第1讲 一元二次方程及其解法

提分导练

提分点一 一元二次方程

【例1】（期中·南京）已知方程（m-2）×xm2+（m-3）x+1=0.

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？

（2）当m为何值时，它是一元一次方程？

提示：（1）根据一元二次方程的定义列出关于m的方程、不等式；（2）根据一元一次方程的定义应满足：①二（多）次项系数为0；②一次项系数不为0.

解答：（1）∵方程+（m-3）x+1=0为一元二次方程，

∴.

解得m=±.

∴当m为或时，方程+（m-3）x+1=0为一元二次方程；

（2）∵方程+（m-3）x+1=0为一元一次方程，

∴或.

解得m=2或m=±1.

故当m为2或±1时，方程+（m-3）x+1=0为一元一次方程．

【类题训练】

1．（期末·上海）若关于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）.

A．a≠0

B．a≠-1

C．a＞-1

D．a＜-1

2．（期中·西安）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x-（4k-1）=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k=__________.

3．（1）当a取何值时，关于x的方程（a2-1）x2-x=-ax+2是一元二次方程？（2）当a取何值时，关于x的方程（a2-1）x2-x=-ax+2是一元一次方程？

提分点二 用配方法解一元二次方程

【例2】用配方法解下列方程：

(1)3x2-5x=2;

（2）（中考·大连）x2-6x-4=0.

提示：利用配方法来求解，先将一般形式的方程化为（x±m）2=n（n≥0）的形式，然后利用开平方法求解．

解答：（1）方程两边同时除以3得，

配方得，

即，x=.

∴x1==2,x2==.

∴x1=2,x2=-.

(2)x2-6x-4=0,

移项得x2-6x=4，

配方得x2-6x+9=4+9，

即（x-3）2=13

∴x-3=.

∴x1=+3,x2=-+3.

【类题训练】

4．（中考·临沂）一元二次方程y2-y-配方后可化为（ ）.

A．

B．

C．

D．

5．（中考·益阳）规定：a⊗b=（a+b）×b.如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=__________.

6．用配方法解下列方程：

(1)x2-2x-2=0;

(2)2x2+1=3x;

(3)-x-4=0.

提分点三 一元二次方程根的判别式

【例3】（中考·北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

提示：（1）计算判别式的值得到Δ=a2+4，则可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ=b2-4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．

解答：（1）a≠0，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，

∵a2＞0,

∴Δ＞0.

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=b2-4a=0,

若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1.

【类题训练】

7．（中考·上海）下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断，正确的是（ ）.

A．有两个不相等实数根

B．有两个相等实数根

C．有且只有一个实数根

D．没有实数根

8．（模考·重庆）若关于x的一元二次方程x2-2mx+2m+1=0有两个相等的实数根，则m2-2m的值为__________.

9．（中考·成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

提分点四 用公式法解一元二次方程

【例4】用公式法解下列方程：

(1)2x2+7x=4;

(2)x2-1=.

提示：把每个方程化成一般形式，确定a，b，c的值；再计算b2-4ac的值，从而确定该方程是否有根；最后代入求根公式进行计算即可．

解答：（1）方程可变形为2x2+7x-4=0.

∵a=2,b=7,c=-4,b2-4ac=72-4×2×(-4)=81＞0,

∴.

∴x1=,x2=-4.

（2）方程可变形为=0.

∵a=1,b=,c=-1,b2-4ac=-4×1×(-1)=16＞0.

∴x=.

∴x1=+2,x2=.

【类题训练】

10．用公式法解方程：

(1)x2+x-1=0;

(2)x2-7x-18=0;

(3)2x2+7x=4;

(4)6x2+3x=(1+2x)(2+x).

提分检测

1．（期末·青岛）方程x2+mx-3x=0不含x的一次项，则m=（ ）.

A．0

B．1

C．3

D．-3

2．（期末·广州）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）.

A．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25

B．x2-2x-99=0化为（x-1）2=100

C．2t2-7t-4=0化为

D．3x2-4x-2=0化为

3．（中考·泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ）.

A．无实数根

B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3

D．有两个正根，且有一根大于3

4．（期末·青岛）已知a，b，c为△ABC的三边，关于x的一元二次方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实根，则这个三角形是（ ）.

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．不等边三角形

5．（中考·福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）.

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

6．（期中·长沙）在实数范围内定义一种运算“∗”，其运算法则为a∗b=a2-ab.根据这个法则，下列结论中正确的是__________.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①；②若a+b=0，则a∗b=b∗a；③（x+2）∗（x+1）=0是一元二次方程；④方程（x+3）∗1=1的根是x1=，x2=.

7．（期中·泰安）解下列方程：

（1）3x2+4x-1=0（用配方法）；

（2）2x（x-3）=（x-1）（x+1）（用公式法）.

8．（期末·深圳）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m-3=0总有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当m在取值范围内取最小整数时，求原方程的解．

9．（期末·南京）定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab-a；当a＜b时，a⊕b=ab+b.

（1）计算：（-2）⊕；

（2）若2x⊕（x+1）=8，求x的值．

高分必练

1．（中考·绵阳）已知a＞b＞0，且+，则=__________.

2．（自招·武汉）若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有两个相等的实数根．

试证△ABC是等边三角形．

3．（竞赛·江苏）求方程x2-|2x-1|-4=0的实根．