等比、等差数列相关问题

等比数列

【例1】【陕西】一根竹笋从发芽到长大，如果每天长一倍，经过10天长到40分米，那么长到2.5分米时，要经过多少天（ ）

A.6

B.8

C.4

D.12

【解析】A。第10天长到40分米，那么，第9天长到20分米，第8天长到10分米，第7天长到5分米，第6天长到2.5分米。

故正确答案为A。

【例2】【国考】某人租下一店面准备卖服装，房租每月1万元，重新装修花费10万元。从租下店面到开始营业花费3个月时间。开始营业后第一个月，扣除所有费用后的纯利润为3万元。如每月纯利润都比上月增加2000元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月内收回投资（ ）

A.7

B.8

C.9

D.10

【解析】A。前3个月成本共为13万元，租下店面第4个月开始营业，每个月获得纯利润情况构成首项为3、公差为0.2的等差数列3、3.2、3.4、3.6、……，可得3＋3.2＋3.4＋3.6＝13.2＞13，即第7个月可以收回投资。

故正确答案为A。

【例3】【贵州】有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，分裂成4个，这样把一个细菌放到瓶子里到充满为止，用了2个小时。如果一开始时，将两个这种细菌放入瓶子里，那么充满瓶子要多长时间（ ）

A.30分钟

B.59分钟

C.119分钟

D.60分钟

【解析】C。

方法一：一个细菌放到瓶子里到充满为止需用120分钟，那么，充满半个瓶子需用119分钟。若一开始将2个细菌分别装到2个瓶子里，第119分钟时得到2个半瓶细菌，此时再将2个半瓶的细菌合成1个整瓶的细菌。因此，共用时119分钟。

方法二：一开始，将1个细菌和2个细菌分别装在瓶子里，发现在这两种方案下，细菌的分裂过程从数量为2开始，以后完全相同，唯一的区别在于，方案2比方案1少用了由1个细菌分裂为2个细菌的1分钟。因此，120－1＝119分钟。

故正确答案为C。

【例4】【联考】小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高多少（ ）

A.700元

B.720元

C.760元

D.780元

【解析】B。

等比数列等间隔取出若干项，形成的新数列仍为等比数列，即赵、孙、周三人成等比数列，公比为3600÷3000＝1.2。

等比数列后项减去前项，形成的新数列是与原数列公比相同的等比数列，即“孙－赵、周－孙”成等比数列，公比不变仍为1.2。因此，周－孙＝600×1.2＝720。

故正确答案为B。

【习题1】【北京应届】甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。已知一月份两厂共生产玩具105件，2月份共生产110件。乙厂的月产量第一次超过甲厂是在（ ）

A.3月份

B.5月份

C.6月份

D.第二年8月份

【解析】C。

，解得。因此，甲厂的月产量均为100，乙厂的月产量依次为5、10、20、40、80、160、……。乙厂第一次超过甲厂是在6月份。

故正确答案为C。

【习题2】【四川】商店本周从周一到周日出售A、B两种季节性商品，其中，A商品每天销量相同，B商品每天销量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B两种商品的销量之和分别为220件和210件，问从周一到周日A商品总计比B商品多卖出多少件（ ）

A.570

B.635

C.690

D.765

【解析】D。

0，解得。因此，A商品这周共销售200×7＝1400件，B商品这周共销售5＋10＋20＋40＋80＋160＋320＝635件，A商品比B商品多卖出1400－635＝765件。

故正确答案为D。

等差数列

【例1】【安徽】在1—101中，5的倍数的所有数的平均数是（ ）

A.52.5

B.53.5

C.54.5

D.55.5

【解析】A。1—101中所有5的倍数构成一个首项为5、末项为100、公差为5的等差数列，因此，平均数＝＝525。

故正确答案为A。

【例2】【联考】某商店10月1日开业后，每天的营业额均以100元的速度上涨。已知该月15号这一天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元（ ）

A.163100

B.158100

C.155000

D.150000

【解析】B。由“每天营业额以100元的速度上涨”知，10月份营业额构成一个公差为100的等差数列，且a15＝5000，a16＝5100。10月共31天，代入等差数列求和公式，Sn＝项数×中位数＝31×a16＝31×5100＝158100元。

故正确答案为B。

【例3】【国考】某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少（ ）

A.602

B.623

C.627

D.631

【解析】B。在等差数列中，平均数＝中位数，Sn＝项数×平均数＝项数×中位数。由“9人的平均得分是86分”知，a5＝86；由“前5名工人的得分之和是460分”知，a3＝＝92；由此可得，a4＝＝89。因此，S7＝7×a4＝7×89＝623。

故正确答案为B。

【例4】【浙江】把自然数1、2、3、4、5、……、98、99分成三组，如果每组数的平均数恰好相等，那么此平均数为（ ）

A.55

B.60

C.45

D.50

【解析】D。设三组的项数分别为N1、N2、N3，平均数均为 x。99个数的平均数 ＝＝x，即每组的平均数x与99个数的平均数相等，因此，x＝＝50。

故正确答案为D。

【例5】【国考】某单位某月1—12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天，三人各自值班日期的数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班（ ）

A.6

B.4

C.2

D.0

【解析】D。

方法一：1＋2＋……＋12＝＝78，则每个人值班日期的数字之和为78 ÷3＝26，甲1号和2号值班，则11号和12号必须值班；乙9号和10号值班，则3号和4号必须值班；进而得知，丙必须在5、6、7、8日值班，即丙是连续值班，无休息。

方法二：每个人值班日期的平均数＝整体的平均数＝n，所以，值班日期尽可能首尾两头凑。

故正确答案为D。

【习题1】【国考、郑州军转】学校用从A到Z的顺序给班级编号，再按照班级号码在后面加01、02、03、……的顺序给学生编号。已知从A至K每个班级是按照15的数量依次递增1人，之后依次递减2人，那么第256名同学的编号是多少（ ）

A.M12

B.N11

C.N10

D.M13

【解析】D。从A到K共11个班级，其中，A班15人，B班16人，……，K班25人。A班到K班的总人数＝＝220人，剩余256－220＝36人，其中，L班23人，M班13人。因此，第256名同学的编号为M13。

故正确答案为D。

【习题2】【山东，河南、贵州选调】某路公交车单程共有10个车站，从始发站出发时，车上共有乘客20人，之后中间每站新上5人，且车上所有乘客最多坐3站下车。问最多会有多少名乘客在终点下车（ ）

A.20

B.10

C.5

D.15

【解析】D。由题意知，最初的20人到第4站（始发站为第1站）时，要全部下光，且每一站新上的5人都要在3站内全部下光，因此，只有第7、8、9三站上车的人才有可能在终点站下车，最多有5×3＝15人在终点站下车。

故正确答案为D。

【例1】【四川】一个等差数列共有2n－1项，所有奇数项的和是36，所有偶数项的和是30，那么n的值为（ ）

A.5

B.6

C.10

D.11

【解析】B。等差数列中，平均数＝中位数＝36－30＝6，总和＝36＋30＝66，因此，项数＝总和÷平均数＝66÷6＝11＝2n－1，解得n＝6。

故正确答案为B。

【例1】【国考】｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是（ ）

A.32

B.36

C.156

D.182

【解析】C。总和＝项数×平均数＝项数×中位数。S13＝13×a7＝13×（8＋a10－a3），又a10－a3＝a11－a4＝4，因此，S13＝13×（8＋4）＝13×12＝156。

故正确答案为C。

【例1】【郑州军转干、浙江、郑州军转、吉林、山西、河北】某一天，小张发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就一次翻了7张，这7张日期加起来的和是77，那么这一天是（ ）

A.13日

B.14日

C.15日

D.17日

【解析】C。7个数的总和是77，则平均数＝77÷7＝11，为整数，说明这7张在同一个月，即这7天的日期是公差为1的等差数列，那么中位数（第四天）也是11，因此，第七天是14号，当天就是15号。

故正确答案为C。

【例2】【安徽、江西招警】某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了6张，这6天的日期加起来是141，他翻的第一页是几号（ ）

A.18

B.21

C.23

D.24

【解析】B。6个数的总和是141，则平均数＝141÷6＝23.5，为“×.5”的形式，说明这6张在同一个月，即这6天的日期是公差为1的等差数列，那么中位数（第三天和第四天之间）也为23.5，又因公差为1，因此，第三天是23号，第一天是21号。

故正确答案为B。

【例3】某一天，小张发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就一次翻了7张，这7张的日期加起来的和是76，那么这一天是（ ）

A.13日

B.14日

C.15日

D.6日

【解析】D。7个数的总和是76，则平均数＝76÷7≈10.86，非整数，说明这7张不在同一个月，即跨月了，否则平均数应为整数。观察选项，只有D选项符合。

故正确答案为D。

【习题1】【江苏】某一天秘书发现办公桌上的台历已经有9天没有翻了，就一次翻了9张，这9天的日期加起来得数恰好是108，问这一天是几号（ ）

A.14

B.13

C.17

D.19

【解析】C。9个数的总和是108，则平均数＝108÷9＝12，为整数，说明这9张在同一个月，即这9天的日期是公差为1的等差数列，那么中位数（第五天）也为12，因此，第九天是16号，当天就是17号。

故正确答案为C。

【习题2】【河南招警】小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说： “我参加科技和夏令营，外出一个星期，这7天的日期数之和是98，请问，我是几号出去的？” （ ）

A.10

B.11

C.12

D.13

【解析】B。7个数的总和是98，则平均数＝98÷7＝14，为整数，说明这7天在同一个月，即这7天的日期是公差为1的等差数列，那么中位数（第四天）也是14，因此，第一天是11号。

故正确答案为B。

【习题3】【山东】某天办公桌上台历显示的是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，所翻页的日期加起来正好是168。那么当天是几号（ ）

A.20

B.21

C.27

D.28

【解析】D。根据题意，7个数的总和是168，则平均数＝168÷7＝24，为整数，说明这7张在同一个月，即这7天的日期是公差为1的等差数列，那么中位数（第四天）也是24，因此，第七天是27号，当天就是28号。

故正确答案为D。