3.4.1 软集理论

在实际情况中，事物所包含的信息存在着大量的不确定性，无法直接用具体的数值进行衡量，Molodtsov提出了一种处理不确定性的方法——软集[3]。软集在解决不确定性问题上得到了广泛应用，具有操作简单、易于理解的特点，在表示形式上更为直观，可以很好地描述系统中部分与整体的相互关系。

定义3.1：设U为有限非空集合，称为对象集。E为有限非空集合，称为参数集。A⊆E，称有序对（F，A）为软集且仅当F为由A到集合U的幂集上的映射，也即F:A→P（U）[3]。

根据定义，一个论域U上的软集（F，A）可以被视为论域U的子集的一个参数族，软集给出了论域U的近似（软描述）[4]。

对于任意参数ε∈A，F（ε）⊆U可以被认为是软集（F，A）中的ε-近似集合。

下面通过一个例子对软集定义进行更深入的解释。

例3.1假设某装备体系包含能力指标的集合为U={h₁，h₂，h₃，h₄}，对于这些能力指标该体系中所包含的组分集合为E={e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆}，令F（e₁）={h₁，h₂}，F（e₂）={h₁，h₂，h₄}，F（e₃）={h₁，h₃}，F（e₄）={h₁，h₂，h₃}，F（e₅）={h₁}，F（e₆）={h₂，h₃，h₄}，F表示参数集E到论域U上的所有子集的映射，软集（F，A）描述了这4个能力指标对体系的优势特点[5]。

从上例可以很直观地看出每个组分所具有的能力特点，软集理论从参数化的角度描述了同一事物不同侧面的不确定性信息[6]。

为了更好地表示软集，学者们提出了多种不同的表示方法，以适应不同的场景。下面以例3.1为例，介绍几种常见的表达形式。

1．Molodtsov表示法[7-9]

在软集理论中，映射F：A→P（U）可以定义为F（e₁）={h₁，h₂}，F（e₂）={h₁，h₂，h₄}，F（e₃）={h₁，h₃}，F（e₄）={h₁，h₂，h₃}，F（e₅）={h₁}，F（e₆）={h₂，h₃，h₄}，则软集可以表示为

2．近似集表示法[10]

Cagman和Enginoglu在Molodtsov表示法的基础上进行了改进，将软集表示为（F，A）={a，F（a）|a∈A}，即

3．图表表示法[11,12]

Maji等人为了将数据进行格式化存储而提出用表格表示的方法，如表3.1所示。

表3.1 软集信息表

武器装备体系涌现性难以预测、还原和追溯，在评价和度量体系涌现性过程中，决策者将面临大量的不确定性信息。面向数据的软集理论能够较为合理有效地分析度量体系涌现性。