1.14　球面三角形的论证

我们将凸面三角形视为球面上三条圆弧构成的图形。以该图形任意一点为顶点，画出大圆，图形的每一个角的大小可用所画大圆的弧长表示。这些弧与整个圆周的比等于相交角与直角之比。

一

如果球面上有三段弧，并且其中任意两段之和长于第三段，那么，它们就能形成一个球面三角形。

这在欧几里得的《几何原本》中已经被论证过。因为角与角之比等于弧与弧之比，完整的大圆面又必定通过球心，成为弧的三段大圆就形成了一个立体角，因此本定理成立。

二

三角形的任意一边小于半圆。

半圆的球心不能单独构成角度，只能成为一直线。如果三角形的一条边与球心连接，那么，另外两条边在球心就不能构成一个立体角，因此不能形成球面三角形。我认为，这就是为什么托勒密在论证这类三角形时规定各边均不能大于半圆。

三

在直角球面三角形中，直角对边的二倍弧所对弦同它的一邻边与对边所夹角的二倍弧之比，与球直径同另一邻边与其对边所夹角的2倍在大圆上所对弦之比相等（见图1.20）。

证明：

令：在球面三角形ABC中，∠C是直角。两倍AB所对的弦同两倍BC所对的弦之比，等于球的直径同两倍∠BAC在大圆上所对的弦之比。

令A为顶点，画出大圆弧，形成ABD和ACE两个象限。再从球心F画出各圆面的交线：

与的交线为FA，与的交线为FE，与为FD，的交线与BC两圆面的交线为FC。

作直线BG⊥直线FA，直线BI⊥直线FC，直线DK⊥直线FE，连接GI。

如果一圆与另一圆相交并通过对方两个顶点，则两圆相交成直角。

因此，∠AED＝90°，同理，∠ACB＝90°。

可知，平面EDF⊥平面AEF。在EF直线上K点作直线KD⊥直线FKE。根据欧几里得《几何原本》，KD也垂直于AEF。同理，作线BI垂直于同一平面，DK平行于BI。

又∵∠FGB＝∠GFD＝90°，GB∥FD。

根据欧几里得《几何原本》，∠FDK＝∠GBI，∠FKD＝90°，根据垂线定义，∠GIB＝90°。

且相似三角形的边长成比例。

∴DF∶BG＝DK∶BI。

又：线BI⊥线CF，BI是的倍弧所对的半弦。可知，BG是的倍边所对的半弦。是的倍边或A的倍角所对的半弦，而DF是球的半径。

因此，的倍边所对弦与的倍边所对弦的比等于直径与∠A的倍角或DE的倍弧所对的弦之比。

这个结论在后面还会用到。

四

在任意直角三角形中，若任一角和任一边已知，则其余的角和边都可求得。

令：△ABC中，∠A＝90°，∠B为已知角，已知边分别是：与两已知角相邻，为AB；只与直线相邻，为AC；为直角的对边即BC（见图1.21）。

①若已知边AB：

以C点为顶点，作大圆的，连接象限CAD和CBE，延长和，交于F点。

∠A＝∠D＝90°，F是的顶点。如果球面上的两个大圆相交成直角[28]，那么，ABF和DEF都是象限。

又∵　边AB已知，象限的其余部分也可知，且∠EBF＝∠ABC，而∠ABC是已知角。按前面的定理，两倍所对的弦与两倍所对弦之比，等于球的直径与两倍∠EBF所对的弦之比，可见，这组数据中的直径、和∠EBF这三个量已知。

∵根据欧几里得《几何原本》，与的倍弧所对的半弦可知。根据前表，也可知。那么，象限的其余部分DE即为可知，∠C可知。

反过来，同样可得和的倍弧所对弦之比等于∠EBC与之比。因为已有三个量（、和象限CBE）已知，因此，第四个量即两倍所对应的弦也可知，那么，边CB同样可知。

就倍弧所对弦来说，CB∶CA＝BF∶EF，这两个比值也等于球直径与两倍∠CBA所对弦的比，两个比值都等于相同比值，那么，它们彼此也相等。

因此，当BF、EF和CB等三个量已知，第四个量，即△ABC的第三边CA也能求得。

②若已知边AC：

求边AB、边BC和∠C。

如果作反论证，两倍所对弦与两倍所对弦之比，等于两倍∠ABC所对弦与直径之比。由此可求出边CB、AD、BE。那么，即可求得两倍AD所对弦与两倍BE所对弦之比，等于两倍∠ABF所对弦（即直径）与两倍BF所对弦之比。

同理，已知两倍、和∠FBE所对的弦，即可求得两倍DE所对的弦，即∠C。

进而言之，如果已知，如前所述，即可求得、和。使用这些量并通过所对直线与直径，可求得弧BF和边AB。根据前面的定理，由于、和∠CBE已知，可得，即我们要求的∠C。

因此，在△ABC中，∠A和∠B已知，且∠A＝90°，三角形的一边已知，则第三角与其他两边可求得，得证。

五

如果三角形的角都已知，且其中一个角为直角，则各边均可求出。

证明：

继上图1.21，∠C已知，则弧DE可知，象限的其余部分EF也可知。

∵∠BEF为直角，∠EBF为一个已知角的对顶角。

∴△BEF中，∠E为直角，∠B和边EF已知，则它的边和角都可知。于是，BF可知，象限剩余部分AB也可知。

同理，在△ABC中，同样可以证明其余的边AC和BC可知。

六

在同一球面上有两个直角三角形，它们各有一组对应角和一组对应边相等，则无论该边与相等角的位置关系如何，其余的两条对应边和一个对应角也相等（见图1.22）。

令：在半球ABC上有△ABD和△CEF，且∠A＝∠C＝90°。

再令：∠ADB＝∠CEF，且两个三角形各有一边相等。

令：相等边是相等角的邻边，即＝。且＝，＝，∠ABD＝∠CFE。

以B和F为顶点，画大圆的象限GHI和IKL，连接和相交于I点。

＝，它们的余边也应相等，即DI＝IE。对顶角∠IDH＝∠IEK。且∠H＝∠K＝90°。

等于同一比值的两个比值应当相等，两倍所对弦与两倍所对弦的比值，与两倍所对弦与两倍所对弦的比值也应该相等。根据上述的定理三，这些比值都等于球的直径与两倍∠IDH所对弦的比。两倍弧所对的弦等于两倍所对的弦。

根据欧几里得《几何原本》，两倍和所对弦相等。在相等的圆中，相等的直线截出的弧也相同，但分数与相同因子的乘积不变。与相等，象限剩余部分GH跟KL也相等，于是，∠B＝∠F。

由于两倍所对弦与两倍所对弦的比等于两倍所对弦与两倍所对弦的比，也等于两倍所对弦与两倍所对弦的比。根据定理三的逆定理，这两组比值都等于两倍所对弦与两倍所对弦的比。因此，根据欧几里得《几何原本》可知，通过两倍BD和EF所对直线，可证明这两段弧相等。

既知＝，那么，我们采用同样的方法即可证明剩余的边和角也全部相等。如果把和设为相等边，结果不变。

七

假设球面上没有直角三角形，但相等角的邻边等于相应边，以上结论同样成立（见图1.23）。

证明：在△ABD和△CEF中，设任意角∠B＝∠F，∠D＝∠E。

令：与相等角相邻的边BD＝EF，即两个三角形的各边和角都相等。

以B点和F点为端点，画出大圆的和。延长和相交于N，延长和相交于M。

因此，在△HDN和△EKM中，∠HDN＝∠KEM，H点和K点都通过端点。那么，∠HDN＝∠KEM＝90°，且＝。按上述定理，这两个三角形的角和边都相等。

假设：∠B＝∠F，且＝，经过相等量的加减运算后，这两组量仍相等，可知GHN＝MKL。

那么，在△AGN和△MCL中，GN＝ML，∠ANG＝∠CML，且∠G＝∠L＝90°。

综上所述，这两个三角形的各边与角都相等，在进行相应的等量加减运算后，结果不变。

因此，证得：＝，＝，∠BAD＝∠ECF。

八

进一步说，如果两个三角形有两条相应的边相等，且有任意一个角相等，那么，这两个三角形的底边相等，其余两个相应角也相等。

令：边AB＝CF，AD＝CE，且相等边的夹角∠A＝∠C，求证：BD＝EF，∠B＝∠F，∠BDA＝∠CEF。

在△AGN和△CLM中，∠G＝∠L＝90°，∠BAD＝∠ECF，∠GAN＝∠MCL，且GA＝LC。

因此，两三角形相对应的边和角都相等。

又：AD＝CE，DN＝ME。

∵已证明∠DNH＝∠EMK，且∠H＝∠K＝90°。

∴△DHN和△EMK相对应的各边和角也相等。

由此可知，BD＝EF，GH＝KL，∠B＝∠F，∠ADB＝∠FEC。

如果我们所取的边不是AD和EC，而其他的条件不变，同样可以得到以上结果。作为对等角的补角，∠GAN＝∠MCL，∠G＝∠L＝90°。

因此，△AGN与△MCL相对应的边和角都相等。对于△DHN和△MEK来说，情况也一样。

九

在球面上的等腰三角形两底边上的角相等（见图1.24）。

令△ABC的两边AB＝AC。求证：∠B＝∠C。

以A为顶点画与底边垂直的大圆AD，在△ABD和△ADC中，BA＝AC，AD是两三角形的公共边，AD⊥BC，因此，∠B＝∠C。

推论：根据本定理及其论证过程可知，过等腰三角形顶点且与底边垂直的直线平分三角形，且底边上两角相等。

该推论的逆命题同样成立。

十

相应边均相等的两个任意三角形的相应角也相等。

在这种情况下，三段大圆形成一个圆锥体，顶点位于球心，该锥体的底是两个由弧所对直线构成的三角形。根据立体图形相等或相似的定义，具有相似结构的两个图形的角相等，因此这两个三角形相等。由此可以看出，相应边和相应角相等的两个球面三角形相等，这同平面三角形的规则一样。

十一

已知三角形的两边和一角，其余各边和角可知。

如果已知边相等，那么，可证明两底角相等。根据上文的定理九，从直角顶点作一条垂直于底边的弧线，即可证明（见图1.25）。

但在△ABC中，已知边可以不相等。

若∠A和任意两边已知。

令：∠A是已知边AB和AC的夹角。

以C为顶点，画大圆弧DEF。构成象限CAD和CBE，延长AB，与DE相交于F点。在△ADF中，已知边AD是象限减去AC的剩余部分。∠BAD＝180°-∠CAB，∠BAD已知。

∵角度的比值与直线到平面的距离比值相同，且∠E＝90°。

∴根据定理四，△ADF的各边和角都可知。

在△BEF中，∠F已知，∠E的两边都通过顶点，因此，∠E＝90°。

边BF是ABF超出AB的部分，也是已知的。因此，△BEF的各边与角也都可知。

根据BE，可求出BC的值。根据EF，可得DE的值和∠C的值，根据∠EBF，可得∠ABC的值，即所求角的值。

如果我们假定的已知边不是AB，而是BC，其结论仍然相同。

按照这个论证，△ADF和△BEF的各边和角都可知。从而可求出主题三角形ABC的各边和角。

十二

如果任意两角和一边已知，则三角形的各边和角都可知（见图1.25）。

令：在△ABC中，∠ACB和∠BAC和一条边AC已知。

若已知角中有一角是直角，则直接根据上面定理四，求出三角形的各边和角。

若已知角中没有直角，那么，象限CAD减去AC即可得AD的值，∠BAD＝180°-∠BAC，根据定理四，△AFD的角与边均可知。

另一种情况是，已知角中的一个角与已知边相对。如：已知角不是∠ACB，而是∠ABC，其他条件不变。则△ADF的各边和角可知。而对于△BEF，∠F是两个三角形的公共角，∠EBF是已知角的对顶角，∠E＝90°。

因此，正如前文所论证的，该三角形的各边和角都可知。

十三

如果三角形各边已知，则各角可知（见图1.26）。

令：△ABC的各边已知。

三角形的边可以相等或不等。

令：AB＝AC。

与两倍AB和AC相对的半弦显然相等。设这两段半弦分别为BE和CE，且相交于E点。

根据欧几里得《几何原本》，∠DEB是平面ABD上的一个直角，∠DEC是平面ACD上的一个直角。根据以下方法可求得∠BEC：

∠BEC与直线BC相对，构成△BEC，该三角形的边可由已知的弧求得。

然而，如图所示，三角形可能不是等边的。那么，与两倍边相对的半弦就不会相交。

令：＞，且CF是与二倍AC相对的半弦。

如果AC＜AB，半弦会显得高一些（见图1.27）。

作FG∥BE。

令：FG与圆的交线BD相交于G点。

连接CG，∠EFC＝∠AEB＝90°。

∵CF是两倍AC所对的半弦。

∴∠EFC＝90°。

∠CFG是AB与AC两圆的交角，因此，∠CFG可求出。

∵△DFG与△DEB为相似三角形，DF∶FG＝DE∶EB。

∴FG＝FC。

由于DG与DB也有同一比值。因此，取DC＝100000P，DG也可由相同的单位表示。

根据平面三角形的定理二，边GC可用与平面三角形GFC其余各边相同的单位表示。根据平面三角形最后一条定理，可得∠GFC和∠BAC，并求出其余各角。

十四

将一段弧任意分割成两条短于半圆的弧，若两段弧的两倍所对的半弦之比已知，则可求出每段弦的长（见图1.28）。

令：为已知圆弧，D为圆心。被B点任意分割成两段短于半圆的弧。

再令：两倍与两倍所对半弦之比可用某一长度单位表示。

那么，和的长度均可求出。

作直线AC与直径相交于E点，从端点A和C向直径作垂线，分别为AF和CG，它们是两倍AB和BC所对的半弦。

在△AEF和△CEG中，三角形的对顶角相等，因此，两个三角形对应的角相等。

作为相似三角形，它们的边和角都成比例，即AF∶CG＝AE∶EC。

因此，AE和EC可用与AF或GC相等的单位表示。

由AE和EC，可得用相同的单位表示的AEC，而AEC作为的所对弦，可用半径DEB的单位求出。

连接DA和DK，它们可用与DB相同的单位表示。DK是半圆减去ABC后的余量弧所对弦长的一半。而这段弧包含在∠DAK内。

在△EDK中，由于两边已知，∠EKD＝90°，因此，∠EDK可求得。

十五

如果三角形所有的角都已知，则所有边可知（见图1.29）。

令：△ABC的各角已知，但均不是直角。

设：∠A为任意角，经过BC的两端点画，与BC相交。

除非∠B和∠C中，一角为钝角，另一角为锐角，否则，AD将落入三角形内。

以B和C为端点作和。∠F＝∠G＝90°。

因此，在两个直角三角形中，两倍和所对半弦的比等于球的半径与两倍∠EAF所对弦的比。

同理，在△AEG中，∠G＝90°，两倍和所对弦的比等于球的半径与两倍∠EAG所对弦的比。由于这些比值相等，因此，两倍和所对弦的比等于两倍∠EAF与∠EAG所对半弦的比。和作为从直角中减去B和C的余量，为已知弧，因此，根据和，可得∠EAF与∠EAG的比，即它们的对顶角∠BAD与∠CAD的比。

由于∠BAC已知，∠BAD和∠CAD即可求得。

根据定理五，边AB、BD、AC、CD及BC均可求得。

通过以上的结论，足以满足我们探索目标的需要。这些偏离主题的论证到此为止，如果要更为详尽，就需要再作一部专著了。

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[1] 托勒密用拱点距离来表示天体的厚度。

[2] 公元2世纪著名的古希腊天文学家。哥白尼在文中大量引用托勒密的论述及其著作作为证明依据。

[3] 宇宙为球形这一观点，在希腊天文史的早期最先被提出来，并成为古代和中世纪的主导思想。

[4] “水滴呈球形”，是古代和中世纪科学的一种常识。

[5] 即船底座α星，在第二章第十四节之后的哥白尼星表中，老人星靠近南天星座船底座的第一星，哥白尼还补充说老人星“在埃及却能看见”。

[6] 波江座第一星是位于另一个南天星座中的一颗一等星。

[7] 曼费列多尼亚的卡普安纳斯在《对萨克罗波斯科球体的评论》修订版中提出：“地球的重量并不都是均衡的，而是一部分重于另一部分。因为没有洼地和洞穴的这一部分比较稠密和紧凑，遍布洞穴的那一部分则多孔。因此地球的形体中心不是它的重力中心。”

[8] 长度单位，相当于英里或201.167米。

[9] 原书叙述为：“我们所居住的这一部分地球在东面的界限为一块未知的土地，它与大亚细亚的东部、中国和西伯利亚接壤。”

[10] 哥白尼用的是“Cathagia”，可以只代表中国北部地区，也可以表示整个中国。

[11] 希腊人称之为νυχθημερον，根据希腊人的设想，除地球外，整个宇宙都在自东向西旋转。

[12] 哥白尼因为极度害怕被指控为异端，因此一直迫切寻找地动学说的古代支持者。他把在普鲁塔尔赫书中找到的一段话放在了自序的显著位置，借此表明赫拉克利特和埃克番达斯都承认地球在绕轴自转。

[13] “地球是一个天体，它绕中心作圆周运转，并由此产生昼夜。”亚里士多德认为这些都是毕达哥拉斯信徒们的信念。哥白尼却认为这种信念来自于费罗劳斯个人。

[14] 哥白尼引用的是西奥多西阿斯《球形》中的表述：“在一个圆球的各圆周中，通过球心的圆周为大圆。”这本书的希腊文本在哥白尼逝世之后才付印。

[15] 亚里士多德认为，一个旋转的刚体球的性质为：“在一个物体做圆周运动时，它的中心部分应该是静止的……但各圆上的速度和圆周大小成正比的说法，并非是无稽之谈，而是必然的……在大圆上的物体显然运动会快一些。”

[16] 哥白尼认为小熊座为北天第一星座，北天区的天鹰座与南天区的小犬座都是较为靠近黄道的星座。

[17] 欧几里得在他的《现象篇》的序言中指出：“若球体绕其轴线均匀自转，则球面各点在相等时间内在运载它们的平行圆周上扫出相似弧段。”

[18] 托勒密的主要著作，在古代是天文学的百科全书，直到开普勒时代仍是天文学家的必读书籍。

[19] 亚里士多德表示：“任一运动物体都可以自然地运动，也可以是非自然地受迫地运动……非自然运动很容易遭到破坏，只有自然运动才能够永远持续下去。”

[20] 哥白尼取消了曾被认为组成宇宙的四个传统元素中的一个。他看见并感觉到了充斥周围的土、水与空气，却无法对第四种元素作出实在的论证。此元素是环绕大气且位于天穹区域下面的一个设想的、看不见的火球。

[21] 水星和金星是内行星，它们在轨道上每运转一周都有一次大距。原文的意思为冲（从地球上看一颗行星或彗星在与太阳相对的位置上时，称为“在冲”。冲只发生在外侧行星上），即行星与太阳的经度差为180°。

[22] 指两个大视面的天体互相遮挡，从而发生亏蚀现象。

[23] 托勒密用拱点距离来计算各天体的厚度。

[24] 这里的情况和第一卷第八章的情况相同，哥白尼对“火元素”球的存在深感怀疑。

[25] 包括维楚维阿斯等。维楚维阿斯在他的《建筑学》中表示：“水星与金星以太阳光线为中心绕圈子运行，由此产生了逆行和留。”

[26] 索福克勒斯并非在《厄勒克特拉》中称太阳为洞察万物者，而是在他的《科罗努斯的俄狄浦斯》（Oedipus at Colonus）一书的第869行，把太阳称为洞察万物者。

[27] BA与BC的比值已知，BC即可用与BD相同的单位表示。

[28] 彼此平分，并都通过对方的两个端点。