第1章 数学建模基本知识

1.1 数学建模简介

1.1.1 什么是数学建模

提到数学，也许你的脑海里会浮出这样一幅画面：鸦雀无声的教室，监考老师用警惕的目光扫视着全场，考生们分秒必争，疯狂地写下心中那一道道数学难题的答案。

那什么是“数学建模”？

数学建模是指对现实世界的某一特定对象，为了特定的目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。

你玩过“人鬼过河”的游戏吗？三个人和三个鬼要过河，只有一条船，船上最多可以乘两个人或两个鬼或一人一鬼，但河岸上鬼的数量不能大于人的数量，否则人会被鬼所吞噬。那么，怎样合理设计过河路线才能保证这三个人安全渡到河的对岸呢？显然这是一个锻炼人的逻辑思维的游戏，也许你会一遍遍地尝试，寻找合理的过河方法。而它，从逻辑思维角度分析就是一道数学建模题目。因此，我们可以通俗地说，数学建模是生活中的智力游戏。

你喜欢旅游吗？你想把全中国的每个省市的名胜景点都走一遍吗？那么怎样设计一条旅行路线才能让我们的行程最短，所需费用最少呢？或许你会打开百度地图，一遍遍地计算，寻找最短行程。但是走进数学建模的世界，你会发现只需要在电脑上敲出几行代码，做一个小程序，就可以轻松地计算出最短距离。这就是数学建模里面著名的“TSP”问题。显然，我们也可以说数学建模是帮助我们解决生活中的小问题，让我们更好地享受生活。

你们班有60人，现有一个出国留学的名额，那么你能够拥有这个机会的可能性有多少？也许你会不假思索地给出答案：1/60。也许你的答案是正确的，但是从数学建模的角度分析，你的答案就不是那么有说服力了，因为你忽略了事情的前提条件。考虑到每个同学的家庭经济状况及同学的性别、年龄、意愿等诸多因素，你出国留学的概率又会是多少呢？数学建模可以帮助我们解决这些学习或工作中的问题。

讲述了这三个生活中常见的小事，不知你对建模是否有了更进一步的了解。从理论上讲，数学建模，虽名曰数学，但又与纯数学竞赛有着天壤之别。它既不是纯粹的数学竞赛，也不是纯粹的计算机竞赛，而是涉及多学科、多领域，考查学生处理实际问题的综合能力。它不像考试，更像是一个课题小组在规定的时间内完成一项任务。

郑州大学的石东洋教授解释道：“数学建模就是以各学科知识为基础，利用计算机和网络等工具，来解决实际问题的一种智力活动。它既不是传统的解题，也不同于其他赛事，而是更重视应用与创新，以及动手能力的考查。”

随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，不仅运用于自然科学的各个领域，而且渗透到经济、军事、管理及社会活动的各个领域。但社会对数学的需求并不只是需要专门从事数学研究的人才，而且需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题。对于生活中复杂的实际问题，发现其内部规律，用数学语言将其描述出来，进而把这个复杂的实际问题转化为一个简化的数学问题，这就是数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模。当然，复杂的实际问题中有许多因素，在建立模型中不可能毫无遗漏地将其全部考虑在内，只考虑其中最主要的因素就可以了，这样就可以用数学工具和数学方法去解答工作生活中的实际问题。

那么你见过数学建模竞赛的场面是什么样的吗？它和常规的数学竞赛一样两个小时一张试卷吗？当然不是。有人这样描述：全国乃至世界范围内的大学生，来自不同学院、不同专业的建模爱好者们，三人一队，一起参加历时三天三夜或四天四夜的建模比赛。他们有的在娴熟地操作着电脑，聚精会神地凝视着电脑屏幕上的一篇篇文献；有的两眼紧紧盯着屏幕上来回滚动的数字和符号，仿佛在看武侠小说、侦探片、世界杯；有的则在堆积如山的建模书里翻来覆去地搜索着。每位建模者都有对赛题的独特观点和见解，他们彼此交流，只为找到自己建模思路中的某个“元件”，从而完善自己的建模大厦。当然，数学建模竞赛并没有一个固定的答案，完成数学建模赛题的关键在于团队的创新能力。而人的创造力是没有顶峰的，每个团队都应竭尽全力，没有最好，只有更好。因此每年全国评出的优秀答卷几乎都有不足之处，这并不奇怪，因为答卷的优秀与否是相对而言的。

数学建模的益处当然不仅仅在于比赛的过程使人增长知识，开阔视野，更在于对我们日后的学习或工作也有很大帮助。中国科学院攻读空间物理博士学位的一位建模爱好者说：“我目前的工作是分析卫星数据，从中抽取相关物理规律。这是个非常烦琐的过程，并且还需要学习一些计算机语言、编程序、看大量英文文献、和导师及一些专家合作讨论。可以说，在数学建模活动中锻炼的这几年，让我对目前的这些困难能够应付自如。”

毕业后走入工作岗位的一位建模爱好者这样描述：“目前我在一家大型电子商务公司做平台运营，负责七个店铺在四个平台中的日常销售。电子商务中无数的数据之间相互影响、相互依托，让我更乐于用建模的思维去思考因子之间的相关性，进行客户的行为分析、地域分析，分析访客量、浏览量、转化率对成交金额的影响，提升店铺DSR评分，提高转化率，促进成交金额，使我在平凡的工作中表现得更加自信，在复杂的数据之间更加从容。”

21世纪以来，人类已经进入到以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代，定量化、数字化的技术得到了飞速发展，并应用于各个领域，培养应用型数字人才已迫在眉睫。数学建模，不仅丰富了大学生的课余生活，开拓了他们的视野，让全国乃至世界的大学生站在同一个平台上角逐，更为他们以后顺利走入工作岗位奠定了基础。

现在，你该知道什么是数学模型和数学建模了吧！从错综复杂的实际问题中，经过合理的分析、假设，抓住主要矛盾、忽略次要矛盾，得到一个用数学的符号和语言描述的表达式，这就是数学模型。综合运用所学知识，选择适当的方法加以解决就是数学模型的求解。这种从实际中提出问题、建立数学模型到模型求解的完整过程就是数学建模。

1.1.2 初等数学模型案例

数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实；只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践——理论——实践这一过程。

现实世界中有很多问题，它的机理比较简单，一般用静态、现态、确定性模型描述就能达到建模的目的，基本上可以用初等数学模型的方法来构造和求解模型。

初等数学模型中的大多数问题都是很早就提出来了，这些问题简直像天方夜谭似的极其有趣，表面上看无从下手。而数学建模则是将原型进行适当的简化、提炼而构成的一种原型代替物。这种代替物并不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各种层次的特征，模型只反映了与某种目的有关的那些方面和层次的特征，从而达到解决某个具体问题的目的。

例1：人、猫、鸟、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载1物，而人不在场时，猫要吃鸟，鸟要吃米，问人、猫、鸟、米应如何过河？

模型假设

人、猫、鸟、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题。

模型建立

我们用（w,x,y,z），w,x,y,z=0或1，表示南岸的状态，例如（1,1,1,1）表示它们都在南岸，（0,1,1,0）表示猫、鸟在南岸，人、米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量，(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,0,1)。

模型求解

将10个允许状态用10个点表示，并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态，则这两个允许状态间存在连线，从而构成一个图，如图1-1所示。在其中寻找一条从（1,1,1,1）到（0,0,0,0）的路径，这样的路径就是一个解，可得下述路径图。

由图1-1可见，以上两个解都是经过7次运算完成的，均为最优解。

模型推广

这里讲述的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义，适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效解决很广泛的一类问题的方法。

例2：某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04元等额偿还，15年还清（公积金贷款月利息为3.675‰）。问贷款额为多少？

模型假设

贷款期限内利率不变；银行利息按复利计算。

符号定义

A（元）：贷款额（本金）；n（月）：货款期限；r：月利率；B（元）：月均还款额；Ck：第k个月还款后的欠款。

模型建立

将该递推数列变形为：

利用等比数列得到一般项公式为：

由有：

模型求解

带入：=180、=0.003675、=1977.04

则：=260000（元）（因每月还款1977.04只能精确到分，实际计算结果为259999.4元）。

例3：世界纪录的赛跑数据如表1-1所示。

研究运动员跑过的距离长度是怎么影响其成绩的？

模型假设

运动员的成绩仅与跑过的距离长度相关，即不考虑运动员的自身差异及场地、环境等差异的影响。

模型建立

在坐标系上将数据对应的点一一标出来，如图1-2所示，这些点大致分布在一条直线附近，猜想两者之间有线性关系。

模型修正

由于数据点并不严格在一条线上，设想其误差由长度以外的其他因素所导致，因此，模型修改为

模型求解

利用二元函数最小值的方法，不难求得：

例4：投掷铅球的最佳角度问题。

用数学方法研究体育运动是从20世纪70年代开始的。1973年，美国的应用数学家J·B·开勒发表了赛跑的理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得了很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家艾斯特运用数学和力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术，从而提出了他自己的研究理论，据此改进了投掷技术的训练措施，并使这位世界冠军在短期内将成绩提高了4 m。这些都说明了数学在体育训练中发挥着越来越明显的作用。

在铅球投掷训练中，教练关心的核心问题是投掷距离。而距离的远近主要取决于两个因素：速度和角度。在这两个因素中，哪个更为重要呢？

模型假设

铅球投掷训练涉及的变量很多，为简化问题，我们在下面的模型中，将不考虑铅球运动员在投掷区域内身体的转动，只考虑铅球的出手速度与投射角度这两个因素。并作如下假设：

（1）忽略铅球在运行过程中的空气阻力作用；

（2）投射角度与投射初速度是相互独立的两个量；

（3）将铅球视为一个质点。

模型建立

先考虑铅球从地平面以初速度ν和角度θ投掷出的情形。如图1-3所示，铅球在点P处落地。

先来求铅球的运动方程。

设铅球在时刻t的动点坐标为(x,y)，得运动方程：

消去方程中的参变量t，得到关于x,y的关系式：

为了求出铅球落地处的坐标，只需令y=0，解得：

其中x1是铅球起点的坐标，x2是铅球落地时点P的坐标。

若ν固定，则投掷距离是投射角θ的函数。当时，投掷距离达到最大值，这时的投掷距离为。这就是说，按角投掷时，投掷的距离最远。

然而，上述模型与实际是有差距的。这是因为，铅球不是从地面上出手的，而是从一定的高度处出手的。因而上面的方程应调整为：

消去t，得到：

令y=0，得方程：

解之得：

舍去负根，得到点P的坐标为：

即铅球的射程为：

数值模拟：

取g=10 m/s2，h=1.6 m，利用这一公式，列表给出速度与角度对投掷距离的影响，如表1-2所示。

从表1-2可以看出，当ν =11.5 m/s时，最佳角度为（可用微积分知识得到）。当角度在到之间变化时，产生的距离差是0.097 m，角度%的偏差引起距离0.06%的偏差。速度从11m/s变到12m/s引起了距离从14.032 m到16.359 m的偏差，也就是说，速度9%的增加导致了距离16.8%增加。这个结果表明，教练在训练运动员时，应集中主要精力来增加投掷的初始速度。

模型评价

（1）上面的模型比较粗糙，还有许多因素没有考虑到，例如运动员的身体转动，投掷者的手臂长度，肌肉的爆发力、铅球的质量，等等。加上以上诸因素后，得出的公式自然会更精确，但处理起来会复杂得多。

（2）关于速度与角度的偏差百分率的计算，是否可以比较还值得商榷。

（3）铅球投掷问题的数学模型，可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮等投掷问题，读者不妨用类似上面的方法进行研究。

当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节。

1.1.3 数学建模的基本步骤与论文写作

1.1.3.1 数学建模的基本步骤

通过以上几个例子，我们发现，建立数学模型的基本步骤就是解决一个实际问题的基本步骤。由于实际问题的背景、性质、建模的目的等方面不同，因此，建模要经过哪些步骤并没有固定的模式和标准。数学建模的基本步骤包括以下7个主要部分。

1.模型准备及问题分析

当看到竞赛题目时，首先，需要剖析问题，抓住问题本质和主要因素，确定问题的关键词，查阅资料和文献，了解问题的实际背景、相关数据或相关研究进展情况，获得关键资料，并初步确定研究问题的类型。竞赛的问题都是来自实际生活中的各个领域，并没有固定的方法和标准的答案。所以，要明确问题中所给的信息点，把握好解决问题的方向和目的，仔细分析问题关键词和数据信息，可适当补充一些相关信息和数据（具有一定权威性），为接下来的模型建立奠定基础。

2.模型假设

竞赛题目都是来自实际生活，所涉及的方面较广，受影响的因素较多，而在建模过程中不可能面面俱到，故需结合问题的实际意义，适当地将一些因素简化，但不能对问题主要因素影响太大。抓住问题关键、忽略次要因素，进行合理化的简要假设，这是为建模过程中排除一些较为难处理的情况，使建立的模型更趋优化和合理，也是评价一个模型优劣的重要条件。

3.模型建立

通过所做的分析和假设，结合相关的数学基本原理和理论知识，将实际问题转化为数学模型，可以用数学语言、符号进行描述和表示问题的内在现象和规律。结合相关学科的专门知识，根据所提供的要求和信息，建立一个关于问题中主要变量与主要因素间的数学规律模型，可以以数学方程式、图形、表格、数据和算法程序等形式表示。但在建模过程中应多创新，不要一味效仿，可以将多个知识点进行穿插和结合，如基于K-means的粒子群改进算法。还可以在算法程序上进行改进和优化，体现模型的创新性。

4.模型求解

在模型求解过程中，会用到传统的数学方法，如解方程、公式证明、统计分析等，但目前更广泛使用的是数学软件和计算机技术，如MatLab、Lingo、SPSS等，有时还需要掌握一门编程语言。所以需要具备针对实际问题学习新知识的能力，灵活应用新知识并将其与实际问题结合以对模型求解。

5.结果分析与检验

对所求的结果，针对问题的实际情况和意义进行分析。可以通过误差分析、灵敏度分析，来表现模型解决实际问题的效果及实际应用的范围。通过误差分析，可以适当调整模型，或提出出现误差的可能原因或解决的方案；灵敏度分析是针对某些主要参数的，可以确定模型中主要变量和参数的误差允许范围。有时需要通过将所得数据进行方差、标准差、t检验或f检验等。通过分析和检验，充分表现模型的合理性和可行性。

6.论文写作

数学建模比赛，不仅需要我们利用各种数学、物理、智能算法等来解决问题，还需要将研究成果撰写成论文，以电子版形式上交。按照数学建模的基本步骤，建立一个恰当的数学模型并求解，使参赛者清晰明了地表达解题思路，以展示自己能力，也是评委评定一篇论文好坏的依据。所以完成一篇高质量的竞赛论文不仅能展示自我才能，也能为竞赛加分。

7.模型应用

以上是将实际问题转化为数学模型进行求解并证明。在进行大量研究和演绎后，最终还需将其回归到实际，看其是否具有合理性和可行性，这需要用实际信息或数据进行验证。

以下为三种数学建模基本步骤，可根据个人所需对各个部分进行调节，如表1-3所列。

1.1.3.2 数学建模的论文写作

下面按照第一种数学建模基本步骤，就论文写作部分进行详细叙述。

1.摘要

摘要是一篇建模比赛论文的整体面貌，评委对论文第一轮评审就是通过对摘要进行筛选，所以对于每个参赛队来说，写好摘要，是获奖较为重要的一步，也是论文进一步得到评委审批的关键。

摘要的字数一般在400～800字，但其内容却包含了参赛队对题意理解、模型类型、建模思路、采用的求解方法及求解思路、算法特点、灵敏度分析、模型检验、主要数值结果和结论等。

在摘要下面一行，还需列出3～5个关键词，用来彰显竞赛论文的主要内容。

2.问题重述（或问题的提出与重述）

通过自己对题意的理解，用自己的语言重新描述问题。如果问题本身很简短，可以抄题，一般情况下不建议抄题。需要时，可以结合问题的背景简明扼要地说明解决问题的意义所在。

3.问题分析

需要抓住题目的关键词和主要目的及要求，分析要中肯、确切。依据的原理要明确，描述要简明扼要，可列出关键步骤，切记不要冗长，烦琐。对问题的分析，可以作为第三部分，也可以将其针对每个问题写在模型建立中。建议采用流程图，使思路表述更清晰。

4.模型假设

在对问题进行分析后，针对问题的主要因素，舍弃次要因素的影响，采用假设的方式，使我们解决的问题简化，模型更合理化。这部分内容，可以单独写，也可以在模型的建立时根据所需要情况再进行描述。

5.符号说明

对模型使用的变量加以说明，以简要的文字表述各字母的意义，其中各个主要符号的大小写、英语和阿拉伯文字，要与正文中的符号一致。符号说明太多时，建议采用表格形式。有时可将其分布在模型的建立中。

6.模型建立

明确题意后，简述基本思路。首先，简要介绍利用的基本原理和基本思想，再进行构建基本模型，如数学表达式、构建方案、构造图、算法流程图等，要明确说明解题的思路，有逻辑性、合理性、可行性，叙述完整。结合实际问题，改进和完善基本模型，使其能有效地解决问题。

7.模型求解

采用蚁群算法、模拟退火、遗传算法、元胞自动机、蒙特卡洛等一些智能算法时，要简要写明算法步骤，要阐明使用理由。计算时将一些必要的步骤列出来，不用将中间的计算过程一一列出。

8.模型检验

在模型求解后，采用一些方法进行检验。可以采用原始数据和查找的数据处理效果进行对比检验；也可以采用对结果的t检验、f检验等，若误差较大时，可分析原理，进行改进或修正。

9.模型评价和推广

这里需要强调的是，衡量一个模型的优劣在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题，我们用初等数学的方法和高等数学的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的一定是前者而非后者。

模型推广，可以采用将原题要求进行扩展，进一步讨论模型的实用性和可行性；还可以提出问题的展望。

10.参考文献

论文提及或是直接引用的文献、引用数据的出处等，需要在这部分进行罗列。常用的文献表述形式如下[1]：

（1）公开发表的杂志。

［序号］作者，文章名字［文献类型］，刊物名，出版年，出版单位，卷号（期号），起止页码。

如：［5］李海芳，杨红云，张英等.四氧化三铁/单壁碳纳米管磁性复合纳米粒子分散固相微萃取——高效液相色谱法测定牛奶中的香精添加剂［J］.色谱，2014，(4)413～418.

（2）公开出版的书籍。

［序号］作者，书名［M］，版次，出版地，出版单位，出版年；起止页码.

如：［3］唐焕文，贺明峰.数学模型引论［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2001.

（3）网页资料类。

［序号］作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

如：能斯特方程，http://baike.baidu.com/view/404720.htm?fromtitle=能斯特方程式&fromid=1214555&type=syn，2014-11-28.

英文写作也有这样的要求，一般我们可以采用上述格式。

其中的参考文献类型标识字母有：J—期刊、M—专著、N—报纸、C—论文集、D—学士论文、P—专利、R—报告、S—标准。

11.附录

这部分不属于论文的正文内容，是一些很重要的计算过程、算法程序，以及一些数据表格等。

古训有云：读万卷书，行万里路。一个优秀的学习者不仅要掌握理论上的知识，更应将所学的知识应用到实际中，不断在实践中提升自我。