1.3 二叉树模型
二叉树模型的产生时间晚于B-S模型，然而它具备简单直观、形式优美、不需要太多数学知识即可掌握的优点，因此各类期权理论读本通常都选择它作为第一个进行介绍的期权定价模型，以帮助读者由浅入深地学习期权定价。同时，二叉树模型及基于其进行扩展的三叉树模型是最基本的期权定价方法之一，适用于欧式期权、美式期权，甚至许多奇异期权的定价，在业界的应用非常广泛。
1.3.1 单步二叉树模型
本小节对单步二叉树模型进行最基本的推导，然而读者大可以直接跳到下一小节，了解二叉树模型的基本公式即可。
让我们从最简单的假设出发。假设有一只股票，当前价格为10元，一年后股价的变化情况只有两种可能：如果经济形势良好，那么股价将上涨到12元；如果经济衰退，则将下跌到8元。市场无风险利率为5%。现在，假设有一个行权价为11元、合约单位为1、一年后到期的欧式认购期权，我们如何计算得到这个期权的价格呢（见图1.6）？
图1.6 股票价格及期权价格实例
有一个非常巧妙的想法可以解决这个问题。期权价格与股票价格是密切关联的，我们应当可以构造出一个股票和期权的组合，使得一年以后，股价与期权价格的变化相互抵消，组合的价值没有不确定性。由于我们假设市场是有效的，不存在套利机会，这样一个到期价值确定的组合完全没有额外风险，因此其收益率应当等于无风险利率。
现在让我们来求解期权价格。假设我们的组合由x份股票多头和1份期权空头构成。那么一年后只有两种情况：股价上涨，则持有股票价值为12x，持有期权价值为1元，组合价值为12x-1；股价下跌，则持有股票价值为8x，持有期权价值为0，组合价值为8x。两种情况下组合价值相等，则：
12x-1=8x
可以计算得到x=0.25，即该组合由0.25份股票多头和1份期权空头构成。到期时，无论股价如何，该组合的价值均为：
12×0. 25-1=8×0.25=2元
我们只需要使用无风险利率将组合的价值贴现，就可以得到组合现在的价值：
2×e-0. 05=1.902元
假设认购期权现在的价值为c，我们已知当前股价为10元，由此可以得到当前的组合价值：
10×0. 25-c=1.902元
计算得到c=0.598。
由此，我们得到该认购期权的价格应当为0.598元。市场的套利行为将使得期权的价格不能长期偏离0.598元：如果期权价格大于0.598元，那么该组合的收益率将高于无风险利率，投资者会买入组合，并使得价格恢复到无套利水平；如果期权价格小于0.598元，那么卖空这一组合相当于提供一个低于无风险利率的借款机会。
1.3.2 模型推广
将上一小节例子中的数值用字符代替并进行推导，我们可以得到一般性的单步二叉树定价公式，在此省略推导过程，仅列示最终公式：
其中，f为期权当前价格，fu为股价上涨时期权价格，fd为股价下跌时期权价格，u为股价上涨幅度，d为股价下跌幅度，r为市场无风险利率，T为年化期权到期期限。
读者可能会觉得二叉树模型简单得不切实际：股价在一年后显然不可能只有两种情况。如何使我们的模型更加合理呢？一个角度是进一步细分时间，如将一年分割为30、40甚至更多的步数。假设每一步股价的上涨及下跌幅度相同，那么经过40个时间步后，我们最终会有41个股票价格，240条可能的股价路径，得到的计算结果将显得合理很多。事实上，随着时间的无限细分，二叉树模型将趋向于B-S模型。
最后，我们拓展讨论风险中性定价，于此没有兴趣的读者无需继续阅读，因其对于期权交易并无影响。如果令
则上式可以转化为更为便于记忆的形式：
通常将p称为股价上涨的风险中性概率，则1-p为股价下跌的风险中性概率，它们并非真正的概率，而只是一种命名方式。这么命名的原因是，转化后的期权价格f形式为其未来收益在风险中性概率下期望值的贴现，贴现率等于无风险利率。之所以称为“风险中性”，是因为由上一节推导可以看出，期权价格的计算中不涉及股价的真实概率分布。这并非因为股价概率分布不影响期权价格，而是因为我们是根据股票价格来计算期权价格的，而股价分布概率已包含在其价格之中。由于不涉及股价真实概率分布，因此期权定价与股票收益期望无关，从而不需要了解投资者的真实风险偏好。因此，在期权定价时，可以假设投资者是风险中性的。风险中性的投资者对于额外的风险不要求任何形式的补偿。这即是风险中性定价原理（risk-neutral valua-tion），它对于衍生品定价非常重要，不过在此我们不做展开。