1.13　平面三角形的角与边的论证

一

已知三角形的角，可求各边（见图1.12）。

令：三角形为ABC，根据《几何原本》第四卷问题5，对△ABC作一个外接圆。

两个三角形的角度之和等于360°，、和三段弧的长度均可求得。当弧已知时，内接三角形相对应的边的长度即可按上表求出。假设直径AC的长度为200000P，参照上表，很快求出边长。

二

已知三角形的一角和两边，可求另一边和另两角。

已知：三角形的两边可以相等或不相等，任意一角可以是锐角、直角或钝角，且已知角可以是也可以不是已知两边的夹角，而为任意一角（见图1.13）。

证一：

令：三角形ABC的两条已知边AB和AC相等，两边的夹角∠A已知。那么，底边BC两侧的角可求得。

∵∠ABC＝∠ACB，且这两角均等于两直角减去∠A后数值的一半。

假设：底边BC两侧任一角已知。

∴使用两直角减去底边两角，即可得出第三角的度数。

当三角形的角和边都已知，BC相应的值就可在表中查取。取边AB或边AC等于100000P，则直径BC等于200000P。

证二：

假设：∠BAC是已知两边形成的直角。那么，得证的结果与上述相同（见图1.14）。

∵AB2＋AC2＝BC2

∴BC的长度和各边的关系即可求出。

以BC为直径，作△ABC的外接半圆。取BC等于200000P，则可得∠ABC和∠ACB所对的弦AB和弦AC的长度。

∵∠A为直角，180°为两直角之和。

∴∠ABC和∠ACB的度数即可求出，并可用其查表。

如果底边BC和夹直角中的任一边已知，可求出同样的结果。

证三：

令：∠ABC为锐角，其边长AB和BC已知。

从A点向底边BC作垂线AD（必要时可延长BC，这主要取决于垂线落在三角形内还是三角形外）。由垂线AD形成的三角形分别为△ABD和△ADC（见图1.15）。

∵∠ADC为直角，设∠B为已知角。

∴△ABD的角都已知，且∠A和∠B所对应的弦BD和AD均可从表中查出。

如果直径AB等于200000P，且AD＝BD＝CD＝AB，BC-BD＝CD。

那么：直角三角形ADC的两边AD、CD可知，所求边AC和所求角∠ACD都可按上述方法求出。

证四：

假设：∠B是钝角（结果与上述一样）。

从A点向底边BC的延长线作垂线AD，构成△ABD。

∵∠ABD为∠ABC的补角，∠ADC为直角。

∴如果取AB＝200000P，则BD、AD可知^[27]。

直角三角形ADC的情况与其相同。因为AD和CD已知，即可求出AC边和∠BAC、∠ACB（见图1.16）。

证五：

令：与∠ABC相对的边AC已知，AB已知，△ABC的外接圆的直径等于200000P。

由AC与AB的比值可知，AB可用相同的单位表示。查表可求出∠ACB和∠BAC的度数。利用两角的角度，即可求出弦BC的值。

三

已知三角形的各边，可求各角。

证一：

众所周知的是，在等边三角形中，每个角的度数都等于两直角度数的三分之一。

在等腰三角形中，两条等边与第三边的比等于半径与弧所对弦的比。已知弧的度数，可查表得出两等边形成的夹角。底边形成的两个角的度数等于两直角减去两等边所夹角所得数值的一半。

亟待研究的是不等边三角形。任何不等边三角形都可以分解成直角三角形（见图1.17）。

令：△ABC是三边都已知的不等边三角形，BC为最长边。

从A点向最长边BC作垂线AD。按照《几何原本》，锐角所对应的边AB的平方小于其他两边的平方之和，且差值是BC与CD乘积的两倍。

∠ACB为锐角，否则按照欧几里得在《几何原本》中的论述，AB将成为最长边，这显然与我们的假设矛盾。

因此：△ABD和△ADC都是边和角已知的三角形，由此可求出△ABC的各个角。

证二：

结合《几何原本》，我们用另一种方法也能得到相同的结果（见图1.18、1.19）。

令：BC为最短边，以C为中心、BC为半径的圆会与三角形的其他两条边或一条边相交。

假设：圆与三角形的两条边相交，与AB相交于E点，与AC相交于D点。延长ADC到F点，使线段DCF的长度等于直径。

根据欧几里得定理可知，FA×AD＝AB×AE，且该乘积等于从A点到圆所作切线的平方。

∵线段AF的各段和线段AF均为已知，CF、CD为半径，且CF＝CD＝BC，CA-CD＝AD。

∴不仅BA×AE的值可求出，线段AE的长度和所对应的线段BE的长度也可求出。

连接线段EC，构成各边均为已知的等腰三角形BCE。并求出∠EBC。那么，△ABC的另外两个角，即∠BAC和∠BCA也能求出。

又设：该圆不与AB相交，且BE已知。

那么，在等腰三角形∠BCE中，∠CBE已知，∠ABC为其补角，则第三角也可知。

以上论证都是在平面三角形中获证，下面我们将论证球面三角形的情况。