第九章 数、代数与几何

如同在前面讲天文学时我们首先讨论什么是天文学一样，我在这里也想先讨论一下什么是数学，或者说数学是什么。

数学是关于数的学问，但它的研究对象远不仅仅是数　什么是数学呢？也许大致可以说：数学就是有关数的学问。那么什么是数呢？这是一个最简单的问题，但如果要给出它的定义则非常之难，无论从《中国大百科全书》、《不列颠百科全书》或者《美国百科全书》里我都没有找到答案，我想，这就像哲学里“存在”或者“理性”等最基本的概念一样，最简单也最复杂。我们都知道什么是数，它是我们最早知道的东西之一，我们从咿呀学语时起，父母就会教我们数“1234567”，我们也从那时起朦胧地知道了什么是数，但直到高中甚至大学、博士毕业，也未必能用纯粹的文字解释什么是数。

不过，我认为我们根本不必去用文字解释像什么是“一只大熊猫”中的“熊猫”一样去解释什么是“一只”，一只就是一只，它的意思我们都懂，即使不会解释也不用担心会用错，把一只当成两只或者当成大熊猫身上的皮。相反，如果有人一定要去解释什么是数，认为非这样不能弄懂什么是数，那就有点儿胶柱鼓瑟、矫揉造作的味道了，事实上也难以做到。

为什么给数一个文字的解释这么困难呢？这是因为数乃是事物最根本的性质之一，事物的许多其他性质都基于它，许多概念也基于它，而要解释它时，我们很难不用到基于它的一些实际上比它还要复杂的概念。这样的解释只会令解释本身更加复杂，也令我们更弄不清楚到底什么是“数”了。例如有人将数解释为与事物的“质”相对的事物的“量”，而数学就是不考虑事物的“质”而专门去研究事物的“纯粹量”的学问。这样的解释自然是不错的，但我不觉得它使我们更加明白了什么是数呢！

在我们这本小小的书里，且不去探讨什么是数吧！我们就从平常所见到的数入手来谈数。

有各种各样的数　数有许多，例如1234567890，还有1.5、6.5等，这些数的一个共同特点是含有10个阿拉伯数字，这也是几乎所有数的共同特点。不过有些数比较特殊，它们并不含有阿拉伯数字，例如∞，即“无穷大”，它也可以被看作是一个特殊的数。

这些数的形态差别很大，可以分成许多种类，有些种类是我们从小学起就学的，有些则到了初中高中才学，现在我们就从简单到复杂地讨论数的诸种类吧！

最简单的数当然是1234567890这10个最基本的阿拉伯数字——它们其实是印度人发明的，不过由阿拉伯人传入欧洲而已。由这10个阿拉伯数字直接组成的数都叫作“自然数”，例如125、9864258896521485等，无论多大，哪怕有一万位，只要中间没插进别的符号，就都是自然数。

自然数又叫正整数，因为它是正的，且是整数。除了正整数外，还有负整数，就是在自然数前面加个“-”号，例如-125，-9864258896521485，等等。正整数与负整数合在一起就叫整数了。为什么叫整数呢？这是因为它没有将自然数分开，即使在前面加了个“-”，后面也仍然是完整的自然数，所以就叫整数了。

与整数对应的是分数。

分数就是带分号的数了，像5/8、7/9、989544441196/2424124042142等，只要带了这个“—”，就是分数。看得出来，分数都带有这个“—”，它上面的部分叫分子，下面的部分叫分母。是不是带了这个“—”就是分数了呢？那就不一定了，作为分数的一个基本条件是它的分子与分母都必须是整数，而且分母不能为0。

整数与分数合起来还有另一个称呼，就是有理数。

与有理数相对的当然是无理数了。

无理数就是不能用分数表示的数。前面有理数的共同特点是它们能够用分数表示出来，整数也能够用分数表示，例如5可以用分数表示为或者。但有的数并不能这样，这就是无理数了。不能用分数来表示的数有很多，例如、圆周率π等都是。对这样的数我们是不能用分数来表示的。

这时候我们要引进另一个概念：小数。

小数就是带小数点的数了，例如1.889、7.97223等。我们前面讲过的各种数，包括有理数和无理数，实际上都可以用小数来表示。例如可以在任何整数后面加个小数点，再在后面加个0，这个整数就变成小数了。所有的分数都可以表示成小数，只要用分子除以分母就是了。

小数又可以分成两种，即有限小数和无限小数。前者指位数有限的小数，像1.889、7.97223就是，不管后面有多少位，哪怕一万位，只要有个尽头，就是有限小数。但有的小数却不如此，例如我们将变成小数就是3.3333333……，后面可以有无限个3。这样的小数就是无限小数了。

无限小数又可以分成两种：一种是小数点后面虽然有无限个数字，但这些数字是有规律地循环往复的，例如上面的3.3333333333……就是这样，这就叫作无限循环小数，但还有的，后面也有无限位，但却没有任何规律可言，永远不会循环，这就叫作无限不循环小数了，例如、π就是这样，π我们知道，它就是3.1415926……无限下去，数字永远没有有规律的重复。

这些无限不循环小数有另一个名字——无理数。

容易看出来，无论有理数或者无理数，都可以小数来表示。

有理数与无理数合起来还有一个名字，就是实数。

根据咱们汉语，与实相对应的是虚，现在既然有了实数，那当然就应该有虚数了。是的，而且有意思的是，虚数只有一个，就是-1。为什么称-1为虚数呢？这是因为它乃是一个“虚无缥缈”的数。我们知道，-1就是说这个数的平方等于-1，根据数的一些基本原则，包括负数在内的任何实数的平方都是正数，这就是所谓负负得正。但现在却凭空里钻出个平方为负的数来，这样的数在一般的观念里显然是不存在的，它是虚无缥缈的，因此就称之为虚数了。

这个-1通常用一个字母i来表示，任何实数如果与这个虚数i相结合在一起，例如5+6i，它就不成其为实数了。但也不是虚数，因为虚数只有一个，即-1。它被称为复数。复者，复合之意也，意即这个数是由5与6i复合而成。

那么，在实数与复数之外还有没有别的数呢？至少现在还没有，或者说数学家们还没有规定。这样，数就是实数与复数的合称了，即：实数+复数=数。数学就是有关此数的学问。

以上我们大概地讨论了有哪些种类的数，数学的研究对象就是这些数。不过，仅仅这些数并不能涵括数学研究的所有对象，最明显的例子就是几何了，那里有许多抽象的图形，例如没有体积的点、没有宽度的直线、没有厚度的面等。所以只有将数与图形结合起来才能成为几何学，而几何学当然也是数学的一个分支，因此，抽象的几何图形也是数学研究的对象。

那么，是不是有了几何图形和数就构成了数学研究的所有对象呢？还不是，因为如果这样的话，那么数学就只是一种纯粹的抽象活动，与人们的生产和生活实践关系不大了！当然不是这样，实际上，数学与人们的生产与生活实践有着极为密切的关系，例如我们买东西时算价钱就需要数学，白菜一块五一斤，买两斤半要多少钱呢？这就是数学。还有，从高120米的40层高楼掉下一个水泥块，它要多久才能到达地面呢？这时就可以通过一个数学公式算出来了！即，这里d就是楼的高度，g是一个固定的数值，称为常数，t就是掉落的时间。算出水泥块会在多久时间后掉到地上后，人就能及时躲开了。

从上面我们知道了数学的研究对象有哪些，可以这样说：几乎所有实际存在的事物都可能成为数学研究的对象，而且，数学的研究对象还要超越于实际的事物，例如抽象的几何图形或者数字等这些在自然界并不存在的事物，也是数学研究的对象。

后面这种性质乃是数学最根本的特性之一，也是它与其他一切门类的自然科学最大的区别。其他一切门类的自然科学，如物理学、化学、生物学、天文学、地理学、地质学等，所研究的都是实际存在的万事万物，而数学所研究的恰恰不是这些，而是抽象的数字与图形，即使它们研究实际存在的物体，例如一个皮球，它所研究的也是这皮球的一些抽象性质，例如体积、质量等，而且，在做着这样的研究时，它也并不是将皮球看作是一个皮球，而是看作一个抽象的几何体——球体，至于它的体积与质量等具体的性质，则是物理学研究的对象了。这个意思也可以用一句哲学味儿的话来说：数学研究的是事物纯粹的形式。

这里就凸现了数学与自然万物及其他自然科学门类之间的区别了——它源自自然，又超越自然；它与其他各门自然科学密切相关，又超越于之！

数学有三大分支：代数学、几何学与分析学　上面我们谈了数学的研究对象、主要特色等，现在我们来谈谈它具体的内容，看它可以分成几个部分，各有何特色。

这些部分也就是数学的分支。关于数学包括哪些分支有许多的理论，我们几乎在每本相关的著作上都可以看到不同的分法，有的大同小异，有的则小同大异，因此这是一个颇不好弄的问题。我在这里采用了《美国百科全书》的分法，将数学分为代数学、几何学、分析学三大分支。

我这里要再三强调的是，数学的内容是极其复杂的，它的分支也极为繁多，要弄清楚它们需要非常专业化的知识，这对于我是不可能完成的任务，因此在下面我要说的只包括纷繁复杂的数学体系的一个个片段，只是相对来说我比较熟悉也能够让大家理解的那部分内容。

代数学是数学的基本内容，有限而抽象　代数学是数学的第一个分支，也是它最基本的内容。

代数学最基本的内容就是我们所熟悉的算术。算术研究数最基本的性质、种类及最基本的运算。数的基本性质与种类我们前面已经说过了，只除了复数，它并不在算术范畴内。

数最基本的运算就是用具体、有限的数字，例如正数、负数、小数等具体的数进行加减乘除等四则运算，它的运算次数是有限的，并且有确定的结果。例如3.2+（8×9÷12-222）=（-212.8）。算术也是整个数学最基本的内容，是数学其余复杂多样的内容的“老祖宗”。

在算术之上是初等代数，它是用数字和字母进行代数运算的理论与方法。代数运算除了加减乘除四则运算外，还包括乘方、立方、开方等。参加运算的也包括了所有的数，即实数和复数。

与算术比起来，初等代数最基本的特征是在其代数式中引入了变数，也就是用某个字母来代替某个未知的数，如x，所代替的数可以是一个，也可以是若干个。

这种引入了字母的代数式用另一个我们熟悉的词儿来表达，就是方程。例如3x+6=9就是一个方程。我们在初中高中的数学里就已经学过方程了，什么一元一次方程、一元二次方程、二元二次方程组等，这里就不多说了。

总的来说方程有两种，只含有代数运算——就是加减乘除、乘方、开方——的方程是代数方程。如果含有非代数运算，例如求对数或者三角函数，就叫作超越方程。方程与解方程构成了初等代数甚至整个代数学最基本、最主要的内容之一。它可以很简单，也可以很复杂。简单者如上面的一元一次方程，复杂者就不得了，像一些高深的数学知识，如群和域，都是与方程紧密联系在一起的，例如群就是为了求解高次方程而创立的。不过这些内容就不属于初等代数了，而属于近世代数。

近世代数主要是由一个叫伽罗瓦的法国数学家创立的，他也是数学史上最伟大的天才人物之一，只活了20岁，但却引入了群这个堪称近世代数的最基本的概念。近世代数看上去同初等代数完全不同，它非常抽象，也相当难以理解。主要是因为它引入了一些在初等代数中完全不存在的新的概念与十分抽象的结构，像群、域、环等。虽然很难，但用上这些法子之后，我们前面在解方程等中遇到的许多难题在这里都只是小菜一碟。也就是说，这些理论较之初等代数更基本，能够涵盖更为广阔的领域，而且听说也更具有美感，一种数学的独特美感。

在近世代数之上，还有更难的高等代数或抽象代数，不过它们已经不是我们这些非数学专业出身的门外汉所能够或者有必要理解的内容了。

现在我们来总结一下所有代数都具备的两个基本特点：

一是它的有限性。一方面，它只有有限个量，即有限个未知数、已知数等。另一方面，只要通过有限次运算就能得到结果。有些式子，例如1+x+x2+x3+x4+…=1-xn+11-x，它虽然看上去是无限的，但实际上也是有限的，因为这里的n在具体运算的情况下总是取具体的有限次，以求得式子的结果。例如当n=4时，式子等于……

因为代数学的这个特点，后面求极限的情况就不属于它了。例如当上面的式子写成：1+x+x2+x3+x4+…=11-x时，它就不属于代数了，这是因为这里所求的不是1+x+x2+x3+x4+…当达到x的n次幂时的总和，而是求当x趋向于无穷大时，1+x+x2+x3+x4+…会无限趋近于哪个数，即求在极限情况下1+x+x2+x3+x4+…的取值。在这里事实上包括无限的情形，因此不能算是代数学，它属于我们后面要讲的分析学。

二是代数学的抽象性。在代数运算里，所有对象都采用数字或者抽象符号，如加减乘除、乘方、开方等，还有希腊字母或者英文字母，或一些特别的符号，总之是抽象的，它不包括图形等形象的东西在内。它是用这些抽象的符号根据一定的规则进行抽象的运算。因此代数学具有明显且强烈的抽象性。初等代数如此，高等代数更加如此，因为，在那里的概念，例如群，它不但能代表一般的数值，而且能代表更为抽象的一类对象，甚至可以将任何对象的一切具体性质去掉，将之视为纯粹抽象的“对象”。

关于代数学中另一项基本内容“集合与函数”，由于同极限和微积分关系密切，我们等到后面讲它们时再一起说。

数论是代数学中最有趣的分支　数学的一个分支与代数学相似，也有人说它是代数学的一部分，那就是数论。

数论与代数或者几何一样，是数学最基本的内容之一。它的内容如其名，就是有关数的理论。不过它的研究方法与一般代数学的研究方法是略有不同的，而且考察的往往只是整数。它通常的表现形式是想求得整数的某些性质，这些性质很可能看上去简单，但实际上可能非常复杂。典型者如有关质数的理论。

所谓质数，就是除了1和自身外，不可能被其他整数整除的数。它在汉语中的另一个名字是素数。如1、3、7、11、13、17、19等。质数的分布有没有规律？有没有一个公式能求出任意大的质数？很早以来数学家们就在苦苦思索这个问题，直到现在也没有找出来。在很可能没有这个公式的情形之下，有没有最大的质数呢？如果没有的话，那么我们能够找到的最大质数是什么？于是许多数学家为了寻找这样最大的质数而殚精竭虑。我记得小时候看过的一本《世界之最》上就有这么一条，“已知的最大质数”。

许多我们所熟悉的数学史上的趣题都属于数论，像众所周知的哥德巴赫猜想。

1742年，一个德国的中学教师哥德巴赫在写给大数学家欧拉的信中提出了后来很著名的哥德巴赫猜想。它可以用两个命题表达：

命题1：每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和，即所谓的偶数=（1+1），如6=3+3，20=3+17，…。

命题2：每一个大于或等于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如9=3+3+3，31=5+7+19，…。

接到这封信后，欧拉回信说，他相信这个猜想是对的，但他不能证明。

要知道欧拉是西方数学史上最伟大的数学天才之一，连他都一方面相信这个猜想的正确性，另一方面却表示没有能力证明。这就足以激起无数数学家甚至数学爱好者的挑战之心了！也正由于许多了不起的数学家想证明之而不能，便为它凭空增添了许多魅力，甚至夸张地被一些人，尤其是中国人，称为“数学皇冠上的明珠”。

中国著名的数学家陈景润就是因将这个猜想的证明推进了一大步而成名的。他在1966年证明“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，这就是“陈氏定理”。

后来一个报告文学作家徐迟据此写了篇《哥德巴赫猜想》，使得这个猜想与陈景润在中国堪称家喻户晓。这其实是一种过分的夸张与新闻炒作，造成了后来中国全民狂解哥德巴赫猜想的奇观。有无数人自称解决了这个问题，拿着其“成果”到处招摇过市，要求承认，我在北大时就遇到过这种人，这些都是新闻炒作的结果，与真正的科学精神是背道而驰的。

另一个著名的数论难题是费马大定理。费马也是个业余数学家，但他的成就可是哥德巴赫都不能比的。除数论外，他对解析几何、微积分都有重大贡献。他提出的“费马大定理”就是：不存在大于2的正整数，使得xn+yn=zn成立。费马曾在自己读过的一本书的空白处写道：“我确信我已经发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”但后来怎么也找不到他的证明。

这种情形一直持续到1995年。这一年，1953年出生于英国普林斯顿大学的数学教授安德鲁·怀斯发表了《模椭圆曲线和费马大定理》。此文堪称历史性的长篇学术论文，厚达100余页，占了著名的数学刊物《数学年刊》第141卷的整卷。最后证明了费马大定理。

几何学将图形与数字美妙地结合在一起　数学的第二大部分内容是几何学。

几何是数学最基本的内容之一，也是我们在初中与高中都一定要学的。什么是几何学呢？简言之，几何学就是研究空间及物体在空间中的性质的数学分支。看得出来，几何学主要同“空间”相连。这里的空间是什么呢？当然不是物理学中讨论的空间，而是一种纯粹的空间，只计算其大小长短等，而不涉及其他的性质。同样，对于空间中的物体，几何学所讨论的也只是这些物体的空间性质，即其长、宽、高、体积、面积等，不涉及物体的其他性质。

几何学的一个基本特点是它总与图形相关。

同纯粹用数字或者符号的代数学不同，几何学离不开图形，这是几何学之成为几何学的最基本特点。这些图形包括直线图形、平面图形、立体图形等，还有解析几何中的坐标、非欧几何中的曲面、拓扑学中的古怪的不规则图形，等等。这些图形中有的比较简单，如一般的立体与平面图形，有的则非常复杂，如非欧几何中的曲面、拓扑学中的变形几何图形等。虽然它们千变万化，一个不变的特点是，它们都是图形。

几何学的另一个基本特点也许是在考察其研究对象时所采取的抽象方式，或者说纯粹理想的形式。例如，它在探讨直线时，虽然我们看到画在纸上的直线是有一定宽度的，但是对于几何学来说，这种宽度并不存在。直线乃是一种没有宽度、只有长度的特殊的“线”。显然，这种线在自然界中是不可能存在的。与线一样，几何学中的面也是没有厚度的纯粹的面。立体图形虽然看上去有线也有面，但构成面的那些线一样是没有宽度的，构成立体的那些面也是没有厚度的。总之，几何学考察的是一种在自然界中并不存在的、纯粹的、抽象的图形。

几何学的种类很多，我们熟悉的是平面几何、立体几何、解析几何、三角几何等。这些都是比较简单的，其各自的意义不言而喻：平面几何是研究平面上的几何问题，像平面上的直线、三角形、平行四边形、梯形等几何图形，就是平面几何研究的内容。这也是最基本的几何学了。立体几何研究的则是立体几何图形，像正方体、长方体、球体、圆锥体、棱形等，相对平面几何，立体几何要难些。至于解析几何，则是一种形式与平面及立体几何很不相同的几何学，它引入了一个新概念：坐标。

坐标有横轴与纵轴，分别称为X轴与Y轴，通过它们可以表示各种平面几何图形。图形中每一个点在坐标轴上都可以找到相应的数值与之对应。

由此我们可以看出，解析几何的主要特点是它将几何学中的基本元素点与代数学中的基本元素数结合起来了。

我们也知道，不但几何图形可以通过坐标来表示，方程也可以通过坐标来表示，例如方程y=3+x，每一个x的取值与相应的y值都是在坐标上的一个点，这些点就构成了一条直线。

不但直线可以，曲线与曲面同样可以找到对应自己的方程。从这些可以看出来，通过解析几何与坐标，代数与几何得以优美地结合起来。

解析几何学的发明者就是鼎鼎大名的笛卡尔——我们在《西方哲学通史》中曾经谈过的伟大哲学家，不过关于这些历史方面的事，我们还是等到后面讲数学的历史时再说吧。

略谈非欧几何，详情见后　在我们熟悉的平面、立体与解析几何之外，还有许多别的几何学，例如代数几何、投影几何、微分几何等。在这篇小小的简介里我们就不谈这些高深的知识了。

不过有一个例外必须谈谈，就是非欧几何，它虽然难，但不说几句它的话，我们对几何学的了解就太不够了。

实际上，整个的几何学也可以分成两大部分：欧氏几何与非欧几何。欧氏几何就是以欧几里得创立的理论为基础的几何学。非欧几何，顾名思义，就是非欧氏几何的几何。

关于伟大的古希腊数学家欧几里得及其所创立的欧氏几何学体系我们在后面讲数学史时要比较详细地说，它也是千年以来唯一的几何学，前面的平面几何、立体几何或者解析几何都属于欧氏几何。

那么什么是非欧几何呢？它是从对欧氏几何中一条基本的公设的否定出发而产生的一种全新的几何学体系。

欧氏几何学有一条基本的公设：通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

这条公设千年以来被视为当然，后来，到了19世纪，有几个几何学家，主要是罗巴切夫斯基和黎曼，发现了这条公设的缺陷，于是，提出了一种针锋相对的理论：通过已知直线外一点，不能作出一条直线与已知直线平行。这是黎曼的理论。通过已知直线外一点，能作出两条直线与已经直线平行。这是罗巴切夫斯基的理论。这两个理论虽然看上去是相左的：一个是有，一个没有。事实上同出而异名，根本上是一致的，达到的结论也是一致的，都是非欧几何。

非欧几何的诞生是数学史上最大的革命之一，关于其革命性与更具体一些的内容，我们像欧氏几何一样，也等到后面讲数学史时再说吧。

在拓扑学里，一个球等价于一只公鸡　在几何学领域内，现在最新最深奥的恐怕要数拓扑学了。

拓扑学研究是一个相当古怪的领域，它最基本的原理来自这样一个规定：一个几何物体，即使其变形了，只要没有破损，其某些性质仍会保持不变。例如一团橡皮泥，我们可以将之捏成一只球、一根棒子、一个方块，甚至一只公鸡，这些形状无疑是大不相同的，但是不是它们真的完全改变了性质呢？没有。例如，我们可以想象这团橡皮泥是由若干个质点组成的，无论它是球还是公鸡，这些质点的数目总不会改变吧？它仍然是这些质点的集合。还有，这些形状的中间也没有断点，即它们上面都没有破洞，之所以产生这样多的形状只是由于变形而已。这种变形而不破损的不同形状就是拓扑等价，它乃是拓扑学的基本概念。

根据这个概念，我们可以想象，任何形状的物体之间，如果只是变形，但没有断点，也没有别的东西加进来，那么就可以说它是拓扑等价。

这也许不大好理解，我再举一个例子吧，例如一个游泳圈和一个带一只耳的瓷茶杯，它们是拓扑等价的。为什么呢？因为它们都只有一个洞。这样吧，我打个比方，你手里捏着一团橡皮泥，你可以随意将它拉长压短，做出任何形状，只要你不把它扯成两块，也不要让任何别的橡皮泥掺和进来，或者中间出现空洞，那么你捏出的任何形状都是拓扑等价的。又，如果你在它中间捏出了一个洞，那么您再将之捏出任何形状，只要留着这个洞，这些有一个洞的形状也都是拓扑等价的。有两个、三个或更多洞时也是如此。

这就是拓扑学的基本原理，虽然它很简单，其实也并不难以理解，然而实际深入进去却很难，也非常复杂。就像下围棋一样，下法只要几分钟就可以学会，但要精通它又是何其之难！