§4-3　圆轴扭转时的应力与变形

对于实心圆轴，不能像薄壁筒扭转那样，认为截面上各处切应力数值相等，所以只用静力学条件（即横截面上的内力组成扭矩）不可能求出应力分布规律，因此所研究的问题属于静不定性质，需要首先通过试验观察圆轴扭转变形，并对其内部变形作出假设。如在圆轴的表面画上若干条等间距的纵向线和圆周线，形成矩形网格，扭转后可观察到与薄壁筒相同的变形现象[图4-8（a）]。根据表层现象可以做出关于内部变形的假设。由各圆周线的大小、形状及间距均不变，可以设想，在扭转过程中圆轴的各个横截面像刚性圆盘一样绕轴线x发生角度不同的转动，即变形前轴的圆形横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面，且半径仍为直线，这个设想叫刚性平面假设。根据此假设得到的应力、变形公式已为试验所证实，所以这一假设是正确的。

下面，综合考虑变形、物理和静力学这三方面来建立受扭圆轴的应力和变形公式。

一、变形几何关系

从圆轴中取出相距为dx的一小段[图4-8（b）]，图中2-2截面相对于1-1截面转动了dφ角，半径OA转到OA′位置。如将圆轴看成由无数薄壁圆筒组成，则在此微段中，组成圆轴的所有薄壁筒的扭角dφ均相同，所不同的只是各筒半径不同。设其中任一筒的半径为ρ，切应变为γρ，根据图4-8（b）可得γρ与ρ的关系式为

式中θ=dφ/dx表示沿轴线方向的单位长度扭转角。在常扭矩段该值是个常数。因此，切应变γρ随着薄壁圆筒半径ρ的增大而增大。

二、物理关系

根据上面的讨论，可知实心圆轴的横截面上只有切应力作用，并且切应力方向与半径方向垂直。根据剪切虎克定律，可得横截面上任一半径ρ处的切应力

τρ=Gγρ=Gρθ　　　（a）

式（a）表明圆轴扭转时，横截面上的切应力随半径ρ按直线变化，在横截面的周边各点处切应力最大（图4-9）。

三、静力学关系

式（a）中单位长度的扭角θ可利用静力平衡关系来求。设在距圆心为ρ处取一微面积dA（图4-10），内力τρdA对x轴之矩为τρρdA。将所有内力矩求和即得截面上的扭矩MT，利用式（a）代入，并考虑G、θ为常数，则得

式中 是与圆截面有关的一个几何量，以符号Ip表示，即

Ip称为圆截面对O点的极惯性矩。于是式（b）可写为MT=GθIp，由此得单位长度扭角为

θ的单位为rad/m。将式（4-7）代入式（a）得到圆轴扭转时横截面上的切应力公式为

显然，截面上的最大切应力发生在截面周边各点，其值为

引入符号Wp=Ip/R，Wp称之为抗扭截面系数，于是上式改写为

相距为l的两横截面间的相对扭转角为

如相距l的两截面间MT、G、Ip均不变，则有

式中GIp称为圆轴的抗扭刚度，该值愈大，扭角φ愈小。

上述得到的应力及变形公式对空心圆轴也适用，只是空心圆轴的极惯性矩与实心圆轴的不同。此外，上述公式只在弹性范围适用，因为在推导公式时引用了剪切虎克定律。

对于实心圆截面和空心圆截面，抗扭刚度和抗扭截面系数计算如下。

在如图4-11（a）所示的实心圆截面内取环形微面积dA=2πρdρ，代入式（4-6）得

由此求出

对于空心圆截面[图4-11（b）]，同理可得出

式中α=d/D，D、d分别为空心圆截面的外径和内径。