7.1　数列

本节重点知识：

1.数列的概念.

2.数列的表示法.

3.数列的通项公式.

7.1.1　数列的概念

引例　我国有用十二生肖纪年的习俗，每年都用一种动物来命名，12年轮回一次.2011年（农历辛卯年）是21世纪的第一个兔年，请列出21世纪所有兔年的年份.

分析　由于12年就轮回一次，所以21世纪的第二个兔年的年份是

2011+12=2023

21世纪的第三个兔年的年份是

2011+12×2=2035，

……

21世纪第八个兔年的年份是

2011+12×7=2095.

把21世纪所有兔年的年份排成一列，得到

2011，2023，2035，2047，2059，2071，2083，2095.　　（1）

像（1）这样按一定次序排列的一列数，称做数列.

定义　按一定次序排列的一列数，称做数列.在数列中的每一个数称做这个数列的项，各项依次称做这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项.比如，2011是数列（1）的第1项，2095是数列（1）的第8项.

我们还可以举出一些数列的例子，例如，大于2小于10的自然数排成一列

3，4，5，6，7，8，9；　　（2）

正奇数从小到大依次排成一列

1，3，5，7，9，…；　　（3）

正整数的倒数排成一列

-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成一列

-1，1，-1，1，-1，…；　　（5）

无穷多个1排成一列

1，1，1，1，1，1，…；（6）

这些都是数列.

项数有限的数列称做有穷数列，项数无限的数列称做无穷数列.例如上面数列（1）、（2）是有穷数列，数列（3）～（6）是无穷数列.

想一想

（1）请你举出几个实际生活中的数列的例子.

（2）根据数列的定义判断，下面数的排列是数列吗？

①0，1，0，1，0，1.

②2，2，2.

（3）根据数列的定义，判断下面各题中的两个数列是否是相同的数列.

①1，2，3，…和0，1，2，3，…；

②1，3，5，7，9和1，3，5，7，9，…；

7.1.2　数列的表示法

数列从第1项开始，按顺序与正整数对应.所以数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，…，

其中an是数列的第n项，称做数列的通项，n称做an的序号.并把数列简记为{an}.例如，把数列

2，4，6，8，…，2n，…，

简记为{2n}.把数列

简记为

7.1.3　数列的通项公式

如果an（n=1，2，3，…）与n之间的关系可用

an=f（n）

来表示，那么这个关系式称做这个数列的通项公式.例如：

把正整数从小到大排成数列1，2，3，…的通项公式是

an=n，

把正奇数从小到大排成数列1，3，5，…的通项公式是

an=2n-1.

想一想

下面各数列与正整数列有着密切关系，请分别写出它们的通项公式：

（1）4，5，6，7，8，…；

（2）20，21，22，23，24，…；

（3）-1，-2，-3，-4，-5，…；

（4）0，1，2，3，4，…；

如果已知一个数列的通项公式，只要依次用正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可以求出数列中的各项.

例1　根据下面数列{an}的通项公式，分别写出它们的前5项与第20项：

（2）an=（-1）n（2n+1）.

解　（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，20，可得到

（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，20，可得到

a1=-3，a2=5，a3=-7，a4=9，a5=-11，a20=41.

例2　写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

解　（1）数列前4项的分母都是序号加上1，分子都与序号相同，所以通项公式是

（2）数列前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是

（3）数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是

练习

1.根据下列数列{an}的通项公式，说出它的前5项（口答）：

（1）an=n3；　　（2）an=n（n+2）；

（3）an=5×（-1）n+1；　　（4）an=1+（-1）n

2.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出它的通项公式：

（1）2，4，（　），8，10，（　），14，…；an=_________；

（2）2，4，（　），16，32，（　），128，…；an=_________；

（3）（　），4，9，16，25，（　），49，…；an=_________；

（5）3，（　），1，0，-1，（　），-3，…；an=_________.

3.题组训练：

写出数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：

（1）0，1，0，1，0，…；

（2）1，3，5，7，9，…；

（3）-1，2，-3，4，-5，…