以上所有数据均为正数。

其实，从上述证明过程可见，上面4个数据的大小排序，并不会影响合理运行区间的存在性，只不过它的上下限数值的表示方法会有所变化。

现假定经济在第二年下滑，即假定b₁<a₁，b₂<a₂；（a₁≤a₂；b₁≤b₂仍保持不变）。这时，虽然它们均为正数，但g，g₁和g₂均为负数。按定义，有：

g=（b-a）/a=［（b₁+b₂）-（a₁+a₂）］/（a₁+a₂）

容易看出：

g≤（b₁-a₁）/（a₁+a₂）≤（b₁-a₁）/2×a₁=g₁/2≤max（g₁，g₂）/2；

此外，再假定b₁-a₁≥b₂-a₂，这时，有

g≥［（b₁-a₁）+（b₂-a₂）］/2a₂≥［（b₂-a₂）/a₂］=g₂=≥min（g₁，g₂）

这样，在第二年经济下滑的情况下：区间［min（g₁，g₂），max（g₁，g₂）/2］就是第二年实际GDP增速g的合理运行区间。这个区间是客观存在的。

用类似的方法，可以讨论第二年上半年经济上升、下半年经济下降，或者，上半年经济下降、下半年经济上升的情况。

总之，第二年经济变化（经济增长率）的合理运行区间均可用其上、下半年的经济速度在某种意义下界定。

上述简单的数学演算，说明经济发展过程中存在某些必然的数量联系，说明宏观经济指标存在某些内在的数量关系。这些数量关系在经济发展过程中是内在的，是客观存在的。

在实际具体寻找某项宏观经济指标的年度变化的合理运行区间时，不一定非要使用上述证明中较复杂的数据。实践证明，某项经济指标年度变化的合理运行区间经常可以简单地用其季度（月度）变化的最大值和最小值界定。

如果使用这种简单的方法，尚不能确定某项宏观经济指标的年度变化的合理区间，就可以借用上述证明中的数据，以确定此项经济指标年度变化的合理运行区间。

这里，用简单的数学知识证明了可加性宏观经济指标的年增长率必然有合理的运行区间，且其合理运行区间的上下限可按确定的方法，从其季度增长率或月度增长率中确定。但这并不意味着，对不可加性宏观经济指标不能找到其年度增长率的合理运行区间。恰恰相反，本书第三章介绍了如何寻找典型的不可加性宏观经济指标CPI（社会物价水平）的年度增长率的合理运行区间。

本节的证明结果，可称为宏观经济指标区间定理，它是深入研究和细致研究宏观经济的有效途径，是使用季度和月度数据研究宏观经济的有利工具。它不但在年度数据层次上研究宏观经济，而且在半年度、季度和月度层次上研究宏观经济，并把年度、半年度、季度和月度层次上的宏观经济研究有机、系统地结合起来，给人一种面貌一新的感觉。

二、宏观经济指标区间定理的简明证明及应用

1．区间代数证明

设a，a₁，a₂，b，b₁，b₂均为正实数，且

a=a₁+a₂，b=b₁+b₂；

令

c=（b-a）/a，c₁=（b₁-a₁）/a₁，c₂=（b₂-a₂）/a₂；

试设法使用c₁和c₂界定c的变化区间。

解：

假定　a₁≤a₂，b₁≤b₂，容易证明，

c≤c₁/2+c₂（a₂/2a₁），

同时，

c≥c₂/2+c₁（a₁/2a₂）

2．宏观经济指标区间定理的应用

可加性宏观经济指标的年增长率均有其合理的运行区间（适当的运行区间），其上下限值可按确定规则在其本年的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中寻找。可加性宏观经济指标的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中最大值为此项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的上限；可加性宏观经济指标的半年度增长率、季度增长率和月度增长率数值中的最小值为此项宏观经济指标年度增长率的合理运行区间的下限（简明证明见上题）。