2.2 平面机构具有确定运动的条件

如前所述，各种机构均用来传递运动或动力，或改变运动形式。当机构按照一定的要求进行运动的传递和交换时，原动件按给定的运动规律运动，而其余构件的运动也应是完全确定的。但是，机构具有确定运动是有条件的。例如，在图2-13a所示的五杆运动链中，若使原动件1回转，即给定一个独立运动，则构件2、3、4的运动并不确定，可能是实线位置，也可能是双点画线位置；若使原动件1和4按各自运动规律回转，即给定两个独立运动，则该运动链因其运动完全确定而成为机构。在图2-13b所示的四杆运动链中，只允许给定一个独立运动（如原动件1回转），如果使1和3都为原动件按各自运动规律回转，除非损坏构件，否则运动链无法运动。可见，运动链成为机构时必定是可动并具有运动的确定性，其条件与机构的独立运动数目即自由度有关。

2.2.1 平面机构自由度的计算

设在一个平面机构中有n个活动构件（机架不计入其内），PL个低副，PH个高副。如前所述，每一个自由运动的平面构件有3个自由度，则各构件在未用运动副相连时，n个活动构件共有3n个自由度。组成机构之后，机构中每一个低副具有两个约束，使机构失去2个自由度；每一个高副具有一个约束，使机构失去一个自由度。所以平面机构的自由度F为

F=3n-2PL-PH（2-1）

可见，平面机构的自由度F取决于机构中活动构件的件数以及运动副的类型（高副或低副）和个数。

【例2-4】 计算图2-13a所示机构的自由度。

解 该机构活动构件数n=4，低副数PL=5（A、B、C、D、E），高副数PH=0，由式（2-1）得

F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-0=2

【例2-5】 计算图2-13b所示机构的自由度。

解 该机构活动构件数n=3，低副数PL=4（A、B、C、D），高副数PH=0，由式（2-1）得

F=3n-2PL-PH=3×3-2×4=1

2.2.2 运动链的可动性及运动确定性的条件

以上叙述表明，运动链可动的必要条件是其自由度F>0；否则构件系统没有运动的可能性。例如，图2-14a所示运动链的自由度F=0，该运动链不可动，工程上称为桁架。图2-14b所示运动链的自由度F=-1，该运动链也不可动，工程上称为超静定桁架。

综上分析可知，机构的自由度也即是机构具有的独立运动数目，因只有原动件才能独立运动，且通常每个原动件只具有一个独立运动（如驱动电动机轴的转动、液压缸活塞杆的移动等）。因此，机构的原动件数必定等于机构的自由度F，如图2-13a中的五杆运动链必须给出两个原动件，否则该运动链将作无规则运动或无法运动，不能称之为机构。

综上所述可知，机构具有确定运动的条件是：F>0且等于原动件数。

2.2.3 平面机构自由度计算中的特殊情况

在用式（2-1）计算平面机构的自由度时，有些特殊情况需要处理，否则会导致错误结论。

1.复合铰链

两个以上构件汇集在同一处以转动副相连接，组成包含多个转动副的复合铰链。图2-15a所示为三个构件汇集成的复合铰链，由其俯视图（图2-15b）可见，这三个构件组成两个转动副。依此类推，K个构件汇集而成的复合铰链应有（K-1）个转动副。在计算平面机构自由度时应识别复合铰链，并确定所包含的转动副个数。

【例2-6】 计算图2-16所示的圆盘锯机构的自由度，并判定其原动件数是否合适。

解 机构中活动构件数n=7，A、B、C、D都是汇集三构件的复合铰链，各包含两个转动副，低副数PL=10，高副数PH=0。则

F=3n-2PL-PH=3×7-2×10=1

因该机构中的构件1为原动件，原动件数等于自由度，故合适。

2.局部自由度

机构中常出现一种与输出构件运动无关的自由度，称为局部自由度，在计算平面机构自由度时应预先排除。

在图2-17a所示的凸轮机构中，活动构件数n=3，低副数PL=3（A、B、C），高副数PH=1（a），则自由度为

F=3n-2PL-PH=3×3-2×3-1=2

根据机构具有确定运动的条件，该凸轮机构应有两个原动件才有确定运动，但事实上只需凸轮一个原动件。其原因在于无论滚子2绕转动副C中心是否转动或转动快慢都不影响输出构件3的运动，故滚子2绕其中心的独立转动是局部自由度。在计算机构自由度时，可设想将滚子与从动件3焊接成一个构件，以预先排除局部自由度，如图2-17b所示。此时，活动构件数n=2，低副数PL=2（A、B），高副数PH=1（a），则自由度为

F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1计算结果与实际一致，即当凸轮为原动件时，机构的运动是确定的。

虽然局部自由度不影响整个机构的运动，但滚子可使高副接触处的滑动摩擦变为滚动摩擦，以减小磨损。因此在实际机械中常有局部自由度出现。

3.虚约束

在机构中有些运动副引入的约束与其他约束的作用是重复的，对机构的运动实际上不起任何限制作用，这类约束称为虚约束。在计算机构的自由度时应当除去虚约束。

虚约束对机构的运动虽不起作用，但可以增加机构的刚度、改善受力情况、保证传动的可靠性等，因此，在机构中引入虚约束是工程实际中经常采用的主动措施。常见虚约束的引入情况见表2-4。

由表2-4可见，机构中的虚约束都是在一些特定几何条件下出现的，这些几何条件给制造和装配提出了必要的精度要求。若这些几何条件不能满足，则引入的虚约束就成了实约束，“机构”将不能运动。

【例2-7】 试计算图2-18所示冲压机构的自由度，并判断原动件数目是否恰当。

解 从小齿轮开始给每个构件编号，共有10个构件，其中构件10为机架；分别用大、小写英文字母给低副和高副编序，如图所示。机构中滚子处有一个局部自由度，故设想滚子与摆杆3焊接成一个构件。推料杆5与机架由导路平行的两个移动副相连，其中一个移动副引入虚约束，应除去该移动副。构件6、7及8之间是复合铰链，包含2个转动副。合计有12个低副、2个高副。由式（2-1）有

F=3n-2PL-PH=3×9-2×12-2=1

图2-18中弧线箭头表明机构中的小齿轮是原动件。故原动构件数与机构自由度相等，原动件数恰当。