2.1 笛沙格定理

这个定理是说，如果两个三角形对应顶点的连线共点，则对应边的交点就会共线。

通过图形来理解这个定理会容易许多（见图2-2）。我们可以从图中看到1个辐射点S和1条直线h。通过点S的3条直线分别通过直线h上方三角形的3个顶点，此三角形的3条边所在的直线和直线h会有3个交点。在通过点S的直线上任找1个点（位于h下方），就不难看出如何将直线h下方的三角形画出来。这是个很好的练习，可以考查我们绘图的精确度。动手试试看，你就知道为什么了！

图2-2 笛沙格定理（哈利·凯特恩斯）

这样的作图直接、简单。我们可以从通过最高点（可视为太阳，所以用S代称）的3条直线间的任一个三角形开始，而从左下方往右上方倾斜的白色直线h代表地平线，h下方的三角形则表示地平线上方三角形的影子。

图2-3是此定理的另一种表现形式，它与前一种形式的不同之处在于，最初的三角形围绕着给定的点S。这张图呈现的不仅仅是两个三角形，而是由S和h构成的一系列远离点S且很快变得有点奇怪的三角形，不过它们仍然是射影三角形。较大的三角形出现在地平线上、下两个部分，但从投影的角度来看，实际上这是同一个三角形一直延伸穿越至无限所形成的三角形形态。

图2-3 笛沙格定理的另一种形式

接下来的实验可以帮助我们进一步理解笛沙格定理是怎么一回事。我们需要1个光源、1个物体及其影子，1个代表地平线的桌面来呈现投影（见图2-4），而光线则来自1只灯泡（可以近似为一点）。将玻璃四面体举高，它的影子会投射在水平桌面上。我们可以把代表光行走路径的射线画出来，玻璃四面体产生的影子的形状与大小会随着玻璃四面体的移动而改变。

图2-4 四面体的影子

这个例子表明，在投影现象的背后有一个明确的法则，它适用于地球上所有地方的影子。这个例子看似普通，但实际上它一点也不普通，它具有预测和描述自然现象的作用，即便它很简单。