3.2 点、直线和平面的投影

立体是由不同的组成表面围成的，而面是由不同控制框架线定型的，线可以看做是无数的点的集合，点、线、面的投影是学习立体投影的基础。

3.2.1 点的投影

1.点在两投影面体系中的投影

（1）两投影面体系的建立

由投影的概念可知：空间点在一个投影面上的投影是唯一确定的，但仅知点的一个投影，却不能唯一确定该点的空间位置。为了解决这一问题，建立了两投影面体系。

空间互相垂直相交的两个平面，即构成一个两投影面体系，如图3-2a所示。其中一个平面水平放置，称为水平投影面H；另一平面称为正立投影面V。H与V面的交线OX称为投影轴。

空间点A在两投影面体系中的投影，如图3-2a所示。过点A向H面作垂线，其垂足a即为点A的水平投影。过点A向V面作垂线，其垂足a′即为点A的正面投影。本书标记规定：空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用对应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用对应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′等。

空间点A的两面投影图，如图3-2b所示。它是在图3-2a的基础上，规定V面不动，H面向下旋转90°与V面成一平面，如图3-2b所示。由于投影面是无限大的，故投影图不画出投影面的范围，如图3-2c所示。

（2）点在两投影面体系中的投影规律

1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于投影轴。如图3-2b和3-2c中，即a′a⊥OX。

2）点的正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即a′a_x=Aa；点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离，即aa_x=Aa′。

2.点在三投影面体系中的投影

（1）三投影面体系的建立

由前述内容可知，根据一个点的两面投影就可以确定该点的空间位置。但为了研究立体的投影，还需要建立三投影面体系。

三投影面体系是在两投影面体系的基础上，再增加一个与H面和V面均垂直的侧立投影面W，如图3-3a所示。V、H和W三个投影面互相垂直相交，产生三个投影轴：H、V面的交线为OX轴；H、W面的交线为OY轴；V、W面的交线为OZ轴。三个投影轴的交点O称为原点。

空间点A在三投影面体系中有三个投影，即a、a′和a″，其中a″称侧面投影。

为了把点在空间三投影面的投影画在同一个平面上，如图3-3b所示，规定V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转90°，都与V面重合。OY轴一分为二：随H面旋转的用OY_H标记，随W面旋转的用OY_W标记。去掉限制投影面大小的边框，就得到了点A的三面投影图。

（2）点在三投影面体系中的投影规律

由图3-3可以得出点在三投影面体系中的投影规律：

1）点A的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。

2）点A的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

3）点A的水平投影到OX轴的距离等于点A的侧面投影到OZ轴的距离，即aa_X=a″a_Z。

3.点的投影与直角坐标的关系

若把三投影面体系看作空间直角坐标系，H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，O为坐标原点，则点A的直角坐标（x_A，y_A，z_A）分别是点A至W、V、H面的距离，即

点A至W面的距离（A→W）=x_A

点A至V面的距离（A→V）=y_A

点A至H面的距离（A→H）=z_A

点的每一个投影由其中的两个坐标决定：V面投影a′由x_A和z_A确定，H面投影a由x_A和y_A确定，W面投影a″由y_A和z_A确定。

由上述可知，空间一点到三个投影面的距离与该点的三个坐标有确定的对应关系。不论已知空间点到投影面的距离，还是已知空间点的三个坐标，均可以画出其三面投影图。反之，已知点的三面投影或两面投影，可以完全确定点的空间位置。

[例3-1] 已知空间点A（18，13，15），点B（10，20，6），试作A、B两点的三面投影图。

解 根据点的直角坐标和投影规律作图，如图3-4a所示。先画出投影轴OX、OY、OZ，再作点A的三面投影：由原点O向左沿OX轴量取Oa_X=18，过a_X作投影连线⊥OX，在投影连线上自a_X向下量取13，得水平投影a；自a_X向上量取15，得正面投影a′；根据a和a′分别作垂直于OY和OZ的投影连线，利用45°辅助线，作出侧面投影a″。

利用同样的方法可以求得点B的三面投影图。A、B两点的空间情况，如图3-4b所示。

4.两点的相对位置

两点的相对位置是指以某一点为基准，判别另外一点在该点的上下、左右和前后的位置关系，如图3-4中箭头所示。具体位置由两点的坐标差确定。[例3-1]中，若以点A为基准，则点B在点A的右方8（x_A-x_B=18-10），下方9（z_A-z_B=15-6），前方7（y_A-y_B=13-20）。

5.重影点及可见性的判别

当空间两点位于某一投影面的同一条投射线上时，则两点在该投影面上的投影必然重合，这两点就称为对该投影面的重影点。图3-5a中，A、B两点为H面的重影点，C、D两点为V面重影点，B、D两点为W面重影点。

对重影点要判别可见性。因为重影点必有两个坐标相等，一个坐标不等，所以其可见性可以由两点不等的坐标来确定，坐标值大的为可见。如A、B两点的水平投影重合，因z_A>z_B，所以点A的水平投影为可见，点B的水平投影为不可见，记作（b），如图3-5b所示。

3.2.2 直线的投影

1.基本投影特性

（1）直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点

在图3-6a中，直线AB在H面的投影为ab。直线AB向H面投影是直线AB上无数个点的投射线所构成的平面与H面的交线，两个平面的交线必为直线。在图3-6b中，直线AB垂直于H面，因此其在H面的投影积聚成一点，为a（b）。直线的这种投影特性称为积聚性。

因为两点可确定一条直线，因此可作出直线上的两点（一般取线段的两个端点）的三面投影，并将同面投影相连，即得到直线的三面投影，如图3-7所示。

（2）直线上的点具有从属性和定比性

1）从属性：点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。如图3-8所示，C点在直线AB上，则c在ab上，c′在a′b′上，c″在a″b″上。

2）定比性：直线段上的点分割线段成定比，投影后保持不变，如图3-8中：

AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″

[例3-2] 已知点C在直线AB上并知其正面投影c′，求其水平投影c，如图3-9a所示。

解 根据直线上的点具有从属性和定比性，有两种作图方法。

方法1：利用从属性，先求出直线AB的侧面投影a″b″，再按图中箭头方向，求出点C的水平投影c，如图3-9b所示。

方法2：利用定比性，过a任意引一条倾斜于ab的直线ab₁，并取ab₁=a′b′。在直线ab₁上取ac₁=a′c′，过c₁作c₁c∥b₁b，则c₁c与ab的交点c即为所求，如图3-9c所示。

2.直线对投影面的相对位置

直线对投影面的相对位置有如下3种情况。

•一般位置直线——与三投影面都倾斜的直线。

•投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线。

•投影面垂直线——垂直于一个投影面，必然平行于另外两个投影面的直线。

后两类直线又称为特殊位置直线。

直线对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示。

（1）一般位置直线

一般位置直线如图3-10所示，其投影特性为：3个投影长度均比实长短；3个投影都倾斜于投影轴，但与投影轴的夹角并不反映α、β、γ。

（2）投影面平行线

投影面平行线有3种：平行于H面的水平线；平行于V面的正平线；平行于W面的侧平线。

3种投影面平行线的空间状况及投影特性见表3-1。

由表3-1可知，投影面平行线的投影特性为：直线在所平行的投影面上的投影反映空间线段的实长；该投影与相应投影轴的夹角反映空间直线段与相应投影面的夹角；另外两个投影长度小于空间线段的实长。

（3）投影面垂直线

投影面垂直线有3种：垂直于H面的铅垂线；垂直于V面的正垂线；垂直于W面的侧垂线。

3种投影面垂直线的空间状况及投影特性见表3-2。

由表3-2可知，投影面垂直线的投影特性为：直线在所垂直的投影面上的投影有积聚性；另外两个投影反映空间线段的实长，并垂直于相应的投影轴。

3.两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有3种情况，即平行、相交和交叉。其中交叉两直线既不平行也不相交，又称为异面直线。下面分别分析它们的投影特性。

（1）平行两直线

平行直线的所有同面投影必互相平行，如图3-11b所示。因为AB与CD两直线平行，它们向投影面投影时，投影线组成的两个平面互相平行，即平面ABba∥CDdc。所以，该两平面与投影面的交线，即AB与CD的投影必平行。故有ab∥cd，a′b′∥c′d′，如图3-11a所示。

（2）相交两直线

相交直线的所有同面投影必相交，且交点的连线必垂直于相应的投影轴，如图3-12b所示。因为点K是AB与CD直线的共有点，所以两直线的各面投影必相交。又因各面投影相交点是空间同一个点K的投影，所以必然符合点的投影规律，如图3-12a所示。

（3）交叉两直线

交叉两直线的投影特性既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性。如图3-13b所示，虽然同面投影都相交，但交点的连线并不垂直于相应的投影轴。AB与CD两线段的投影相交处，并不是两直线共有点的投影，而是两直线上点的投影的重合，如图3-13a所示。

交叉两直线投影相交处是重影点的投影，通过投影图判别其可见性，可确定两直线在空间的位置关系。具体判别方法及标记，参见前述重影点及可见性的判别内容。

根据上述两直线的相对位置的投影特性，可在投影图上解决作图和判别问题。在投影图上判别两直线的相对位置时，一般情况下任意选择两面投影即可判断。若两直线为特殊位置直线或其中之一为特殊位置时，必须有该直线所平行的投影面上的投影才能判断。例如，在图3-14a中，AB与CD为侧平线；在图3-14b中，AB为侧平线，CD为一般位置直线，均需有其侧面投影后，才能最后判断为交叉两直线。

4.直角投影定理

空间两直线垂直，若其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影成直角。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必垂直。

上述定理可由图3-15得到证明。图3-15a中，已知AB⊥BC，BC∥H面。因BC⊥Bb，所以BC⊥四边形ABba。又因BC∥bc，则bc⊥ABba，bc⊥ab。其投影图如图3-15b所示。

[例3-3] 过点A作一直线AB，令AB与正平线CD垂直相交，如图3-16a所示。

解 已知CD为正平线，所作直线与其垂直相交，根据直角投影定理，两直线的正面投影必垂直相交。作图步骤如下。

1）过a′作a′b′⊥c′d′，交c′d′于b′。

2）由b′向下作投影连线，交cd于b。

3）连接ab，则ab与a′b′是所求直线AB的两面投影，如图3-16b所示。

3.2.3 平面的投影

1.平面的表示法

初等几何中，可以用一组几何要素来确定平面，通常有5种情况：不在一条直线上的3个点，一直线和直线外一点，平行两直线，相交两直线和任意平面几何图形。如图3-17所示是用上述各几何要素所表示的平面的投影图。

2.平面对投影面的相对位置

平面对投影面的相对位置有3种情况：

•一般位置平面——与三投影面都倾斜的平面。

•投影面垂直面——垂直于某一投影面，倾斜于另外两个投影面的平面。

•投影面平行面——平行于一个投影面，必然垂直于另外两个投影面的平面。

后两类平面又称为特殊位置平面。平面对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示。下面分别介绍各种平面的投影特性。

（1）一般位置平面

一般位置平面如图3-18所示，其投影特性为：三面投影均为缩小的类似形。

（2）投影面垂直面

投影面垂直面有3种：垂直于H面的铅垂面；垂直于V面的正垂面；垂直于W面的侧垂面。

三种投影面垂直面的空间状况及投影特性见表3-3。

由表3-3可知，投影面垂直面的投影特性为：当平面垂直于某一投影面时，平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，即平面内任何几何要素的投影都重合在该直线上，这种特性称为平面的积聚性。该积聚性投影与相应投影轴的夹角，反映空间平面与另外两个投影面的倾角。平面的另外两个投影均为缩小的类似形。

（3）投影面平行面

投影面平行面有3种：平行于H面的水平面；平行于V面的正平面；平行于W面的侧平面。

三种投影面平行面的空间状况及投影特性见表3-4。

由表3-4可知，投影面平行面的投影特性为：平面在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形；另外两面投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。

3.用迹线表示特殊位置平面

平面与投影面的交线称为平面的迹线，如图3-19所示，空间平面P与H、V和W面的交线称为P平面的三面迹线，分别记作P_H、P_V和P_W。

迹线是平面与投影面的共有线，其一面投影与迹线本身重合，另外两面投影必与相应的投影轴重合。例如图3-19中的迹线P_V，其正面投影与P_V重合，水平投影与OX轴重合，侧面投影与OZ轴重合。

一般在投影图上只用与迹线本身重合的那一面投影来表示迹线。特殊位置平面必有一面或两面投影积聚为直线，该直线也是平面的相应迹线所处的位置。所以对特殊位置平面就用有积聚性的投影表示该平面，并标记相应的符号。其具体表示方法如图3-20和图3-21所示，即用细实线画出平面有积聚性的投影，并在线段的一端注上相应的迹线符号。图3-20是用迹线表示正垂面R、铅垂面P和侧垂面Q的投影图。图3-21是用迹线表示水平面P、正平面Q和侧平面S的投影图。这些投影图可以完全确定相应的特殊位置平面的空间位置。

4.平面内的点和直线

（1）平面内取点和取直线

在投影图上取属于空间平面内的点和直线，必须满足下列几何条件：

1）在平面内取点，必须取自属于该平面的已知直线上。

图3-22a中，平面P由相交二直线AB和BC确定。若在AB上取点M，在BC上取点N，M、N两点均取自属于P平面的已知直线上，则M、N两点必在P平面内。图3-22b表示在投影图中的作图情况。

2）在平面内取直线，必须过平面内两已知点或过平面内一已知点且平行于该平面内的另一已知直线。

图3-23a中，平面P由相交二直线AB和BC确定。M、N为该平面内的两已知点，过M、N两点的直线必在P平面内。图3-23b中，平面P由相交二直线AB和BC确定。点L属于AB，是P平面上的已知点。过L作LK∥BC，则LK必在P平面内。图3-23c表示根据上述条件在投影图中的作图情况。

由上述可知，在平面内取点，必先取直线；而平面内取直线，又必先取点，即必须遵循点、线互相利用的原则。

[例3-4] 已知由平行两直线AB与CD所确定的平面内一点K的正面投影k′，求其水平投影k，如图3-24a所示。

解 点K属于平面，则K点必在平面内的一条已知直线上。其作图过程如图3-24b所示。先过K（k′）任作直线ⅠⅡ（1′2′）与AB（a′b′）、CD（c′d′）相交，再由1′、2′向下确定1、2，连接1、2，则直线ⅠⅡ必在平面内，k必在12上。

[例3-5] 已知△ABC和点D的两面投影，判别D是否在该平面内（如图3-25所示）。

解 点D若在△ABC内，必在属于该平面的直线上，否则点D就不在平面内。作图时先在平面内取辅助线AⅠ，令a′1′通过d′，再求出a1，看是否也通过d，如图3-25所示，d不在a1上，故D不在△ABC内。

[例3-6] 试在一般位置平面△ABC内取水平线和正平线，如图3-26所示。

解 在图3-26a中，一般位置平面△ABC内的直线AD∥H面，则称AD为该平面内的水平线，BE∥V面，则称BE为该平面内的正平线。

平面内投影面的平行线，是平面内的特殊位置直线，既属于平面，又具有投影面平行线的投影特性。在投影图上的作图过程如图3-26b所示。过△ABC上任意一点例如点A，作水平线时，则应过a′作a′d′∥OX轴，再由d′得d，连接ad，则直线AD（a′d′、ad）即为△ABC内的水平线。用类似的方法，可在△ABC内取正平线BE（be、b′e′）。显然，同一平面内可取无数条水平线、正平线，它们互相平行。

（2）过已知点或直线作平面

过空间已知点A可作无数个平面。如图3-27a所示，在点A外任取一直线BC，则A和BC就确定了一个平面。

若过空间点A作投影面垂直面，也可以作无数个。图3-27b为过点A作的铅垂面△ABC；图3-27c为过点A作铅垂面P，用迹线P_H表示。其空间作图情况如图3-27d所示。

过空间已知点A作投影面平行面，则只能作一个。

过空间已知直线，可作无数个平面，只要在线外任取一点，即可构成。

过空间已知直线AB作投影面垂直面，总可以作出一个，一般用迹线表示。图3-28为过AB作正垂面P（图3-28a）和铅垂面Q（图3-28b）的空间情况及投影图。