7.2　等差数列及其通项公式

本节重点知识

1.等差数列.

2.等差数列通项公式.

3.等差中项.

4.等差数列前n项和.

7.2.1　等差数列

观察下面数列排列次序的特点：

（1）4，5，6，7，8，9，10，…；

（2）10，9，8，7，6，5，4，…

我们可以发现，从第2项起数列（1）的每一项都比它的前一项多1；数列（2）的每一项都比它的前一项少1；也就是说数列（1）和（2）从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.

定义　如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，从它的第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即

a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，

则这个数列称做等差数列，这个常数称做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示.例如，数列2，4，6，8，…，2n，…就是等差数列，它的公差d=2.

练习

1.上面数列（1）和（2）都是等差数列，它们的公差分别是_________和_________.

2.列举两个公差是零的数列，并说出它们的特点.

3.如果等差数列a1，a2，a3，…，an的公差是d，那么等差数列an，an-1，…，a2，a1的公差是多少？

4.说出下列等差数列的公差：

（1）2，3，4，5，…；　　（2）9，7，5，3，…；

（3）2，5，8，11，…；　　（4）-3，-7，-11，-15，…；

（5）8，7，6，5，…；　　（6）-10，-7，-4，-1，…

7.2.2　等差数列通项公式

已知一个数列a1，a2，a3，…，an，…是等差数列，它的公差是d，如何算出它的任意项an呢？

由等差数列定义可知，

a2=a1+d，

a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，

a5=a4+d=（a1+3d）+d=a1+4d，

……

由此可知，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是

an=a1+（n-1）d

例如，一个等差数列{an}的首项是3，公差是-2，那么将它们代入上面的公式就得到这个数列的通项公式

an=3+（n-1）·（-2）

即an=5-2n.

在等差数列通项公式中，有a1，an，d和n四个变量，知道其中三个，就可以求出第四个.

例1　指出下面数列中的等差数列，并求出公差和通项公式：

（1）1，5，9，13，17，…；

（2）1，4，16，64，256，…；

（3）-1，-1，-1，-1，-1，…；

分析　如果一个数列是等差数列，必须满足等差数列的定义，即从第2项起，每一项与它的前一项的差等同于同一个常数，经验算（1），（3），（6）是等差数列.

解　（1）因为公差d=4，所以通项公式an=1+（n-1）·4，

即an=4n-3；

（3）因为公差d=0，所以通项公式an=-1；

（6）因为公差所以通项公式

例2　求等差数列8，5，2，…的第20项.

分析　因为等差数列的a1，a2，a3是已知的，又因为公差d=a2-a1，知道了a1，d和n，所以利用通项公式an=a1+（n-1）d就可以求出这个等差数列的第20项.

解　a1=8，d=5-8=-3，n=20，

所以a20=8+（20-1）×（-3）=-49.

例3　等差数列-5，-8，-11，…的第几项是-302？

分析　仿照例1可先求出公差d，由于a1，d和an是已知的，利用通项公式求n.

解　因为a1=-5，d=-8-（-5）=-3，an=-302，

所以an=a1+（n-1）d

　　　=-5+（n-1）×（-3）

　　　=-3n-2

即-302=-3n-2.

解得n=100.

所以这个数列的第100项是-302.

例4　已知一个等差数列的第3项是8，第6项是17，求它的第11项.

分析　本题应首先求出这个等差数列，才能求第11项，即应先求出a1和d.可以采用列方程组的方法求出，但这需要两个独立条件，而a3=8，a6=17恰好是两个独立的条件.

解　设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，有

整理，得

解得

因此a11=2+（11-1）×3=32.

所以第11项是32.

练一练

在等差数列中，根据下列条件，求公差d：

（1）a3=6，a7=14；

（2）a7=-10，a20=3；

（4）a10=30，a30=10；

（5）a6=11，a1=1；

（6）b20=20，b30=30.

例5　已知三个数成等差数列，它们的和为15，它们的积为80，求这三个数.

分析　如果已知三个数成等差数列，并且知道它们的和，可将这三个数表示为a-d，a，a+d，其中d是公差，运算时容易简化.这是一个重要的方法，本题就可以采用这种方法设置未知数.

解　由于三个数成等差数列，则可设这三个数为a-d，a，a+d（公差为d）.

因为（a-d）+a+（a+d）=15，

所以a=5.

由此可知所求的三个数为5-d，5，5+d.

又因为（5-d）×5×（5+d）=80，

所以d=±3.

因此所求的三个数为2，5，8或8，5，2.

练一练

已知三个数成等差数列，和是36，且第一个数与第三个数的乘积是108，求这三个数.

解　根据三个数成等差数列，且和是36，则可设这三个数为_________①.

因为_________②=36.

所以a=_________③.

即所求的三个数为__________________④.

又因为_________⑤=108，

所以d=_________⑥.

因此所求的三个数为_________⑦.

答案　①a-d，a，a+d（d是公差）；②a-d+a+a+d；

③12；④12-d，12，12+d；⑤（12-d）·（12+d）；

⑥d=±6；⑦6，12，18或18，12，6.

练习

1.填空题（求下列各等差数列的公差）：

（1）11，7，3，…，则d=_________；

（2）1，0，…，则d=_________；

2.在等差数列{an}中：

（1）a7=8，求a1；

（2）a1=10，d=-2，求a20；

（3）a1=12，a6=27，求d.

3.题组训练：

在等差数列{an}中，计算：

（1）a3=5，a8=20，求a25；

（2）a3=15，a6=9，求a9；

（3）a4=7，a7=4，求a11；

（4）a5=12，a12=5，求a17.

7.2.3　等差中项

一般地，如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A称做a与b的等差中项.

如果A是a与b的等差中项，则

A-a=b-A，

所以

这就表明两个数的等差中项就是它们的算数平均值.

在等差数列a1，a2，a3，…，an，…中，

这就是说，在等差数列中，从第2项起，每一项（有限等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.

例1　在3与7之间插入一个数，使它与这两个数成等差数列，求插入的这个数.

分析　本题所求的数就是已知数3与7的等差中项，用等差中项公式可以求出.

解　设插入的数是A，则A-3=7-A，即2A=3+7，

所以插入的数是5.

例2　在6和30之间插入三个数，使它们与这两个数成等差数列，求这三个数.

分析　本题可考虑使用两种方法求解.解法1，因为在6和30之间插入三个数共五项，第三项可看成首末两项的等差中项，第二项是第一、第三的等差中项，第四项是第三、五项的等差中项，通过使用等差中项公式可求出这三个数.解法2，是把6看成a1，由于插入了三个数，把30看成a5，于是能求出公差d，然后再分别求这个等差数列的第二、第三、第四项，便可求出这三个数.

解法1　设插入的三个数为x，y，z，则6，x，y，z，30成等差数列，显然，y是6，30的等差中项，所以同样x是6，18的等差中项，z是18，30的等差中项.

因此所求的三个数为12，18，24.

解法2　设插入的三个数为x，y，z，则6，x，y，z，30成等差数列.显然有

a1=6，a5=30.

所以a5=6+4d（d是公差）

x=6+6=12，y=12+6=18，z=18+6=24，

因此所求的三个数为12，18，24.

想一想

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的_________.

（2）在等差数列{an}中，a7是不是a4与a10的等差中项？

练习

1.求下列各组数的等差中项：

（1）732与-136；

2.若和x的等差中项是5，又x和3y+2的等差中项是7，求x，y.

3.在-1和7之间插入三个数，使它们与这两个数成等差数列，求这三个数.

7.2.4　等差数列前n项和

要计算形状如图7-1所示的一堆钢管总数，也就是求下面6个数：5，6，7，8，9，10的和.当然依次相加可以算出它的结果，但是，如果层数很多，这样求和就非常麻烦.现在我们设想在这堆钢管的旁边倒放着同样一堆钢管，如图7-2所示.

从图7-2中可以看出每层的钢管数都相等，即

5+10=6+9=7+8=…=10+5=15.

由于共有6层，两堆钢管的总数是（5+10）×6，因此所求的钢管总数是

通过上面的具体例子，我们从分析等差数列的公差出发，利用“消去中间项”的基本思想，找出求和的简单方法.

一般地，设等差数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn，

即Sn=a1+a2+a3+…+an.

根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成

Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d].　　（1）

把（1）式中项的次序反过来，Sn又可以写成

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an-（n-1）d].　　（2）

把（1），（2）两式的两边分别相加，得

由此得到等差数列{an}的前n项和公式

由于an=a1+（n-1）d，所以Sn又可以用a1，d，n表示成

上面两个求和公式给出了等差数列的a1，an，d，n，Sn之间的关系.并且知道其中的三个量就可以通过前n项和公式及通项公式求出另外两个量.

想一想

前n项和公式第一种形式与我们学过的梯形面积公式有什么相似之处？

例1　在等差数列{an}中：

（1）已知a1=5，a10=95，求S10；

（2）已知a1=3，求S10.

分析　（1）由已知条件知，应选择公式求解.

（2）由已知条件知，应选择公式求解.

解　（1）因为a1=5，a10=95，n=10，

（2）因为a1=3，n=10，

例2　在等差数列{an}中，d=2，an=1，Sn=-8，求n.

分析　根据已知条件可知，不能单独使用通项公式或前n项和公式求n，因此需采用列方程组的方法求解.

解　把d=2，an=1，Sn=-8分别代入等差数列的通项公式和前n项和公式，

由（3）式得a1=3-2n.　　（5）

把（5）式代入（4）式，并化简，得n2-2n-8=0.

所以n=4，n=-2.

由于项数不能是负整数，应把n=-2舍去，所以n=4.

说明　上述解法是用an=a1+（n-1）d和组成方程组求解.另外也可以用an=a1+（n-1）d和或和组成方程组求解.后两种方法请同学们自己完成.

练一练

求下列等差数列的和：

（1）1+4+7+…+28；　（2）2+5+8+…+29；　（3）3+6+9+…+30.

练习

1.填空题（根据下列等差数列{an}的条件，写出相应的Sn）：

（1）a1=1，a10=10，S10=_________；

（2）a1=50，d=-2，S25=_________；

（3）a1=4，d=-3，S16=_________.

2.填空题：

（1）正整数列中前n个数的和，Sn=_________；

（2）正整数列中前n个偶数的和，Sn=_________；

（3）正整数列中前n个奇数的和，Sn=_________.

3.题组训练：

（1）已知等差数列an=5n-2，则a5+a8=_________，a3+a10=_________，a9+a4=_________.

（2）已知等差数列an=6n+3，则a1+a2+a3=_________，a4+a5+a6=_________，a7+a8+a9=_________.

（3）在等差数列{an}中，已知三个量，将未知的量填入空格中：