命题III.33

给定一条弦，可以作出它所对的圆周角等于已知角。

设：AB为给定的线段，∠C为指定的角。

求作：在线段AB上作出弓形使其角等于∠C。∠C可以是锐角、钝角和直角。

先假设它为锐角。在直线AB上的点A上作∠BAD等于∠C。于是：∠BAD也是锐角（命题I.23）。

作AE垂直于DA，在F点上平分AB，从F点作FG垂直于AB，连接GB（命题I.10、I.12）。

因为AF等于FB，而FG是公共边，AF、FG分别等于BF、FG，且∠AFG等于∠BFG，所以：第三边AG等于第三边BG（命题I.4）。

所以：以G为圆心和GA为半径作圆ABE，连接EB，因为AD是A点延长线，过直径AE的尾点，作AD垂直于AE。所以：AD是圆ABE的切线（命题III.16推论）。

既然：AD是圆ABE的切线，在切点A上作线段AB经过圆ABE；∠DAB等于相对弓形上的∠AEB（命题III.32）。

又，∠DAB等于∠C，所以：∠C也等于∠AEB。

所以：在给定的线段AB上作出包含∠AEB的弓形AEB，它等于∠C。

进一步，假定∠C为直角，在线段AB上作出弓形使它所含的角等于∠C。

设：作∠BAD，使之等于∠C，F为AB的平分点，以F为圆心，FA或FB为半径作圆AEB（命题I.23，I.10）。

于是：直线AD切于圆ABE，因为AD垂直于AB（命题III.16推论）。

又，∠BAD等于弓形AEB上的角，因为后者也是直角，是半圆上的角（命题III.31）。

又，∠BAD也等于∠C。所以：∠AEB也等于∠C。所以：在AB上作出了包含等于∠C的弓形AEB。

进一步，假定∠C为钝角。

在线段AB的A点上作∠BAD等于∠C，作AE垂直于AD，F点平分线段AB，作FG垂直于AB，连接GB（命题I.23、I.11、I.12）。

那么因为：AF等于FB，FG是公共边，AF、FG分别等于BF、FG，∠AFG等于∠BFG。

所以：第三边AG等于第三边BG（命题I.4）。

所以：以G为圆心，GA为半径的圆作出来了，它也经过B，即AEB。

因为AD与线段AE在尾点构成直角，所以：AD是圆AEB的切线（命题III.16推论）。

又，AB过切点A经过圆。所以：∠BAD等于作在相对弓形AHB上的角（命题III.32）。

又，∠BAD等于∠C。所以：弓形AHB上的角也等于∠C。

所以：在给定线段AB上，弓形AHB作出，其上的角等于∠C。

所以：给定一条弦，可以作出它所对的圆周角等于已知角。

证完

注解

这一命题在《原本》的其他地方未再被利用。