2.4 直梁的平面弯曲

2.4.1 基本概念及基本形式

1.平面弯曲

杆件受到垂直于杆件轴线的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用（见图2.24），杆件轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。

弯曲变形是工程中最常见的一种变形。例如，图2.25所示的火车轮轴，在外力作用下其轴线发生了弯曲。

工程中常见的梁，其横截面大多有一根对称轴，如图2.26所示，这根对称轴与梁的轴线所组成的平面称为纵向对称平面（见图2.27）。如果作用在梁上的外力和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将是位于此纵向对称平面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。它是最简单、最常见的弯曲变形。本节主要讨论直梁的平面弯曲。

2.梁的类型

工程中的梁按其支座情况分为下列三种形式：

（1）悬臂梁。梁的一端为固定端，另一端为自由端，如图2.28（a）所示。

（2）简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座，如图2.28（b）所示。

（3）外伸梁。梁的一端或两端伸出支座的简支梁，如图2.28（c）所示。

作用于梁上的载荷，通常简化为三种形式，如图2.24所示。

（1）集中力。当力的作用范围相对梁的长度很小时，可简化为作用于一点的集中力。

（2）分布载荷。指载荷连续分布在梁的全长或部分长度上，其大小与分布情况有关。若均匀分布，则称为均布载荷，用载荷集度q表示，其单位为N/m。

（3）集中力偶。当力偶作用范围远远小于梁的长度时，可简化为集中作用于某一截面的集中力偶。

2.4.2 剪力图和弯矩图

1.剪力和弯矩

如图2.29所示的悬臂梁AB，在其自由端作用一集中力F，求距A端x处的横截面的内力。

用截面法，假想沿截面m-m将梁截分为两段，取左段为研究对象，要使左段梁处于平衡，那么横截面上必定有一个作用线与外力平行的力FQ和一个纵向对称平面内的力偶矩M。由平衡方程：

得

上式中和M是横截面上的内力，分别称为剪力和弯矩，图中的C是横截面的形心。

若取右段为研究对象，用同样的方法也可求得m-m截面上的剪力和弯矩，其数值与用左段所得结果相同，但方向相反。为使无论用左段还是用右段所计算同一截面上的剪力和弯矩，不但数值相同，而且符号也相同，根据梁的变形情况，对剪力和弯矩的符号做如下规定：

截面处的左右两段发生左上右下的相对错动时，该截面的剪力为正（见图2.30（a）），反之为负（见图2.30（b））；截面处的弯曲变形为上凹下凸时弯矩为正（见图2.31（a）），反之为负（见图2.31（b））。

利用截面法计算指定截面的内力时，一般均设剪力和弯矩为正，这样计算所得结果的正负，即为内力的实际正负。

2.剪力图和弯矩图

任意横截面上的剪力和弯矩随横截面的位置变化而变化。若取梁的轴线为x轴，坐标x表示截面的位置，则各横截面上剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即

以上函数式称为剪力和弯矩方程，表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律。为了能直观地表达剪力和弯矩沿轴线变化情况，根据剪力方程和弯矩方程所绘制的图线称为剪力图和弯矩图。作剪力图、弯矩图基本方法是：先列剪力方程和弯矩方程，然后按方程描点作图。下面举例说明剪力图、弯矩图的作法。

例2.7　如图2.32所示，作立式简支梁在均布载荷q作用下的剪力图和弯矩图。

解：（1）求支座反力。取整个梁为研究对象，由平衡方程求得反力如下。

（2）列剪力方程和弯矩方程。在轴上任取一截面，到支座A的距离为x，由截面法得该截面的剪力方程和弯矩方程如下。

（2-10）

（2-11）

（3）作剪力图和弯矩图。由式（2-10）可知，剪力是x的一次函数，剪力图是一条斜直线。两点可以确定一条直线，当；当。连接两点可得剪力图，如图2.32（b）所示。

由式（2-11）可知，弯矩M是x的二次函数，表明弯矩图是一抛物线，作抛物线时，至少要确定三个点，当x=0时，M=0；当x=l, M=0。由剪力图可见，剪力等于零所对应的截面为，此截面所对应的弯矩取得极值，即。

将以上三点连成抛物线即为弯矩图，如图2.32（c）所示。

例2.8　如图2.33所示，作立式简支梁在集中力F作用下的弯矩图。

解：（1）求支座反力。取整个梁为研究对象，由平衡方程得

（2）建立弯矩方程。截面C处有集中力F作用，所以要分段建立方程。

AC段：

（2-12）

（2-13）

BC段：

（2-14）

（2-15）

（3）作剪力图和弯矩图。由式（2-12）、式（2-14）可知，剪力是常数，两段剪力图均为水平线；由式（2-13）、式（2-15）可知，弯矩均为x的一次函数，弯矩图均为斜直线。采用描点作图法，绘出弯矩图，如图2.33（b）所示。

由上两例可知，在均布载荷作用下，弯矩图为二次曲线；在无均布载荷作用处，弯矩图为斜直线，而弯矩图在此处出现转折。

例2.9　如图2.34所示，作简支梁在集中力偶M作用下的弯矩图。

解：（1）求支座反力。取整个梁为研究对象，由平衡方程得

（2）建立剪力方程和弯矩方程。截面C处有集中力偶M作用，所以要分段建立方程。

AC段：

BC段：

（3）作剪力图和弯矩图。由上面剪力方程可知，剪力是常数，两段剪力图均为水平线；由弯矩方程可知，弯矩均为x的一次函数，弯矩图均为斜直线。采用描点作图法，绘出剪力图和弯矩图，如图2.34（b）、（c）所示。由图可见，在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变值即为该处的力偶矩。若力偶为顺时针转向，则弯矩图从左向右向上突变；反之，向下突变。

由上述例题可总结出剪力图、弯矩图的下述规律：

（1）梁上某段无载荷作用时，剪力图为水平直线，弯矩图为斜线。

（2）梁上有均布载荷作用时，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。

（3）在集中力F作用处，剪力图发生突变，弯矩图发生转折。

（4）在集中力偶M作用处，剪力图不变，弯矩图发生突变，突变值为集中力偶矩的大小。从左到右作图时，集中力偶M顺时针转向时，弯矩图向上突变；反之向下突变。

利用上述规律，可以检查剪力图、弯矩图是否正确，也可以不列剪力方程、弯矩方程，便可以快捷地绘出剪力图和弯矩图。

2.4.3 纯弯曲时横截面上的应力

在确定了梁横截面上的内力之后，还要进一步研究横截面上的应力。从而建立梁的强度条件，进行强度计算。

1.纯弯曲的概念

大多数情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上的某点而言，则既有正应力又有切应力。若梁的横截面上只有弯矩无剪力，称为纯弯曲。但是，梁的强度主要决定于横截面上的正应力，所以本小节将讨论梁在纯弯曲时横截面上的正应力计算。

如图2.35（a）所示的外伸梁，该梁的剪力图和弯矩图如图2-35（b）、（c）所示。梁在AC和DB两段内各横截面上既有弯矩又有剪力，属于剪切弯曲。而在CD段内各横截面上只有弯矩没有剪力，属于纯弯曲。

（1）实验观察假设。将图2.35中梁受纯弯曲的CD段作为研究对象，变形前，在其表面画两条横向线和，再画两条与轴线平行的纵向线和（见图2.35）。梁段是纯弯曲，相当于两端受力偶作用（见图2.35（b））。观察纯弯曲时梁的变形，可以看到如下现象：

①梁变形后，横向线和仍为直线且与梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度，如图2.35（b）所示。

②纵向线弯曲成圆弧线，纵向线缩短了，而伸长了。

根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：

①平面假设：梁弯曲变形前横截面为平面，变形后仍保持平面，且绕某轴转过了一个角度。

②单向受力假设：梁的各纵向线处于单向受拉或单向受压状态，因此横截面上只有正应力。

由以上实验和假设可知，梁下部纵向线受拉伸长，上部纵向线受压缩短，由于材料是均匀连续的，所以变形也是连续的，压缩区到伸长区之间，其中必有一条纵向线的长度保持不变。若把这条纵向线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层，如图2.35（c）所示。中性层与横截面的交线称为中性轴，即图2.35（c）中的z轴。变形时梁横截面绕中性轴转动了一个角度。

（2）弯曲正应力的计算。

①正应力的分布。根据以上分析，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点：

a.中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。

b.距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。

c.在图2.35所示矩形截面梁纯弯曲的情况下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴下部各点正应力为正值。

d.正应力沿y轴线性分布，最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的梁上、下边缘处，如图2.36所示。

②正应力的计算。纯弯曲时，由于横截面上的内力只有弯矩M，所以横截面上的微内力对中性轴z的合力矩就是弯矩M，即。

由横截面上正应力的分布规律及梁的变形性质、静力学平衡方程，可以推导出梁纯弯曲时横截面上任意点的正应力的计算公式：

（2-16）

式中，——横截面上任一点处的正应力；

M——横截面上的弯矩；

y——横截面上欲求应力的点到中性轴的距离；

——横截面对中性轴的惯性矩。

由式（2-16）可以看出：中性轴上，故；时，，显然最大正应力在离中性轴最远的边缘上，由式（2-16）可得：

计算梁横截面上的最大正应力，可令

则

（2-17）

式中，称为抗弯截面系数。

梁的正应力计算公式是在纯弯曲的情况下推导出来的，但工程上的梁大都是剪力弯曲，经验证，对于梁的跨度大于截面高度的5倍（﹥5）的剪力弯曲，用此公式计算应力的误差不到5%，因此，剪力弯曲时仍应用上述公式计算正应力。

2.4.4 截面惯性矩和抗弯截面系数

截面惯性矩和抗弯截面系数，其大小不仅与截面面积的形状、尺寸有关，而且与截面面积的分布有关。

几种常用截面形状的、计算公式见表2-2，其他常用型钢的、值可以从有关工程手册的“型钢表”中查出。

2.4.5 梁的正应力强度计算

1.梁的正应力强度条件

由梁的弯曲正应力公式可知，梁弯曲时截面上的最大正应力发生在截面的上、下边缘处。对于等截面梁来说，全梁的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘处，这个截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。要使梁具有足够的强度，必须使梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力[]，即

（2-18）

材料的弯曲许用应力[]可近似用单向拉伸（压缩）时的许用应力。

2.梁的正应力强度校核

式（2-18）为梁弯曲时的强度条件，可以用来解决弯曲正应力强度计算的三类问题，即校核强度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

应注意的是，对于由塑性材料制造的梁，因材料的抗拉与抗压性能相同，即[]=[]，可以直接采用式（2-18）进行强度计算；而对于铸铁等脆性材料，由于它们的抗拉与抗压的性能不同，即[]＜[]，应对拉伸和压缩分别进行强度计算，即

（2-19）

（2-20）

式中，—受拉一侧的截面边缘点到中性轴的距离；

—受压一侧的截面边缘点到中性轴的距离。

例2.10　如图2.37所示一吊车用矩形截面钢制成，则截面高h=60mm，宽b=20mm，将其简化为一简支梁，梁长m，自重不计。若最大起重载荷为F=32kN（包括电葫芦和钢丝绳），许用应力[]=100Mpa，试校核梁的强度。

解：（1）作弯矩图求最大弯矩。电葫芦移动到梁中点时，该处产生最大弯矩。梁的受力如图2.37所示，根据载荷情况得出梁的弯矩图为折线，求各点的弯矩。，，，连接各点得弯矩图。中点所在截面为危险截面，即

（2）校核梁的强度。抗弯截面系数为：

所以强度足够。

例2.11　如图2.38所示为齿轮轴受力简图。已知齿轮C所受径向力F=6kN，齿轮D所受径向力=9kN，轴的跨度L=150mm，材料的许用应力[]=100MPa，试确定轴的直径。

解：（1）画轴的计算简图。将齿轮轴简化为受两集中力作用的简支梁AB。

（2）求支座反力。

（3）画弯矩图。由梁的受力得出梁的弯矩图为折线，求各点的弯矩：

连接各点画出弯矩，如图2-38（c）所示。得最大弯矩在截面处，kN·mm。

（4）根据强度条件确定轴的直径。设轴的直径为d，则由强度条件得：

取齿轮轴的直径d=35mm。