2.6　长大直径桥梁桩基动力荷载传递机理

桩基在使用过程中经常承受静荷载和可能的动荷载，尤其是铁路和公路桥梁主要承受交通车辆的作用，其桩基础也会经常受到动荷载的作用，另外，在检验桩身质量、单桩静承载力的动力测试中也涉及桩的动力特性问题。因此，研究桩的动力性状具有重要的现实意义。桩的轴向振动理论是各种动力试桩方法的理论基础，对动力作用下桩基础的设计也具有重要的意义。几十年来，很多学者围绕此课题展开了广泛的研究，并得出许多重要的结论。本节在考虑了桩侧土分层和桩端土的弹性支承和阻尼作用基础上，进一步考虑了桩的材料阻尼系数对振动的影响。利用拉普拉斯变换和阻抗函数的传递性，以及相邻桩土层分界面两侧桩身位移和截面力连续性条件，求出了桩顶阻抗函数的解析解，然后利用卷积定理和傅立叶逆变换求出半正弦荷载激励作用下桩顶速度响应的半解析解，最后分析了土性参数和桩的材料阻尼对基桩桩顶速度频域响应的影响。

2.6.1　单桩纵向动力响应计算模型

（1）基本假定

单桩的计算模型如图2-12所示。桩身的主要参数有弹性模量E、密度ρ、截面积A、长度l和材料阻尼系数cp。桩侧土的主要特征参数有桩侧弹性系数ki和阻尼系数ci，桩端弹性系数kb，和阻尼系数cb。基本假定如下：

①桩为有限长等截面均质杆，考虑桩身材料阻尼系数的影响；②桩处于分层均质土中，每层土对桩的作用简化为分布式文克尔线性弹簧ki和阻尼系数ci并联耦合方式，同一层土中动力参数相同，土层总数为n，自下而上编号为1，2，…，n，土层厚度为h1，h2，…，hn，桩底土对桩的作用简化为线性弹簧kb和阻尼系数cb耦合方式；③纵向振动时，桩与土之间仅发生线性变形；④桩长尺寸远大于桩径尺寸；⑤桩土纵向振动时，桩周土水平和径向位移可忽略。

（2）动力模型

动力荷载作用下，基桩的动力响应取决于土的动力特性、桩的受力机理和桩土之间相互作用。而土的动力特性在桩基的动力分析中极其重要，如何确定土的动力特性参数（动刚度和动阻尼）是土动力学的一个重要课题，许多学者对此进行了长期的研究，并取得了很多成果。Winkler模型法是现有计算桩土动力相互作用的最简单有效的工程设计方法之一，它用分布在桩体周围独立的弹簧和阻尼器来模拟由于桩的运动而产生的土的动反力。尽管此模型只能近似模拟桩土相互作用，但是其物理概念清楚，计算量小，并且给出的解答与精确解非常接近，因此易于被工程界所接受。

Novak根据弹性动力学理论推导了桩侧土的刚度系数和阻尼系数表达式，Rausche（1984）在Novak等研究的基础上给出了更为简洁方便的表达式：

式中　ks、cs——分别是桩侧土的刚度系数和阻尼系数；

Gs——土的剪切模量；

r0——桩的半径；

ρs——土的密度。

Lysmer和Richart（1996）根据弹性半空间理论推导出桩端土的刚度系数和阻尼系数表达式：

式中　kb、cb——桩端土的刚度系数和阻尼系数；

vs——土的泊松比。

取出第i层土中一个长度为dx的桩身微单元体，作动力平衡分析得到基本方程如下：

式中，u（x，t）表示桩身质点位移，令，则式（2-30）可简化为：

桩的边界条件为：

2.6.2　单桩动力响应计算

首先介绍拉普拉斯变换定义：

式中　s——复参数，F（s）=L[f（t）]。

若以第一层土中桩单元为研究对象，并假定第二层土对第1段桩上截面的作用力为f1（t），则第段桩上截面处的边界条件为：

桩的初始条件为：

对振动方程式、边界条件式并根据方程式进行拉普拉斯变换，得：

令，则式（2-39）可简化为：

解的形式为：　　U1=N1cos（λ1x）+M1sin（λ1x）　　（2-40）

这样就可以得到第一层土桩单元上截面处位移阻抗函数为：

式中　 。

然后再取第二层土中的桩单元为研究对象，根据相邻桩土层分界面两侧的桩身位移和截面力连续性条件，可得到第2段桩单元下截面处的边界条件，见式（2-42）。

ui（Hi，t）=ui+1（Hi，t）　　（i=1，2，L，n）　　（2-43）

并假定第3段桩对第2段桩上截面处的作用力为f2（t），则得到第2段桩上截面处的边界条件：

根据拉普拉斯变换方程，对基本方程和边界条件进行拉普拉斯变换。

令，根据上式可求出第2段桩单元上截面x=H2处位移阻抗函数为：

式中　 。

根据位移阻抗的传递性，依次递推可求得x=0处土层桩段的位移阻抗函数：

式中　 ；

P（s）=L[p（t）]；

根据桩顶位移阻抗函数式，可得到桩顶位移响应函数：

相应的桩顶速度响应函数是：

设s=iω（i2=-1，ω为角频率），由上式可得到速度频率响应：

根据傅立叶变换的性质，由式（2-45）可求得单位脉冲激励的速度响应：

由卷积定理，桩顶在任意激励f（t）[F（iω）为f（t）的傅立叶变换]，桩顶速度响应为：

v（t）=f（t）·h（t）=IFT[F（iω）·H（iω）]　　（2-54）

（1）稳态正弦激振时桩顶动力响应

当在桩顶施加正弦激励f（t）=Qmaxsin（θt），（t∈0，+∞），根据拉普拉斯变换，则：

式中　Qmax——加载的幅值；

θ——激振力角频率。

利用分部积分，可得：

所以：

由式（2-50）可求得正弦激励作用下桩顶速度响应：

（2）半正弦脉冲激励时桩顶动力响应

当桩顶输入半正弦脉冲激励，（t∈0，T），T为脉冲宽度。

式中　Qmax——加载的幅值。

由式（2-53）可求得半正弦脉冲激励作用下桩顶速度响应：

任意土层中桩顶速度的频域和时域动力响应，可根据上面公式推导的过程，用Matlab编程计算。