2.3 采样和量化

一幅（模拟）图像必须要在空间和灰度上都被离散化才能转化为数字图像，从而被计算机加工。空间坐标的离散化称作空间采样（简称采样），它确定了图像的空间分辨率；而灰度值的离散化称作灰度量化（简称量化），它确定了图像的幅度分辨率。

2.3.1 空间分辨率和幅度分辨率

设F，X和Y均为实整数集，下面用数学语言来描述采样和量化。采样过程可看作将图像平面划分成规则网格，每个网格中心点的位置由一对笛卡儿坐标(x, y)所决定，其中x属于X，y属于Y。令f(·)是给点的坐标对(x, y)赋予灰度值（f属于F）的函数，那么f(x, y)就是一幅数字图像，而这个赋值过程就是量化过程。

如果一幅图像的尺寸（对应空间分辨率）为M×N，表明在成像时采了MN个样本，或者说图像包含MN个像素。如果对每个像素都用G个灰度值中的一个来赋值，表明在成像时量化成了G个灰度级（对应灰度分辨率）。在数字图像处理中，一般将这些量均取为2的整数次幂，即（m，n，k均为正整数）：

例2.3.1　一些图像显示格式的空间分辨率

一些常见图像显示格式的空间分辨率如表2.3.1所示。

例2.3.2　普通电视和高清电视的显示

普通电视显示屏的长宽比为4：3，而高清晰度电视显示屏的长宽比为16：9。在将高清电视节目显示在普通电视显示屏上时可以有两种转换形式，如图2.3.1所示。一种称为上下框格式，此时保持原节目的长宽比不变，屏幕上下有边框。另一种称为全扫描格式，相当于截取了原节目宽度中的一部分。假设对普通电视显示屏和高清晰度电视显示屏拍摄相同高度的照片，从采用前一种格式的普通电视显示屏获得的照片保留了画面全局但减少了细节辨识率，而采用后一种格式的普通电视显示屏获得的照片只保留了部分画面但所保留部分的细节辨识率没有变化（参见练习题2.6）。

存储一幅图像所需的数据量由图像的空间分辨率和幅度分辨率决定。根据式（2.3.1）到式（2.3.3），存储一幅图像所需的位数b（单位是比特）为

如果N=M（以下一般都设N=M），则

数字图像是对连续场景的一个近似，所以常会产生这样的问题：为达到较好的近似，需要多少个采样和灰度级呢？从理论上讲，M，N，G越大，数字图像对连续场景的近似就越好。但从实际出发，式（2.3.4）明确指出储存和处理的需求将随M，N和k的增加而迅速增加，所以采样量和灰度级数也不能太大。

例2.3.3　图像分辨率与存储和处理

存储一幅图像所需的数据量经常很大。假设有一幅512×512像素、256个灰度级的图像，它需要用209.152 bit来存储。1 Byte等于8 bit，为表示256个灰度级需用1 Byte（即用1 Byte表示一个像素的灰度），这样上面的图像需要262144 B来存储。如果一幅彩色图像的分辨率为1024×1024像素，则需要3.15 MB来存储，这相当于存储一本750页的书。视频由连续的图像帧组成（PAL制为每秒25帧）。假设彩色视频的每帧图像为512×512像素，则1 s的数据量为512×512×8×3×25 bit或19.66 MB。

为实时处理每帧分辨率为1024×1024像素的彩色视频，需要每秒处理1024×1024×8×3×25 bit的数据，对应的处理速度要达到约78.64MB/s。假设对一个像素的处理需要10个浮点运算（floating-point operations，FLOPS），那对1 s视频的处理就需要近8个亿的浮点运算。并行运算策略通过利用多个处理器同时工作来加快处理速度。最乐观的估计认为并行运算的时间可减少为串行运算的（lnJ）/J，其中J为并行处理器的个数。按照这种估计，如果使用一百万个并行处理器来处理1 s的视频，每个处理器还要具有每秒78万多次运算的能力。

2.3.2 图像质量与采样和量化

根据前述的讨论，并为了表述方便，以下考虑正方形图像的图像质量如何随着空间分辨率（用N表示）和灰度量化级数（用k表示）的减少而劣化的大概情况。

对一幅512×512像素，256个灰度级的具有较多细节的图像，如果保持灰度级数不变而仅将其空间分辨率（通过像素复制）减为256×256像素，就可能在图中各区域的边缘处看到棋盘模式，并在全图看到像素粒子变粗的现象。这种效果一般在128×128像素的图中看得更为明显，而在64×64像素和32×32像素的图中就已相当显著了。

例2.3.4　图像空间分辨率变化所产生的效果

图2.3.2所示是一组空间分辨率变化所产生效果的例子，其中图2.3.2（a）为一幅512×512像素、256级灰度的图像，其余各图依次为保持灰度级数不变而将原图空间分辨率在横竖两个方向逐次减半所得到的结果，即它们是空间分辨率分别为256×256像素、128×128像素、64×64像素、32×32像素、16×16像素的图像。由这些图可看到上面所述的现象。如在图2.3.2（b）中，帽沿处已出现锯齿状；图2.3.2（c）中这种现象更为明显，且头发有变粗的感觉；图2.3.2（d）中头发已不成条；图2.3.2（e）里已几乎不能分辨出人脸；而图2.3.2（f）单独观看时完全不知其中为何物。

现在仍借助上述512×512像素、256级灰度级的图像，考虑减少图像幅度分辨率（即灰度级数）所产生的效果。如果保持空间分辨率而仅将灰度级数减为128或64，一般并不能发现有什么明显的区别。如果将其灰度级数进一步减为32，则在灰度缓慢变化的区域常会出现一些几乎看不出来的、非常细的山脊状结构。这种效应称为虚假轮廓，它是由于在数字图像的灰度平滑区域使用的灰度级数不够而造成的，一般在用16级或不到16级均匀分布灰度数的图中比较明显。

例2.3.5　图像幅度分辨率变化所产生的效果

图2.3.3所示是一组幅度分辨率变化所产生效果的例子，其中图2.3.3（a）为一幅512×512像素、256级灰度图。其余各图依次为保持空间分辨率不变而将灰度级数逐次减小为64、16、8、4、2所得到的结果。由这些图可看到上述讨论的现象。例如，图2.3.3（b）还基本与图2.3.3（a）相似，而从图2.3.3（c）开始可看到一些虚假轮廓，图2.3.3（d）这种现象已很明显，图2.3.3（e）中随处可见，而图2.3.3（f）则具有木刻画的效果了。

例2.3.6　图像空间和幅度分辨率同时变化所产生的效果

图2.3.4所示是一组空间和幅度分辨率同时变化的图像，从图2.3.4（a）到图2.3.4（f）分别为：256×256像素、128级灰度；181×181像素、64级灰度；128×128像素、32级灰度；90×90像素、16级灰度；64×64像素、8级灰度；45×45像素、4级灰度。可见，此时图像质量的退化比单独变化空间分辨率或幅度分辨率时要更快。

实际应用中选择采样值的一个重要因素是看需要观察到图像中哪个尺度的细节。这个数值常与图像内容密切相关，并不是固定的。量化级数的选择主要基于两个因素。一个是人类视觉系统的分辨率，即应该让人从图像中看得到连续的亮度变化而不要看出（间断的）量化级数来。另一个是与应用有关的，即要满足具体应用所需要的分辨率。例如，有的应用只需要将目标与背景区别开（如许多文档），此时只使用二值图像就可以了。又如，如果将图像打印出来观看，16个灰度级就常常够用了；但如果将同一幅图像显示在屏幕上，人们还能看出灰度的跳跃，所以还需要使用更多的量化级数。在有些特殊的应用（如医学图像）中，需要区分很缓慢的微小变化，此时常常量化成256个灰度级也不够，需要使用10 bit甚至12 bit来表示灰度级数。