1.2 早期量子理论

本节我们回顾一下早期量子理论，也就是“量子”这个概念的历史。

1.2.1 两朵乌云

让我们把时钟拨回19世纪末。

经典物理学以17世纪牛顿力学作为开始，在基础理论层面，经过18世纪拉格朗日（Lagrange）和19世纪哈密顿（William Rowan Hamilton）建立的分析力学、经典力学得以完善。在现实模型层面，19世纪建立的热力学经过玻尔兹曼和约西亚· 威拉德· 吉布斯（Josiah Willard Gibbs）等人的发展成为统计物理学；18 世纪的电磁学经过19 世纪迈克尔· 法拉第（Michael Faraday）和詹姆斯· 克拉克· 麦克斯韦（James Clerk Maxwell）的发展，尤其是麦克斯韦方程组的建立，成为电动力学。至此，经典物理学已经趋于完善，以至于让当时多数物理学家觉得物理学已经趋于完善了，于是开尔文勋爵（Lord Kelvin）发表了著名的“晴朗的天空飘着两朵乌云”的论断。

开尔文勋爵把基本完善的经典物理学称作晴朗的天空，把“迈克尔逊—莫雷实验”（Michelson-Morley Experiment）和“黑体辐射瑞利—金斯”（RayleighJeans）公式的紫外发散比作两朵乌云。这两朵乌云都和光有关，也就是麦克斯韦方程组中的电磁波解，即无线电（可见光和无线电的区别只是频率不同，或者说波长不同）。

迈克尔逊—莫雷实验的初衷是为了证明“以太”的存在，即假设光在真空中传播需要的一种介质，一个绝对静止的参考系。如果“以太”存在，地球绕着太阳运动，那么太阳光在不同的季节相对地球以不同的速度照射过来，势必导致地球上测量到不同的光速。但是迈克尔逊和莫雷的光干涉实验发现，无论季节怎样变换，即地球相对太阳光无论怎样运动，他们测到的光速始终是不变的（完全符合麦克斯韦方程组的预言）。这个实验不仅否定了这种绝对静止的“以太”存在，更是完全脱离了经典力学，因为经典力学采用的是伽利略（Galilean）变换，不会允许在不同的参照系内都存在一个同样的光速。1905年，伟大的爱因斯坦选择了光速不变作为原理，摒弃了经典力学的时空观，认为时间和空间不再是绝对不变的，而是和物质运动紧密相连的，于是用洛伦兹变换取代了伽利略变换，宣告了狭义相对论的诞生，如图1-2所示。

图1-2 爱因斯坦发现狭义相对论

我们来看另一朵乌云，即黑体辐射瑞利—金斯公式的紫外发散。黑体辐射指的是一个物体如果能吸收全部照射过来的电磁波，那么它就是一个“理想黑体”。这个黑体只要具有温度，就会向四周辐射出电磁波，其频率分布是黑体温度的函数。实验发现，只要黑体的温度确定，那么黑体辐射的频率分布从绝对零度开始应该是先增后减，最大值处在黑体的温度附近，越往高频辐射越小。但如果我们从经典的统计物理出发来解释黑体辐射，就会推导出瑞利—金斯公式，它在长波的时候和实验结果比较符合，但是在短波方向就一直增加上去，和实验完全不符（紫外线指的是比可见光频率更高、波长更短的电磁波，因为紫光在可见光中是波长最短的。于是紫外线这个词引申为更短波长的电磁波）。此外，威廉· 维恩（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien）也通过实验数据总结出了维恩辐射定律，但是只在短波范围内有效，在长波范围内和实验相去甚远。这一朵乌云也暗示着必须舍弃经典物理学的某些方面。

1.2.2 普朗克和量子

1900年，德国物理学家马克斯· 普朗克（见图1-3）在《物理学年鉴》（由德国物理学会出版，当时国际最权威的物理学期刊）上发表了一篇划时代的论文，这篇论文第一次提出了“量子”的概念，即把电磁波的能量当作非连续的，而是一份一份的。对于频率为ν的电磁波，这一份能量为hν，其中，h为普朗克常数。这一份能量就是电磁波在频率ν下的最小能量。随着频率的不同，这个最小能量也不同。普朗克称这个最小能量为“量子”（Quantum）。

普朗克引入的量子概念成功解释了黑体辐射，理论公式和实验得到了完美的契合，使他成为引入量子理论的第一人，并最终获得了1918年诺贝尔物理学奖。但是普朗克没有把这一步走得更远，而是把“量子”当成了一个辅助计算的方法，并非真的认为电磁波的本质是量子化的。如普朗克常数h就来自德语Hülfe（辅助）。也许普朗克当时没有足够的胆量来放弃经典物理学。而有足够的智慧和胆量的人就是伟大的爱因斯坦。

图1-3 马克斯·普朗克（Max Planck）

1.2.3 爱因斯坦和光电效应

1905年是爱因斯坦（见图1-4）的奇迹年，当时爱因斯坦从苏黎世联邦理工大学（ETH）物理系毕业5年，一边在伯尔尼专利局工作，一边读着苏黎世大学的在职博士。这一年他在《物理学年鉴》上一连发表了5篇论文，彻底颠覆了经典物理学。这其中最重要的就是3篇建立了狭义相对论的论文，然后就是一篇用普朗克的量子假说解决了光电效应的论文。

图1-4 阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）

光电效应是一个无法用经典物理学解释的现象，就是光（电磁波）的频率必须高到某个值时，照射到某个材料上才会有电流出现。当光的频率低于这个值时，无论怎样增加光强，都不会有电流产生。

19世纪，光学中大量的干涉衍射实验使得光的波动学说一直占据上风，后来又进一步发现，麦克斯韦方程组预言的电磁波就是光。同时，19世纪末，英国物理学家汤姆逊发现了组成电流的电子，因为电流变成的阴极射线会在电场和磁场中发生偏转。对于电流来说，因为道尔顿的原子论，物理学家们一直相信微粒说，认为它是来自原子中的带电颗粒。根据电动力学，电磁波靠增加能量就可以让电子运动起来，无论如何也不会出现光电效应的频率敏感性。

爱因斯坦看到了普朗克的量子假说后，更进一步地认为，电磁波本质上就是由一份一份的能量组成的，他称为光量子，也就是光子（Photon）。每个电子一个一个地吸收光子或辐射光子。根据普朗克的量子假说E=hν，如果频率ν太小，原子中的一个电子吸收了能量E=hν的光子，这个能量不足以让这个电子跳出原子，变成自由电子组成电流。只有让电子吸收频率ν比较大的光子，电子才会跳出来变成电流，这样就完美地解释了光电效应。

爱因斯坦的光量子理论不仅说明光（电磁波）的能量可以量子化，动量也可以量子化，即p=h/λ，λ为光的波长。这个理论也让牛顿的光的微粒学说回归，统一了光的波动学说和微粒学说，即光同时具有了波动性和粒子性，称为“波粒二象性”。

爱因斯坦获得1921年诺贝尔物理学奖，他的工作就是解释光电效应，但这个工作在他的成就中要屈居狭义相对论和广义相对论之后，只能排第三位。可以说爱因斯坦是历史上唯一一位值得获三次诺贝尔奖的人，错过相对论是诺贝尔奖的遗憾，不是爱因斯坦的遗憾，他的贡献要远远超出诺贝尔奖。

1.2.4 玻尔的原子模型

1911年，卢瑟福团队实验发现原子并非之前物理学家们想象的电子镶嵌在正电荷球中那样（如同葡萄干镶嵌在面包中一样），而是正电荷集中在非常小的中心区域，大小只有原子体积的十万分之一，而电子在周围环绕着它。从经典物理学理解这个模型，会发现原子不可能稳定，因为环绕着原子核的电子会不断辐射出电磁波，从而损失能量，最后掉在原子核上。

1915年，丹麦物理学家玻尔（见图1-5）利用普朗克和爱因斯坦的理论解决了这个问题。如果电磁波是量子化的，那么电子只能在固定的轨道上运动。轨道之间有能量差，只有光子的能量满足这个能量差时，电子才会吸收它，并从一个轨道跳到另一个轨道（跃迁）。如果光子的能量不能满足这个能量差，电子就不会吸收它，保持在自己的轨道上，从而使得原子稳定。玻尔凭借他的原子模型获得了1922年诺贝尔物理学奖，获奖时间紧随爱因斯坦。

图1-5 尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）

玻尔的原子模型远称不上完美，但是他第一次把量子理论从光扩展到了物质上面。20世纪20年代，玻尔从嘉士伯啤酒公司要来大量赞助，在哥本哈根大学物理系成立了理论物理中心，用丰厚的待遇网罗全世界最优秀的年轻物理学家们来短期工作，为量子力学的最终建立立下了汗马功劳，因此大家都推举他为量子力学的领袖，本章第3节将介绍量子力学的诞生过程。为了纪念玻尔，哥本哈根大学物理系同时称为玻尔研究所，如同剑桥大学物理系同时具备卡文迪许实验室这个名称一样。

1.2.5 德布罗意的物质波和泡利的不相容原理

1923年，正在巴黎大学读博士的法国物理学家路易·维克多·德布罗意（Louis Victor de Broglie，见图1-6）发表了一系列论文，提出了“物质波”的概念。他认为既然爱因斯坦发现光具有波粒二象性，为什么不大胆一点，更进一步认为电子也具有波粒二象性，也就是说电子本身也是波，是一种物质波。这个假设可以说明玻尔原子模型中电子为什么具有一些稳定的轨道，因为这些都是电子波长的整数倍。

图1-6 路易·维克多·德布罗意（Louis Victor de Broglie）

德布罗意的假说很快被电子衍射实验证实，并获得了1929年诺贝尔物理学奖，但这不是最重要的影响。在他提出物质波假说的3年后，即1926年，薛定谔受到他的启发，写下了量子力学最著名的方程——薛定谔方程。

网上一直谣传德布罗意的博士毕业论文只有三页，这其实是一个彻底的谣言。德布罗意的博士毕业论文总共有一百多页，放在今天也不算少了。

1925年，年仅25岁的奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli，见图1-7）提出了泡利不相容原理，即在一个电子轨道中，电子的4个量子数不能完全相同。这个原理说明了为什么原子里面一个轨道最多只能占据两个电子，并且解释了原子的化学性质从何而来。但是泡利在物理学界的光芒很快就被他的同门师弟海森堡掩盖了，因为那一年，正好是量子力学诞生的时候，而泡利不相容原理仅仅是量子力学的一个推论。

图1-7 沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）