§2-7 轴向拉伸（压缩）时杆的变形·虎克定律
在§2-2中曾指出，拉（压）杆的主要变形为纵向伸长（缩短），通常称为纵向变形。此外，由试验可知，当杆沿纵向伸长（缩短）时，其横向尺寸还会有缩小（增大），称为横向变形。
一、纵向变形、线应变的概念
首先以拉杆为例。设拉杆的原长为L，在受轴向拉力F作用而伸长后，其长度为L1[图2-17（a）]，杆的纵向伸长为
ΔL=L1-L
ΔL称为杆的绝对伸长，其值为正。
图 2-17
ΔL反映了杆的总的纵向变形量。对于均匀伸长的拉杆，其单位长度的伸长为
，称为线应变，用ε表示，即
ε是一个无量纲的量，其正负号与ΔL的相同，即拉杆的ε为正。
上述概念同样适用于压杆[图2-17（b）]，只是ΔL和ε均为负号。
二、虎克定律
现在讨论杆件的变形与其所受外力之间的关系。这种关系与材料的力学性能有关，只能通过试验获得。一般工程材料当正应力σ未超过比例极限时，杆的伸长（缩短）与外力F及杆的原长L成正比，而与横截面面积A成反比，即
引入比例参数E，则有
由于F=FN，故上式可写成
这一比例关系，称为虎克定律。应用上面两式即可根据外力F或轴力FN来求杆的伸长或缩短。ΔL的正负号与FN的正负号一致。
从式（2-8）、式（2-9a）和式（2-9b），可得
σ=Eε （2-10）
这是虎克定律的另一形式，它比公式（2-9）具有更普遍的意义。这一形式的虎克定律可简述如下：当应力未超过比例极限值时，正应力与线应变成正比。
比例常数E称为弹性模量，它说明材料抵抗拉伸（压缩）变形的能力，其值随材料而异，是由试验测定的。由于ε为一无量纲的量，故E与σ有相同的量纲，通常采用的单位为MPa或GPa，1GPa=109Pa。
公式（2-9a）、（2-9b）中的EA称为杆的抗拉（压）刚度。对于长度和受力均相同的拉（压）杆，其抗拉（压）刚度愈大，则杆的变形愈小。它反映了杆抵抗拉伸（压缩）变形的能力。
虎克定律是非常重要的定律，许多问题是以它为基础而得到解决的。应注意：它成立的前提是正应力σ不超过材料的比例极限。
三、横向变形
仍先以拉杆为例。前面曾提到，拉杆在纵向伸长的同时，还产生横向缩小，由图2-17（a）可知，拉杆的横向缩小量为
Δd=d1-d （a）
式中的d、d1分别为变形前、后杆的横向尺寸，Δd为负号。
与纵向线应变ε的概念相似，拉杆的横向线应变ε′为
式（a）及式（b）也适用于压杆[图2-17（b）]，但Δd及ε′均为正号。
试验指出，当应力σ不超过材料的比例极限时，杆件的横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为一常数，即
μ称为横向变形系数或泊松比。它是一个无量纲的量，其值随材料而异，可由试验测定。由于ε与ε′的正、负号总是相反的，故上式又可写为
ε′=-με （2-11a）
若将公式（2-10）中的ε代入上式，则得
弹性模量E和横向变形系数μ都是材料的弹性常数。表2-2中给出了几种常用材料的E和μ的约值。
表2-2 常用材料的E、μ、G值
【例2-6】 一钢制阶梯状杆如图2-18（a）所示。各段的截面积分别为AAB=1600mm2，ABC=625mm2和ACD=900mm2。弹性模量E=200GPa。试求：（1）各杆内的轴力；（2）杆的最大工作应力；（3）杆的总长度改变。
图 2-18
解：（1）求轴力
首先求AB段任一横截面上的轴力。应用截面法，将杆沿AB段内任一横截面1-1截开，研究左段的平衡，假设轴力FN，AB为拉力[图2-18（b）]，由平衡方程∑Fx=0，即FN，AB-F1=0，得
FN，AB=F1=120kN
同理，由截开的各段杆可求得BC段内任一横截面2-2[图2-18（d）]和CD段内任一横截面3-3[图2-18（c）]上的轴力分别为
FN，BC=-100kN， FN，CD=160kN
（2）求最大工作应力
由于杆是阶梯状的，各段的横截面面积不等，故须先分段计算其正应力：
由此可见，杆的最大工作应力在CD段内，其值为σmax=178MPa。
（3）求杆的总长度改变
可用公式（2-9b）来进行计算。但在应用该式时，必须在长为L的一段内，FN和EA不变。因此，对于本题，应分三段进行计算：
由此可计算出杆的总长度改变为
【例2-7】 图2-19所示三角架AB和AC杆的弹性模量E=200GPa。各杆长度及横截面积，参照例2-5。求当F=130kN时节点A的位移。
图 2-19
解：例2-5已经求得两杆轴力FN1=2F（拉），FN2=1.732F（压）。为求A点位移，先假想取消A处铰链，在A点沿AB方向施加拉力FN1和沿AC方向施加压力FN2来代替铰链的作用。这时AB杆在FN1作用下伸长，其A点沿BA移到A1；AC杆在FN2作用下缩短，其A点沿AC移到A2，见图2-19（b）
然后再将变形后的A1B与A2C重新安装在一起。为此，以B为圆心，以A1B为半径作一圆弧；再以C为圆心，以A2C为半径作一圆弧。这两圆弧的交点A3，就是A点位移后的位置。因变形甚小，微小圆弧可用垂线代替，即画A1A3⊥A1B，A2A3⊥A2C，此两垂线交点即为A3。作A1A3和AA2的沿长线相交于A′点，则A2A′=A2A+AA′=Δl2+Δl1/cos30°。
A点水平位移等于2杆的压缩量，即ΔAH=AA2=Δl2。由直角三角形A2A3A′，得到A点垂直位移为
ΔAV=A2A3=A2A′/tan30°=Δl2/tan30°+Δl1/sin30°
再由直角三角形AA2A3得到A点的总位移Δ=AA3= 
。