1.5 极限的运算法则
为了简化讨论的过程，下面以没有标注自变量变化过程的记号limf（x）为代表，表示定理和性质对六种函数极限
均成立.
定理1.5.1（极限的四则运算法则） 设在自变量x的某一个变化过程中，函数f（x）和g（x）的极限都存在，分别为A和B，即limf（x）=A，limg（x）=B则
（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；
（2）lim[f（x）ig（x）]=limf（x）ilimg（x）=A·B；
（3）
.
证 由定理1.4.1，可设
f（x）=A+α（x）g（x）=B+β（x），
其中lim α（x）=0，lim β（x）=0.
（1）因为
f（x）±g（x）=[A+α（x）]±[B+β（x）]=（A±B）+[α（x）±β（x）]，
而lim[α（x）+β（x）]=0，故
lim[f（x）±g（x）]=（A±B）+[limα（x）±limβ（x）]=A±B；
（2）因为
f（x）·g（x）=[A+α（x）]·[B+β（x）]=AB+[Bα（x）+Aβ（x）+α（x）β（x）]，
记γ（x）=Aβ（x）+Bα（x）+α（x）β（x），由定理1.4.2知limγ（x）=0，则
lim[f（x）·g（x）]=AB；
（3）考虑差
其中分子Bα（x）-Aβ（x）为无穷小，分母B[B+β（x）]→B2≠0，我们不难证明
有界，于是
为无穷小，记为
，所以
推论1.5.1 设limf（x）存在，k为常数，则
lim[kf（x）]=klim f（x）.
推论1.5.2 设limf（x）存在，n为正整数，则
lim[f（x）]n=[lim f（x）]n.
以上的定理和推论，对自变量x的变化过程x→x0，x→∞以及单侧极限过程x→x0-，x→x0+，x→-∞，x→+∞都是成立的. 但是在同一个定理或推论中，各个极限中自变量x的变化过程必须是完全相同的. 另外，定理1.5.1的结论（1）、（2）可以推广到有限个函数的情形.
关于数列极限也有类似的四则运算法则.
定理1.5.2（数列极限的四则运算法则） 设数列{xn}和{yn}，如果
则
（1）
；
（2）
；
（3）
.
定理1.5.3 如果ϕ（x）≥ψ（x）而lim ϕ（x）=A，lim ψ（x）=B，那么A≥B.
证 令f（x）=ϕ（x）-ψ（x），则f（x）≥0. 由定理1.5.1有
lim f（x）=lim[ϕ（x）-ψ（x）]=A-B.
由定理1.3.6有limf（x）≥0即A-B≥0故A≥B.
例1.5.1 计算极限
.
解
例1.5.2 计算极限
.
解 由于分子、分母的极限都存在，而且分母的极限不为零，所以可以直接利用定理1.5.1的结论（3）.
例1.5.3 计算极限
.
解 考虑到分母的极限为零，故不能直接利用定理1.5.1的结论（3），注意到分子的极限不为零，可以利用无穷小与无穷大的关系来计算.
因为
所以根据无穷小与无穷大的关系，则
例1.5.4 计算极限
.
解 当x→1时，分子和分母的极限都为零，进一步分析可知，分子分母有公因子（x-1），而x→1时x≠1，可以先约去这个不为零的无穷小公因子，再求极限.
例1.5.5 计算极限
.
解（1）
；
（2）
；
（3）因为
；
所以
.
一般地，有如下结论：设an≠0，bm≠0，m，n为非负整数，则
定理1.5.4（复合函数的极限运算法则） 如果设函数y=f[g（x）]是由函数y=f（u）与函数u=g（x）复合而成，y=f[g（x）]在点x0的某去心邻域内有定义，若
，且存在δ0>0当
时，有g（x）≠u0，则
证 由函数极限的定义，要证：对于∀ε>0，总∃δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，恒有
|f[g（x）]-A|<ε
成立.
由于
，则对于∀ε>0，总∃η>0，使得当0<|u-u0|<η时，恒有
|f（u）-A|<ε
成立.
又由于
，对于上面得到的η>0，∃δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，恒有
|g（x）-u0|<η
成立.
由假设，当
时g（x）≠u0，取δ=min{δ0，δ1}，则当0<|x-x0|<δ时，及|g（x）-u0|<η及|g（x）-u0|≠0同时成立，即|g（x）-u0|<η成立，从而
|f[g（x）]-A|=|f（u）-A|<ε
成立. 证毕.
在定理1.5.4中，把
换成
，可得类似的定理.
定理1.5.4表示，如果函数f（u）和g（x）满足该定理的条件，那么作代换u=g（x）可把求
.
例1.5.6 计算极限
.
解 y=ex+3是由函数y=eu和u=x+3复合而成的，因为
，所以
习题1-5
1. 求下列极限：
2. 设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且
. 下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.
3. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.
（1）如果
不存在；
（2）如果
不存在.
4. 求下列极限.
5. 设
，若x→∞，则
（1）当p，q为何值时，f（x）为无穷小？
（2）当p，q为何值时，f（x）为无穷大？
6. 已知
，试确定常数α，β.