第一章 实验误差与数据处理

第一节 误差的基本知识

1. 测量误差的基本概念

在普通物理实验中，我们不仅要定性地观察和描述物理现象及其变化过程，还要定量地测量某些物理量的大小。所谓测量，就是借助测量仪器和一定的测量方法，直接或间接地将待测物理量与一个选择为单位的同类量进行比较，其倍数即为待测物理量的大小。而一个测量值必须包括数值大小和物理量的单位才有意义。

测量可分两类。一类是可以直接用仪器测得待测量的大小，称为直接测量，相应的待测量称为直接测量量。例如，用米尺测量物体的长度、用电流表测量电路中的电流强度等，属于直接测量。另一类是不能直接用仪器测出待测量的大小，而要根据待测量和直接测量量的函数关系求得，称为间接测量。相应的待测量称为间接测量量。例如用游标卡尺测得圆柱体的直径D和高度H，从而通过公式求出—体积V——间接测量量的大小。

物理量在一定的测量条件下都具有不以人的意志为转移的客观真实大小，这客观实际大小称为该物理量的真值。然而，由于测量仪器、条件、人员和周围环境等种种因素的限制，测量不可能做到绝对精确，测量值与其真值之间总是或多或少的存在偏差，我们将测量值N与真值N'之差称为测量误差ΔN'，即ΔN'=N-N'。

测量误差的大小虽然反映了测量结果与真值的接近程度，但由于客观实际的局限性，真值总是测不到的，因此测量误差也无法具体知道。一般，我们只能测得物理量的近似真值，故对测量误差的量值范围也只能给予估计。国际上规定用“不确定度（Uncertainty）”来表征测量误差可能出现的量值范围，它也是对被测量的真值所处的量值范围的评定。对任何一个实验测量结果来说，应包括结果的量值大小、不确定度范围和物理量的单位，三者缺一不可。

误差存在于一切测量之中，而且贯穿整个实验过程的始终。每使用一种仪器，每进行一次测量，都会引进误差，因此任何真值都是得不到的。为了获得一个比较理想的实验结果，要求我们掌握误差理论的基本知识。

误差理论是一门专门的学科，深入的讨论它，需要有丰富的实验经验和较多的数学知识。在普通物理实验中，我们只介绍有关误差理论的一些最基本的知识，要求大家着重了解它的物理意义，学会简单的计算和分析，领会误差分析思想对于做好实验的意义。

2. 测量误差的分类

误差根据其性质和产生的原因主要可分三大类；系统误差、偶然误差和粗大误差。

（1）系统误差

在相同条件下（指方法、仪器、人员及环境不变）多次测量同一物理量时，测量结果总是向一个方向偏离，其误差的数值和符号一定或按某一确定规律变化。这种误差称为系统误差。它的来源主要有以下几个方面：

① 仪器误差：由于仪器本身结构不完善或没有按规定要求使用而造成的。如仪器的零点不准、天平两臂不等和分光仪测量度盘偏心等。

② 理论（方法）误差：由于测量所依据的理论及公式本身的近似性，或者实验条件达不到理论公式规定的要求，或者测量方法本身不完善造成的。如用伏安法测电阻，由于表头内阻的影响使测量结果产生误差；气轨上测定物体的加速度时忽略了气轨和滑块间空气的黏滞阻力而带来的实验误差等。

③ 个人误差：由于观测者本人的生理条件限制所引起的使测量值总是偏高或偏低。如掐表计时因启动超前（或滞后）而造成的时间测量值偏大（或偏小）等。

大小和符号均确定的系统误差也称为“己定系统误差”。如电表内阻给伏安法测电阻带来的误差即属此类。有些系统误差具有积累性质，如电位差计的工作电池，其电压随放电时间的延长而降低时导致测量误差成比例地增加；还有些系统误差具有周期性的变化规律，如分光仪的度盘偏心、秒表指针轴心和表盘中心不重合等引起的测量误差是按正弦规律变化的。以上这些系统误差一般可以通过校准仪器、引人修正项、改变条件或采取适当的测量方法加以消除，采取多次测量的方法一般不能发现和消除这类系统误差的影响。

除此而外，有些系统误差的大小和符号不确定，其变化规律往往是复杂和难以掌握，我们称这类系统误差为“未定系统误差”。一些常用的测量仪器如游标卡尺、螺旋测微计、电压表、电流表等，它们的某一分度误差虽然具有恒定的大小和符号，属于系统误差，但是各分度的误差在制造过程中却有大有小、有正有负，对整个仪器来说各误差又具有随机性。对于这类仪器的误差，出厂时由厂方用更高精确度的同类仪器检定后，常规定以其中最大的误差限作为仪器的“允许基本误差”。在使用这类仪器进行测量时，各刻度系统误差的具体大小和符号无法确知，故只能用仪器的“允许基本误差”估计其最大的误差限，而后再根据误差服从的分布规律，估算其不确定度大小，并冠以“±”号表示不确定度的范围。国际上，将这类由非统计方法估计的不确定度分量称为“B类不确定度分量”。

由于未定系统误差具有不确定性，因此不能对其修正，一般只要求用不确定度表示误差可能出现的量值范围。

例如螺旋测微计的“允许基本误差”规定为±0.004mm，它表明由该螺旋测微计测量产生的最大误差限不超过±0.004mm，或者说该测量结果的不确定度范围为。

（2）偶然误差

在相同的条件下多次测量同一物理量时，每一次测量结果毫无规则地涨落，即单个误差的大小和符号的变化没有确定的规律，但总体误差服从一定的统计分布规律，这类误差称为：“偶然误差”。

偶然误差的起因主要是一些不确定的因素造成的，如仪器零部件配合的不稳定性和零件表面之间的摩擦；电源电压、电磁场、周围环境温度的微小波动以及人员的感官灵敏程度有限等。理论和实践证明，大量的偶然误差服从正态分布（高斯分布）的规律并具有以下特征：

① 绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等，即误差具有对称性。

② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即误差具有单峰性。

③ 绝对值很大的误差出现的可能性趋于0，即误差的绝对值不会超过一定的界限，即误差的有界性。

④ 随着测量次数的无限增加，所有误差的总和趋于0，即误差具有抵偿性。

基于偶然误差的上述性质，因此增加测量次数可以适当地减小偶然误差，而且当测量次数无限增多时，算术平均值趋近于真值。

由于偶然误差的变化不能预先确定，其量值大小也不确定，因此这类误差也不能修正，通常可用统计方法估算其不确定度的大小，所估计的大小表明偶然误差可能出现的范围。国际上称这类不确定度分量为“A类不确定度分量”。

（3）粗大误差（过失误差）

实验测量中出现的那些用测量的客观条件不能合理解释的突出误差称为粗大误差。它常常是由于实验者粗心大意、缺乏经验而读错、记错、算错等，或因实验条件未达到预定的调节要求而匆匆实验造成的。对于初学者来说，这是易犯的错误，必须多加注意。含有粗大误差的测量结果明显地歪曲客观现象，因此应当尽量避免和加以剔除。

（4）系统误差的随机化处理

误差由于性质不同、来源不同，其处理方法也不同。一般来说，对于系统误差和偶然误差要加以区别、分别处理，在精密测量中尤其重要；有时，这两类误差难以区分，为了说明总的误差限度而不加以区别。值得注意的是，某些具有随机性质的系统误差在一定的条件下可以将其进行转化。例如尺子的分度误差、管径加工的不均匀性各处并不相同，对于尺子或管径的某个确定位置来说它与准确值的偏差是一定的，就属于系统误差，但是从总体效应来说，各处的误差有正有负、有大有小，又具有随机性，此时如果用尺子的不同部位去测量同一个物体的长度，则多次测量的平均结果可以使尺子的分度误差得到部分抵消；同样对于管径各处分别进行测量，所得平均值也是抵消了部分系统误差后的测量结果。因此，对于具有不确定性质测量对象以及一些规律性难以掌握的未定系统误差，常常把它随机化处理，使部分系统误差得到抵消，这种办法称为未定系统误差的随机化处理技术。

最后应该指出，在任何测量中，系统误差和偶然误差一般都是同时存在的，对于具体的实验要进行具体的分析并给予处理，而任何实验结果的总误差应当是偶然误差和系统误差的综合效应。

3. 直接测量误差的处理和估计

在实验测量中，系统误差有时是影响测量结果的主要因素，然而它又常常不明显地表现出来而给测量结果带来严重的影响。因此，发现系统误差、估计它对实验结果的影响，设法修正、减少或消除它的影响，是误差分析的一个重要内容。下面首先讨论不计偶然误差时，系统误差的发现、消除及处理方法。

（1）系统误差的发现、消除及修正、处理

发现系统误差主要通过仔细研究实验方法以及测量所依据的理论公式的完善性、校准仪器、分析每一步实验调整和测量是否符合要求等办法来实现，而后才能对其影响给予估计。通常可用以下几种方法来发现系统误差的存在。

① 对比测量方法。实验方法的对比：用不同的实验方法测量同一个量，若测得的结果在偶然误差允许的范围内不重合，说明其中至少有一个存在系统误差。

仪器的对比：用不同的仪器测量同一个量可发现仪器的系统误差，若其中有一个为标准仪器，则可得出另一仪器的修正值。

换人测量进行对比，改变实验条件、测量方法和某些实验参数进行对比等方法都可发现系统误差。

② 理论分析方法。分析测量所依据的理论公式要求的条件在实验中是否已被满足。如测定气体的比热容比γ，实验中绝热膨胀过程是否得到满足，P2是否等于P0等，否则测量公式必然要引入一定的系统误差。

分析仪器所要求的条件是否达到了，如仪器使用的环境温度要求是否达到，仪器调整中的铅直、水平状态是否得到保证，否则测出的结果必然产生误差。

③ 分析数据的方法。在相同条件下测得大量数据时，如果多次测量的结果不服从正态分布的规律，则说明实验中存在变化的系统误差。

所谓消除系统误差，是指把系统误差减弱至某种程度，使之对测量结果的影响小到可以忽略不计。消除系统误差的影响，有以下几个主要途径：

① 消除产生系统误差的根源。如采用符合实际的理论公式，保证仪器装置调整良好并满足规定的使用条件。

② 选择适当的测量方法或在仪器的设计上抵消系统误差的影响。如常用以消除恒定系统误差的替代测量法：用一已知标准量取代被测量而保持测量指示值不变；用以消除周期性（正弦）规律系统误差的半周期偶次测量法（或叫对径测量法）：如分光仪度盘采取相隔180°同时进行读数求平均值可以消除度盘偏心差等。

③ 对测量结果进行修正。如用标准仪器校准一般仪器，通过做出校准曲线进行修正；利用修正项对理论公式进行修正等。总之，当系统误差的大小和符号确定时，要将它从测量结果中进行修正。

对于大小和符号均不确定的未定系统误差来说，无法从测量结果中给予修正。此时可以先估计出它们的最大误差限，再根据误差服从的分布规律去推求不确定度分量的数值—即“B类不确定度分量”（或叫相似标准偏差），用U表示，即未定系统误差引起的不确定度分量U可由下式求出：

式中，Δs为未定系统误差限，C为对应分布的置信因子，它的值常取为。当未定系统误差的分布不好确定时，可将随机性较强的误差分布假设为正态分布，即C的取值为3；而对系统性较强的误差分布则常设为均匀分布，此时取，总之常以不确定度的估计略为偏大的假设为原则。不确定度分量U的物理意义表明，测量值的未定系统误差有68.3%的可能性落在±U之间；或有95%的可能性落在±2U之间；或者有99.7%的可能性落在±3U之间。

米尺、游标卡尺和螺旋测微计等常用测量仪器引起的测量不确定度可作如下近似处理：取仪器出厂时规定的允许基本误差或最大示值误差为未定系统误差限Δs（当出厂没标明时，可取仪器的最小分度值或其一半作为仪器误差），则测量不确定度为，其中Δs为仪器的准确度等级所规定的最大绝对误差。最后测量结果表示为N测=Nc±U，其中Nc为修正后的结果。

例1　用0.01mm分度值的螺旋测微计测量金属丝直径d，测得值为2.349mm，而螺旋测微计的零点读数误差d0=-0.002mm，若已知所用的螺旋测微计的允许基本误差Δs为±0.004mm，求金属丝的测量结果d测。

解：测量值修正为dc=d-d0=2.349-(-0.002)=2.351mm。

不确定度，取0.002mm。

测量结果表示为d测=dc±Ud=(2.351±0.002)mm。

理论和实践证明，在对实验测量结果的系统误差进行修正或认真消除后，无论测量多么精心，由于偶然误差的存在，在同一条件下，对某物理量进行多次测量时，每次测量的结果也不会完全一样。下面假设没有系统误差存在，或系统误差已修正或已基本消除的情况下，讨论偶然误差的处理方法。

（2）偶然误差的处理

① 算数平均值公理及偶然误差的估计。统计理论证明，在等精度测量条件下（即同一仪器、同一条件、同一对象）对某物理量重复多次测量，则多次测量的算数平均值即为该物理量的最佳测量结果或最接近真值。当测量次数趋于无穷时，算数平均值就是真值。多次测量的算数平均值可表示为：

式中，K为重复测量次数，N1，N2，…，NK为K次测量的一列测量值，Ni为第i次测量值，为多次测量的算数平均值。

一般情况下，各测量值Ni与算数平均值的偏差ΔNi各不相同，它们分别为。如何表示这一组测量结果以及评价该测量结果的可靠性呢？

统计理论证明，测量列的标准误差σ'（或称总体标准偏差）可以最好地反映这一组测量数据的可靠程度—即数据的分散或集中程度。它定义为各测量值ΔNi与真值N'的误差εi（=Ni-N'）的平方的平均值的平方根。即：

但是，测量一般只进行有限次，真值N'是测不到的，因而误差εi也是测不到的。测量只能求得最近真值——算数平均值，以及各测量值的偏差ΔNi。

统计理论证明，当K→∞时，子样方差S2近似等于总体方差σ'2，或；而当测量次数K有限时，S也是σ'的最佳估计值。因此，在有限次测量中，可用S来表示一组测量数据的可靠程度，S称为等精度测量列的标准偏差或任一次测量的标准偏差（也称子样标准偏差）。即：

计算时，为避免舍入误差的影响，式（1-1-4）可改写为：

该表达式为一般函数型计算器说明书中所用公式。利用计算器的“统计计算”功能，只要将测量数据逐个键入计算器，就可方便地求出S（有时计算器用σn-1表示S）。

由式（1-1-4）可见，标准偏差S并不表示任何一个测量误差的实际大小，它只是对这一组测量列中各个偶然误差的统计平均结果。国际上将这种用统计方法估算的标准偏差称为“A类不确定度分量”，用S表示。不确定度S的大小反映了这组数据的分散程度和偶然误差可能出现的量值范围，S越大说明测量越不精密，数据越分散；S越小说明测量越精密，数据越集中。

A类不确定度分量S的物理意义表明这一组测量列中，任一次测量的偶然误差有68.3%的可能性落在±S之间；或有95%的可能性落在±2S之间；或者有99.7%的可能性落在±3S之间。

以上结果适用于K→∞的情况。当测量次数有限（如K≤20）时，偶然误差不再服从正态分布而服从t分布（也叫学生分布），不确定度S需要加以修正。比如K≥3，则任一次测量值的误差落在±3S区间里的可能性不是99.7%，而是接近90%以上。

② 算术平均值的标准偏差及多次直接测量结果的表示。由于算术平均值是多次直接测量的最佳值，它比任何一个测量值更接近真值。因此它的精密程度应高于任何一个测量值，也即算术平均值之间的分散程度要比任一组测量列中各测量值之间的分散程度小得多。理论证明，算术平均值的标准偏差是测量列的标准偏差S的倍。即：

一般来说，当我们对某一物理量进行一组K次重复测量所得算术平均值，与以后进行的同样条件下的K次重复测量所得算术平均值是不会完全相同的；但是任一个算术平均值落在（）区间的可能性有68.3%；落在（）区间的可能性有99.7%。由式（1-1-6）可见，随着测量次数的增加，算术平均值的标准偏差减小，算术平均值更接近于真值。但当次数大于10以后，的减小趋于缓慢，因此单靠测量次数的增加来减小偶然误差的作用将受到限制，只有改进仪器和改善实验条件才是减小偶然误差的根本。不计系统误差时，多次（K次）直接测量的结果应表示为：。该式间接表明了被测量的真值以极大（99.7%）的可能性落在（）区间内。

③ 单次测量偶然误差的估计。在实验中，有时测量不能重复或不需要重复；有时测量虽能重复，但多次测量的结果偶然误差远小于仪器的最小分辨值甚至是零（注意：这是由于仪器的精密度不足以反映测量误差的微小差别，而绝不是没有误差！）在这种情况下可以只测量一次，并对结果进行估读。这类估读误差具有随机性，其不确定度大小也需要通过分析误差限ΔR来确定，所以也称为“B类不确定度分量”，且有。其中ΔR为估读误差限，C为对应分布的置信因子，U为估读误差引起的测量不确定度。鉴于这类估读误差大多服从均匀分布规律，C可近似取作，即。估读误差限ΔR的估计要根据仪器分度值的大小、测量环境和测量条件的优劣具体考虑，估计要尽量符合实际。下面分不同情况对单次测量的估读误差限ΔR的估计原则做如下约定：

a. 对于在其分度值以内仍可分辨和估读的一般仪器——如米尺、螺旋测微计、温度计、电表等，ΔR可估计为仪器分度值的1/5（即0.2分度）；有时根据被测量的环境和条件可估计得略大一些，比如0.5分度或几个分度不等；对于电表，一般采用示值误差来表示其仪器误差ΔR=（电表的量限×S%），S为电表级别。

b. 对于那些分度值不便再细分或数字式仪器，如游标卡尺、分光仪的角游标、机械秒表等，ΔR可估计为仪器的分度值，而数字式仪器一般取1～2个最小计数单位。

c. 对于多次重复测量所得值不变的情况，其估读误差限ΔR视仪器的具体情况分别与a或b作类似估计。

d. 对于需要判断平衡的一些测量仪器，如检流计，其平衡误差最大可视为0.2分格。

还有些测量仪器虽然很精密，但整个测量的灵敏度较低，此时应将灵敏度引起的误差加以考虑，ΔR应估计为测量的灵敏度阈值，即足以引起察觉变化的被测量的最小变化值，而不应只取仪器分度值的1/5。

（3）合成不确定度及直接测量结果的表示

前面已分别讨论了系统误差和偶然误差对直接测量结果的影响以及它们的处理问题，而实验测量中两类不同性质的误差一般是同时存在的，因此测量结果的误差应当是系统误差和偶然误差的综合，由于误差的不确定性，总的测量误差也应当用不确定度加以表征。

如前所述，对于确定大小的系统误差要通过校准仪器、引入修正项和采取适当办法将它从测量结果中加以修正；而对于未定系统误差和偶然误差的影响，则用不确定度来表征，其中A类不确定度分量和B类不确定度分量分别表示了两种不同的估算方法所求得的各种误差对测量结果的单独影响，因此也称为测量的不确定度分量。当各类误差的影响同时存在且各误差是独立无关时，测量结果的不确定度则应是各个不确定度分量的合成，称为“合成不确定度”。合成不确定度σ可表示为：

式中，Si为第i项A类不确定度分量，Uj为第j项B类不确定度分量，合成不确定度σ的意义仍然是一个标准偏差，其物理意义表明测量结果的总误差有68.3%的可能性落在±σ区间内。

至此，一般物理量的多次直接测量结果应表示为：

式中的Nc表示修正了已定系统误差后的测量结果，σ为直接测量结果的合成不确定度。

当测量不能重复或只进行一次时，式（1-1-8）中的Nc应为一次测量的修正值。显然合成不确定度σ只是B类不确定度分量的合成结果，而不应包含A类分量。即单次直接测量结果应表示为：

例2　用分度值为0.02mm的游标卡尺测量一圆柱体直径5次，测得值分别为26.26mm,26.18mm, 26.26mm,26.22mm,26.20mm，求圆柱体直径D的测量结果。已知游标卡尺的允许基本误差Δs为±0.02mm，零点读数无误差。

解：平均直径为：

（中间运算结果可先多保留一位有效数字）

测量列的标准偏差：

算术平均值的标准偏差：

仪器误差引起的不确定度：

合成不确定度：

圆柱体直径的测量结果表示为：

从以上的计算结果看出，合成不确定度σD的主要影响来自偶然误差多次测量的。在合成不确定度的计算公式中，当其中一个分量小于其他任何分量的1/3时，则该分量的影响可忽略不计，计算可以简化。由于不确定度本身是一个估计量，计算结果只取一位，最多两位。

在实验测量中，有时对不同性质的误差影响很难加以区分，更无从掌握各误差服从的分布规律，因此也不能求得各个不确定度分量。为了说明误差可能出现的量值范围，可简单地估算总的误差限Δlim，此时将各极限误差Δi以方和根的形式合成，即。Δlim简单、粗略地表明了直接测量结果的最大误差限度，此时测量结果可表示为：N测=Nc±Δlim。Δi包含了各个未定系统误差限和偶然误差限。例如，在测量金属丝的杨氏弹性模量的实验中，由于金属丝的长度L不易测准，我们只用卷尺对L进行一次测量。此时根据具体情况，估读误差可估计为ΔR=2mm，若卷尺的仪器误差为Δs=0.5mm，长度L的测量误差限可以估计为。若长度的测量值为100.0cm，则测量结果可表示为L测=（100.0±0.2）cm。

（4）几个名词概念

① 绝对误差、相对误差和百分误差。前面我们讨论的误差估计量，均指各种误差的绝对值的大小，它既有大小又有单位，这种误差的表现形式称为“绝对误差”。如两个不同物体的测量结果为L1=（12.52±0.05）mm和L2=（0.125±0.005）mm，从绝对误差来看，ΔL2=（0.005mm）<ΔL1=（0.05mm），似乎L2的测量结果比L1好。实际上在L1的测量中，误差0.05mm仅占测量结果12.52mm的4‰，而在L2的测量中，误差0.005占测量结果0.125mm的4%，所占比重比前者大一个数量级。因此，为了确切比较不同测量结果的好坏，通常用该量的绝对误差与测量值的比值即“相对误差”来评价更为合理。从某种意义上讲，绝对误差反映了测量的重复性的好坏，而相对误差则反映了测量的准确程度。相对误差定义为：

相对误差的计算结果也是一种估计，所以一般只取一位或最多取两位即可。

有时被测量的量值有公认值或理论值，此时测量结果和公认值或理论值的偏差可以用“百分误差”加以比较，百分误差的大小从某种程度上也反映了测量结果的好坏。

② 精密度、正确度（准确度）和精确度。

精密度：指在一定的条件下进行多次重复测量时，测量结果之间的重复程度。它反映测量结果中偶然误差的大小，偶然误差小，则测量的精密度高。

正确度（准确度）：指在规定的条件下，测量结果与真值的符合程度。它反映系统误差的大小，系统误差小，则测量正确度高。

精确度：指测量结果中系统误差和偶然误差的综合大小程度。它既反映测量结果和真值的接近程度，也反映测量结果的重复性程度。精确度高的测量，表示测量结果的系统误差和偶然误差都很小。

③ 仪器的分度值、仪器的精密度和准确度。仪器的分度值是指仪器的最小刻度的大小；仪器的精密度则表示仪器的最小估读单位。如螺旋测微计的分度值为0.01mm，则其精密度可达0.001mm。分度值越小，仪器的精密度越高。仪器的准确度是指仪器在正确使用的条件下，本身所能达到的准确程度，一般来说，仪器的准确度低于仪器的精密度。如分光仪的度数盘可以精密测量到15″，但该分光仪的准确度一般达不到这个指标。

④ 灵敏度：指仪器示值的微小变化与造成该变化所需要的待测量的变化之比。灵敏度高，说明仪器对待测量的微小变化的响应能力高。灵敏度的概念不仅对测量仪器而言，对测量电路同样存在灵敏度的问题，而且它有时会成为测量误差的主要来源，必须予以重视。

4. 间接测量误差的传递与估计

间接测量一般是通过与它有函数关系的直接测量代入公式求得的。由于直接测量有误差，所以间接测量必然也有误差，这就是误差的传递。

（1）误差传递的基本公式

设物理量N是各个独立物理量x，y，z…的函数，N=f（x,y,z,…），对函数求全微分：

由于通常误差远小于测量值，把dx、dy、dz…看作直接测量量的误差，dN就是间距测量量的误差，而式（1-1-12）是间接测量量的绝对误差公式。

对函数取对数后再求全微分，则有相对误差公式：

式（1-1-12）和（1-1-13）表达了各直接测量量x，y，z…的误差与间接测量量N的误差之间的关系，称为误差传递的基本公式。等式右边各项叫做分误差，叫作误差的传递系数。间接测量量的误差不仅取决于各直接测量量的误差的大小，还取决于误差传递系数。

（2）误差的“方和根合成”公式

误差的传递和合成有两种方式——“方和根合成”和“算数合成”。“方和根合成”又称为“方差合成”。对于标准偏差、相似标准偏差——即不确定度以及合成不确定度来说，由于它们的方差均存在，只要各直接测量量独立无关，则间接测量量的误差服从“方和根合成”。即：

式（1-1-14）、（1-1-15）中，σx，σy，σz…为直接测量量的合成不确定度；σN为间接测量量的合成不确定度，其意义仍然是标准偏差。

常用函数关系的“方和根合成传递”公式如表1-1-1所示。由表中可见，间接测量量的函数关系为加减法时，用绝对误差公式计算比较方便；为乘除法时，用相对误差公式计算方便。另外，当某一项分误差小于最大一项分误差的1/3时就可略去不计，使运算简化，在分析中可突出主要因素的影响。

在实际应用中，有时难以确定误差所服从的分布规律而仅估算直接测量量的误差限Δlim时，则间接测量量的误差限仍应以方和根的形式合成。式（1-1-14）和（1-1-15）可改写为：

式中，Δx，Δy，Δz…为各直接测量量的最大误差限，ΔN、则近似为间接测量结果的绝对误差限和相对误差限。将对应表（1-1-1）中不确定度的符号（σ）改写为误差限符号（Δ），即可得到间接测量量的误差限的近似公式。

（3）间接测量结果的表示

已知间接测量量N与直接测量量s，y，z的函数关系为N=f（x,y,z），各直接测量量的测量结果是，则间接测量量的最佳值是将各直接测量最佳值代入函数关系式求得的，即

间接测量结果的不确定度按照“方和根合成传递”公式（1-1-14）或（1-1-16）求得，则σN的意义对应为合成不确定度或总误差限（近似值）。间接测量结果应表示为如下形式：

σN的位数一般取一位，最多取两位，应保留到其末位与σN的末位对齐。

例3　用游标卡尺测量圆柱体的高度5次，测量值为10.70mm，10.78mm，10.80mm，10.72mm，10.76mm；用螺旋测微计测量直径5次，测量值为5.644mm，5.648mm，5.653mm，5.640mm，5.638mm，如果已知游标卡尺的最大示值误差为±0.02mm，螺旋测微计的最大示值误差为±0.004mm，求圆柱体的体积。

解：直径的平均值：

标准偏差：

算术平均值的标准偏差：

仪器误差引起的不确定度：

合成不确定度：

直径的测量结果：

高度的平均值：

标准偏差：

算术平均值的标准偏差：

仪器误差引起的不确定度：

合成不确定度：

高度的测量结果：

体积的平均值：

由误差公式：

则

体积的测量结果：

（4）误差的“算数合成”公式

在一些要求不高的实验场合下，尤其在进行误差分析、实验设计等误差作粗略、简单估计时，为简化计算和分析或者系统误差占主要成分时，常常将各项分误差按绝对值相加的形式进行合成，这就是“算数合成”公式。这种合成方式常常使得间接测量量的误差估计过大，但运算简便。常用函数关系的“算数合成传递”公式如表1-1-2所示。

从表中可以看出，间接测量量的函数关系为加减法时，估计绝对误差比较方便；为乘除法时，估计相对误差更方便。当某一项分误差小于最大一项分误差的1/10以下时就可将它略去不计，使运算简化。

对于复杂的函数关系，间接测量量的误差公式可归纳为以下步骤来推导：

① 先对函数求全微分（或先取对数再求全微分）。

② 合并同一变量的系数。

③ 将微分符号变为误差符号；对于按“方和根合成”的误差，可将各项分误差平方相加再开方；对于按“算数合成”传递的误差，则将各项分误差取绝对值相加。

（5）误差分析和计算的目的、意义

利用误差公式不仅仅是对测量结果的不确定度进行估算，更主要还有以下几点目的：

① 根据实验给定的误差要求合理选择仪器、确定测量方法。

例如，称量一质量大于100g的物体，如果要求测量误差不大于0.5%，则用物理天平即可满足要求了。如果单纯为了精密而用分析天平去称量，不仅很不经济，且费力费时徒劳无益。

再比如弦振动实验中，驻波波长测量由于波节的位置难于准确定位而不能直接用米尺去测量。不仅如此，根据弦中稳定驻波形成的条件，推得波长公式为，只要测出弦长L，即可求出波长。但当仪器的误差ΔL一定时，用公式求得的波长的测量误差，显然要比直接测量波长的误差小倍，这种优势在波节数比较多时更为明显。由此可见，当同时存在几种测量方法或计算公式时，就可利用误差公式进行分析，从而选择最佳的方法或公式，使测量误差尽可能减少。

② 在实验设计中，如果给定了间接测量结果的误差限，根据误差公式，可以确定直接测量量的误差分配，从而选择合理的实验方案，即仪器的精度、实验条件和测量的重点等。

关于误差的等分配原则：已知x，y，z为各直接测量量，N为间接测量量，且N=f（x,y,z），根据误差传递公式有。由于直接测量量的误差Δx，Δy，Δz有多种可能的组合，使间接测量量的误差ΔN的取值也不是唯一的。因此在实际工作中常用“误差等分配（或等作用）”原则，即假设各项分误差对ΔN的贡献是相同的，使问题简化，即。对于有K个直接测量量的测量来说，同样有。即各直接测量的误差只要控制在的范围内，即可满足实验的要求。

例如，用欧姆定律，测得R=100Ω，V=25V，若要求I的误差不大于0.005A，如何设计该实验？

由求得I=0.25A，即。

根据误差传递公式：。

根据“误差等作用”原则，。

计算结果表明，只要电阻和电压的测量相对误差都小于1%，则可使电流的误差不大于0.005A。因此为保险起见，选用0.5级以上的电桥测量电阻，用0.5级、量程为30V左右的电压表测量电压就可以满足实验要求了。