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2.8.2 误差的方和根合成公式
当各直接测定量的误差为纯粹的随机误差,且标准差为已知时,可以推导出误差的方和根公式。
设为了求间接测定量的结果,对各直接测定量分别进行了N次等精度测定。由误差传递的基本公式(2-25)可知,第i次测量的间接测定量误差为
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两边平方,得
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对N次测量所得到的间接测定量误差的平方求和后,注意到,如果x1,x2,…,xm是相互独立的量,当n→∞时,式(2-27)右边的非平方项的和为零。于是
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上式两边除以N,再结合标准差的定义式(2-13),有
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这就是误差的方和根公式,又称随机误差传递公式。
由上面的误差方和根合成公式的推导过程,再比较式(2-25)和式(2-28),不难看出,将式(2-25)中的记号“d”改为“σ”,然后将右边各项分别平方,再加和并开平方,即得到式(2-28)。实际上,这就是求一个函数的方和根合成公式的全过程。
【例2-4】 求对数函数y=lnx的误差的方和根合成公式。
解: 求微分得
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所以
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由例2-4可以看出,如果y只是一个直接测定量x的函数,则误差的方和根合成公式(2-28)可简化为
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【例2-5】 求函数误差的方和根合成公式。
解: 将原方程两边取对数后再求全微分,得
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所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00043003.jpg?sign=1734424589-RH38uy6NtccmvwHSAVF557P46FkK7H9o-0-6db64a41b26c6737d72dd1a87d76b796)
或者直接由上面第二式写成
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【例2-6】 求函数y=xw的误差方和根合成公式。
解: lny=wlnx
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所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00043006.jpg?sign=1734424589-W2ZG2l4h7vElQI0ZPWFeo2Ulw7nUuFXl-0-6e77b7a820ca205afa9726d046f25c0f)