2.3 逐点比较法的直线和圆弧的插补原理

逐点比较法的直线和圆弧的插补原理适用于开环系统。采用步进电动机驱动，每个时刻只有一个坐标轴运动。运动每走一步就与设定轨迹比较一下，以确定下一步的走向，从而逼近设定的轨迹。

逐点比较法插补原理可分为4个节拍。

①偏差判别→判别运动点是否偏离设定轨迹及偏离程度。

②驱动→根据①的结果运动点向逼近设定轨迹方向前进一步。

③偏差计算→运动到新点计算新的偏差。

④终点判别→是否到达轨迹终点，若没有到达终点返回到①节拍，若到终点则停止。

步进电动机驱动实现的轨迹实际是折线，与设定轨迹存在误差，其最大误差为脉冲当量。

2.3.1 逐点比较法插补原理

1. 动点运动方向

如图2-2所示，设（x,y）为直线OB上的点，则直线方程为

式中：xe，ye——插补直线的终点坐标。

根据式（2-1），取函数F

式（2-2）的值被称为“偏差函数”。

如图2-2所示，M（xi,yi）为步进电动机驱动实现运动轨迹上的点，也被称为“动点”。该动点可以在直线上，也可以在直线的上方或者下方，即动点轨迹与直线OB的关系有3种情形。

（1）动点在直线的上方：F=xeyi-xiye﹥0，或F﹥0。

（2）动点在直线上：F=0。

（3）动点在直线的下方：F﹤0。

因此，根据判别式偏差函数的大小，可决定下一步是x轴上的还是y轴上的步进电动机工作。

如图2-3所示，动点的运动方向可规定为：

当F≥0时，表明动点在直线的上方或在直线上，应沿+x方向走一步（即+x方向走一个脉冲当量）；当F﹤0时，表明动点在直线的下方，应沿+y方向走一步（即沿+y方向走一个脉冲当量）。

为什么这么规定？可用图2-3所示的动点运动方向加以说明（注：实际计算中所有坐标值（xe和ye）均取脉冲数）。

如图2-3所示，点在直线上方和下方各有4个可以运动的方向，显然上y+、上x-、下x+、下y-运动偏离设定的轨迹；只有上x+和下y+使合成运动朝终点目标方向；其他组合会产生振荡或与终点目标方向相反。点在直线上时沿+x和+y均可。

2. 偏差计算公式

步进电动机每走一步，都要重新计算偏差函数，以便确定下一步动点的运动方向。为了简化计算，可以采用递推公式的方法来计算偏差。

采用递推公式计算偏差，方法如下。

向+x方向走一步，则xi+1=xi+1

向+y方向走一步，则yi+1=yi+1，即

上述式（2-3）和式（2-4）被称为偏差计算的递推公式，即使用前一次计算的偏差值和终点值，只做一次加（或减）法便可得到新的偏差值，相对采用式（2-2）来计算偏差，少算两次乘法运算，其运算量在早期的控制器上可大大提高运算速度。如果控制器的运算速度很高，则也可用式（2-2）来计算偏差函数。采用式（2-2）进行计算，不存在迭代累积误差。

3. 插补的终点判别

（1）按插补总步数。

插补运算实现预定轨迹，可用插补总步数作为判别是否到达终点的条件，即

式中：N——插补的总步数。

式（2-5）表明y方向脉冲数+x方向脉冲数为总的插补步数。设插补步数计数变量n=N，每向x或y方向走一步，n步数减1，直到等于总步数n=0，停止。

（2）分别判断各坐标轴的运动步数，即用xe、ye作为判别条件。

4. 逐点比较法直线插补举例

图2-4中，对于第一象限直线OA，终点坐标xe=3，ye=2，插补从直线起点O开始，故F0=0；终点判别是判断进给总步数∑N=3+2=5，将其存入终点判别计数器中，每运动一步减1，若∑=0，则停止插补，运动轨迹如图2-4所示。

表2-1表示该直线逐点比较法直线插补计算的步骤。第一步，偏差为0，应向+x走一步，重新计算偏差小于0，同时将终点判别变量减1，进入第二步，由于偏差小于0，因此应向+Y走一步。其余类推。

5. 直线插补其他象限与第一象限关系

（1）由图2-5可看出，各象限进方向与x或y轴是对称的。

（2）只需改变运动方向（改变电机转向），其计算方法可以不用改变。因此可用式（2-6）、式（2-7）作为4个象限通用的递推公式（终点坐标取绝对值）。

向x终点方向走一步：

向y终点方向走一步：

直线插补象限判别发电机转向关系如表2-2所示。

6. 直线插补程序流程

直线插补程序流程框图如图2-6所示。

初始化包括：

（1）根据xe和ye值判断直线所在象限，并确定电机转向。

（2）确定的值。

（3）F=0。

2.3.2 圆弧插补原理

如图2-7所示为第一象限（逆时针）圆弧插补法。

设圆弧半径为R，则圆弧方程为：x2+y2=R2。

取Fi=x2+y2-R2作为偏差判别函数，则动点Mi（xi,yi）有三种情形。

（1）在圆弧外：Fi﹥0；

（2）在圆弧上：Fi=0；

（3）在圆弧内：Fi﹤0。

规定在第一象限逆时针（逆圆）插补：当动点在圆弧内时，向+y方向走一步；当动点在圆弧外或圆弧上时，向-x方向走一步。由于插补向-x和向+y每次走的步数不一定相同，因此，动点x用角标i表示，动点y用角标j表示，即

向-x走一步后，动点x：xi+1=xi-1，动点yj不变，则

向+y走一步后，动点xi不变，动点y：yj+1=yj+1，则

同理，可推导第一象限的顺时针圆弧递推公式。

向+x走一步后：

向-y走一步后：

第一象限顺逆圆弧和其他象限圆弧的关系如图2-8所示。

如图2-8（a）所示，第一象限为逆圆插补；第二象限，顺圆；第三象限，逆圆；第四象限，顺圆。如图2-8（b）所示，第一象限为顺圆插补；第二象限，逆圆；第三象限，顺圆；第四象限，逆圆。

仅以图2-8（a）第二象限的顺时针圆插补为例，第二象限顺圆与第一象限的逆时针圆弧相对于y轴对称，可以用第一象限的逆时针圆弧插补公式，不过要注意轴的驱动方向，以及坐标值应取绝对值。

表2-3表明各象限顺圆、逆圆，根据偏差判别，确定插补的走向关系。

2.3.3 逐点比较法圆弧插补举例

如图2-9所示，对于第一象限圆弧AB，起点A（0,4），终点B（4,0），采用逐点比较法实现圆弧插补，其实现过程可用表2-4进行说明。

2.3.4 多段组合位置控制说明

对于多段组合，可以先通过移动坐标系方式，然后再用相关的插补方法进行位置控制。

如图2-10所示，图中直线AB、BC，圆弧CD、DF为设定轨迹，由A点运动到F点，经过坐标系移动，可以看出直线AB在第三象限，直线BC在第一象限，圆弧CD、DE、EF分别是第二象限、第一象限、第四象限的顺时针圆弧（圆弧象限需要过象限处理）。