4.2　期权定价方法综述

期权是一种极为特殊的衍生产品，它能使买方有能力避免坏的结果，而从好的结果中获益，同时，它也能使卖方产生巨大的损失。当然，期权不是免费的，这就产生了期权定价问题。期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了金融理论的许多核心问题，其理论之深，方法之多，应用之广，令人惊叹。期权的标的资产也由股票、指数、期货合约、商品（金属、黄金、石油等）、外汇增加到了利率，可转换债券、认股权证、掉期和期权本身等许多可交易证券和不可交易证券。期权是一种企业、银行和投资者等进行风险管理的有力工具。

期权的理论与实践并非始于1973年Black和Scholes关于期权定价理论论文的发表。早在公元前1200年的古希腊和古腓尼基的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时的认知条件下，人们不可能对其有深刻认识。期权的思想萌芽也可以追溯到公元前18世纪的《汉穆拉比法典》。公认的期权定价理论的始祖是法国数学家Bachelier（1900）。令人难以理解的是，长达半个世纪之久，巴舍利耶（Bachelier）的工作都没有引起金融界的重视，直到1956年被克鲁辛格（K ruizenga）再次发现。

1973年芝加哥委员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场，首次在有组织的交易所内进行股票期权交易，在短短的几年时间里，期权市场发展十分迅猛，美国股票交易所、太平洋股票交易所以及费城股票交易所纷纷模仿，1977年看跌期权的交易也开始出现在这些交易所内。有趣的是，布来克和斯科尔斯（Black & Scholes）发表的一篇关于期权定价的开创性论文也是在1973年，同年，默顿教授又对其加以推广和完善，不久，Black-Scholes期权定价方程很快被编成了计算机程序，交易者只需键入包括标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率和期权到期日等几个变量就很容易解出该方程，后来有人用这个方程对历史期权价格进行了验证，发现实际价格与理论价格基本接近。这一理论研究成果直接被应用到金融市场交易的实践中，推动了各类期权交易的迅猛发展。

关于期权定价的理论研究和综述文献已相当丰富（Ross, 1976b；黄小原，1996；Toft, 1996；Amin, 1993；马超群和陈牡妙，1999；Sprenkle, 1961；Kassouf, 1969；Boness, 1964；Samuelson, 1965；Cox et al.，1979；党开宇和吴冲锋，2000；顾勇和吴冲锋，2001；Zhang, 1998；郑立辉，2000；宋逢明，1998；罗开位等，2000）。这一部分与以往综述类文献根本不同的特点是将金融市场分为完全的金融市场和非完全的金融市场，突出了适用于非完全市场期权定价理论的研究成果。金融市场是完全的假设下的期权定价问题的研究已经取得了丰硕的成果。如今，在金融市场不完全情况下的期权定价问题已经成为人们的研究热点（黄小原，1996；Toft, 1996；Amin, 1993；马超群和陈牡妙，1999）。股票期权价格是以所对应的标的股票价格为基础的，受股票价格的波动率及无风险收益率等参数的影响。目前关于期权定价方法研究的主要成果有：①传统期权定价方法；②Black-Scholes期权定价方法；③二叉树期权定价方法；④有限差分方法；⑤蒙特卡罗模拟方法；⑥确定性套利方法；⑦ε-套利定价方法；⑧区间定价方法。为了更好地了解期权定价方法发展的脉络，接下来对此进行较详细的论述。

4.2.1　期权的基本概念

期权有两种基本类型：看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产，看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产。需要强调的是，期权赋予其持有者做某件事情的权限，而不要求其义务，也就是说，持有者不一定必须行使该权利。这一特点使期权不同于远期和期货，在远期和期货合约中持有者有义务购买或出售该标的资产。

期权合约中的价格被称为执行价格（exercise price或strike price）。合约中的日期称为到期日（expiration date或maturity）。美式期权（American options）可在期权有效期内的任何时候执行。欧式期权（European options）只能在到期日执行。在交易所中交易的大多数期权为美式期权。但是，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期权的一些性质总是可以由欧式期权的性质推导出来。因此本节将重点研究欧式期权的定价及套期保值（hedging或对冲）策略等问题。

每一个期权合约都有两方：一方是持有期权多头头寸的投资者（即购买期权的一方）；另一方是持有期权空头头寸的投资者（即出售期权的一方）。期权的出售方事先收取现金（称为期权费），但之后具有潜在的负债。期权有四种基本的头寸，即看涨期权的多头，看跌期权的多头，看涨期权的空头和看跌期权的空头。一般用期权到期日的损益来描述欧式期权投资者的头寸状况。如果以K代表执行价格，ST代表标的资产的到期日价格，则欧式看涨期权多头的损益为max（ST-K，0）。这就表明，如果ST>K，就会执行期权，给其持有者带来好处；如果ST≤K，就不执行期权。类似地，欧式看涨期权空头的损益为-max（ST-K，0）。欧式看跌期权多头的损益为max（K-ST，0），欧式看跌期权空头的损益为-max（K-ST，0）。

4.2.2　传统期权定价方法

在Black-Scholes以前，公认的期权定价模型的提出者是法国的巴舍利耶。他发表了他的博士论文“投机理论”（theorie de la speculation），第一次给予布朗运动（Brown Motion）以严格的数学描述。他假设股票价格过程是一个没有漂移和每单位时间具有方差σ2的纯标准布朗运动，得出到期日看涨期权的预期价格：

其中，P（x，t）表示t时刻股票价格为x时期权的价值，x表示股票价格，k表示期权的执行价格，Φ表示标准正态分布函数，ф表示标准正态分布密度函数。

现在来看，巴舍利耶期权定价模型的主要缺陷是绝对布朗运动允许股票价格为负和平均预期价格变化为零的假设脱离实际，而且没有考虑资金的时间价值。

在巴舍利耶以后，期权定价模型的最新发展，当属Sprekle（1961）。他假设了一个股票价格服从具有固定平均值和方差的对数分布，且该分布允许股票价格有正向漂移。他得到的看涨期权价值公式为

其中，参数π是市场“价格杠杆”的调节量，α是股票预期收益率（不是无风险收益率），这一模型也没有考虑资金的时间价值。

这一期间，Kassouf（1969）、Boness（1964）和Samuelson（1965）也相继给出了看涨期权定价公式，特别是博内斯（Boness）和萨缪尔森（Samuelson）的看涨期权定价公式基本上接近Black-Scholes的期权定价公式。

4.2.3　现代期权定价方法

现代期权定价方法分为连续时间期权定价方法和离散时间期权定价方法，连续时间期权定价方法见4.1.6部分的内容，离散时间期权定价方法就是二叉树方法。二叉树方法是由Cox, Ross和Robinstein（1979）提出来的，其基本思想是：把期权的有效期分为若干个足够小的时间间隔，在每一个非常小的时间间隔内假定标的资产的价格从开始的x运动到两个新值，运动到比现价高的值xu的概率为p，运动到比现价低的值xd的概率为1-p。由于标的资产价格的变动率服从正态分布，运用风险中性定价原理，可以求得

假设初始时刻时间为0，已知标的资产的价格为x，时间为Δt时，标的资产价格有两种可能：xu和xd；时间为2Δt时，标的资产价格有三种可能：xu2，xud和xd2。注意在计算每个节点标的资产价格时，要使用这一关系。一般情况下，iΔt时刻，标的资产价格有i+1种可能

如果是看涨期权，其价值应为Max（x-k，0），这样，在已知到期日的股价之后，可求出二叉树的M+1个末端期权的价格。依据风险中性定价原理，T-Δt时刻每个节点上期权的价格都可由T时刻期权价格的期望值以无风险利率r折现求得。以此类推，我们可由期权的未来值回溯期权的初始值。二叉树方法是由期权的未来值回溯期权的初始值，因此可以运用美式期权计算。美式期权在某个节点期权的价格是如下两个价格之中的较大者：一个是立即执行时的价格；另一个是继续持有Δt时间的折现值。

假设一个不付红利股票的美式期权的有效期被分成N个长度为Δt的小段。设cij为iΔt时刻股票价格为xujdi-j（0≤i≤N，0≤j≤i）时的期权价值，也就是节点（i，j）的期权值。由于美式看涨期权在到期日的价值为max（x-k，0），因此

在iΔt时刻股票价格xujdN-j从节点（i，j）向（i+1）Δt时刻节点（i+1，j+1）移动的概率为p，即移动到股票价格为xuj+1di-j；向节点（i+1，j）移动的概率为1-p，即移动到股票价格为xuj di+1-j。假设不提前执行，风险中性倒推公式为：

若考虑提前执行时，式（4.2.6）中的cij必须与看涨期权的内涵价值进行比较，因此可以得到：

因为计算是从T时刻倒推回来的，所以iΔt期权价值不仅反映了在iΔt时刻提前执行这种可能性对期权价值的影响，而且也反映了在后面的时间里提前执行对期权价值的影响。当Δt趋于0时，可以获得准确的美式看涨期权价值。如果不考虑提前执行，就得出欧式看涨期权价值。

4.2.4　蒙特卡罗模拟方法

蒙特卡罗模拟方法（Monte Carlo method）是一种对欧式衍生资产估值的方法（赫尔，1997），其基本思想是：假设已知标的资产价格的分布函数，然后把期权的有效期限分为若干个小的时间间隔，借助计算机的帮助，可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股价的变动和股价一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终价值。这一结果可以被看作全部可能终值集合中的一个随机样本，用该变量的另一条路径可以获得另一个随机样本。更多的样本路径可以得出更多的随机样本。如此重复几千次，得到T时刻期权价格的集合，对几千个随机样本进行简单的算术平均，就可求出T时刻期权的预期收益。根据无套利定价原则，把未来T时刻期权的预期收益XT用无风险利率折现就可以得到当前时刻期权的价格。

其中，P表示期权的价格，r表示无风险利率，E（XT）为T时刻期权的预期收益。

蒙特卡罗模拟方法的优点在于它能够用于标的资产的预期收益率和波动率的函数形式比较复杂的情况，而且模拟运算的时间随变量个数的增加呈线性增长，其运算是比较有效率的。但是，该方法的局限性在于只能用于欧式期权的估价，而不能用于可以提前执行合约的美式期权，且结果的精度依赖于模拟运算次数。

4.2.5　有限差分方法

有限差分方法主要包括内含有限差分方法和外推有限差分方法，其基本思想是通过数值方法求解衍生资产所满足的微分方程来为衍生资产估值，将微分方程（4.1.13）转化为一系列差分方程之后，再通过迭代法求解这些差分方程（赫尔，1997）。总的来看，有限差分方法的基本思想与二叉树方法基本相似，它们既可以用来求解欧式期权的价格又可以用来求解美式期权的价格。

4.2.6　非完全市场期权定价方法

在非完全市场，对于期权v不存在完全复制策略，也就是说，找不到资产组合θ，使得DTθ=v，套期保值者对它的资产不能完全套期保值。鉴于非完全市场衍生资产价格不是一个确定的值，运用众所周知的Black-Scholes期权定价方法、二叉树方法和蒙特卡罗模拟方法无法解决非完全市场期权定价问题，必须研究其他方法。下一节将给出非完全市场衍生资产定价方法完全适用的期权定价。主要方法有衍生资产的确定性套利定价方法、区间定价方法和ε-套利定价方法。