3.3 电磁感应定律

闭合电路的一部分导体在磁场里做切割磁力线的运动时，导体中就会产生电流，这种现象叫电磁感应，这是法拉第在1831年发现的。通过进一步的电磁感应现象实验，发现这一现象的本质是因磁通量变化而产生了感应电动势。电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一，它揭示了电、磁现象之间的相互联系。

3.3.1 电动势

只有在闭合回路中才能存在恒定电流，在有电阻的回路中维持恒定电流，不能只靠静电力，因为静电场的一个重要性质是

即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0，或者说，若电场力将电荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置回到原来的位置电场力必做负功，电势能增加。除非由超导体构成，电场力在导体内移动电荷所做的功里必有一部分转化为电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返回到电势能较高的原来位置，即电流不可能是闭合的。电流不闭合将引起电荷在某些地方堆积，其后果是引起电场重新分布，从而破坏了恒定条件。所以，除了在超导体中，要维持恒定电流，必须有非静电力。非静电力做功，将其他形式的能量补充给电路，使电荷能够逆着电场力的方向运动，返回电势能较高的原来位置，以维持电流的闭合性。

我们用K 表示作用在单位正电荷上的非静电力。在有可能形成恒定电流的闭合回路L中，非静电力沿L移动电荷必定做功，即

我们定义非静电力的上述环路积分为该闭合回路里的电动势，并记作ℑ：

可以看出，电动势的量纲与电压是一样的，它的单位也一样，在国际单位制（SI）中都是V（伏特）。

实际上，电动势的概念不限于闭合电路，它所驱动的电流也不一定是恒定的。甚至于在没有导体的地方，我们也可以用此式来定义一个电动势。

在上面描述的电磁感应现象里，感应电流的大小是随回路里电阻的大小而变化的，但电磁感应所产生电动势的大小则与回路中的电阻无关。这种由于磁通量变化而引起的电动势，叫作感应电动势。感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。下面我们还将看到，即使回路不闭合，也会发生电磁感应现象，这时并没有感应电流，而感应电动势依然存在，它将反映在回路的端电压上。总之，确切地讲，对于电磁感应现象应这样来理解：当穿过回路的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电动势。

1834年楞次（Lenz,1804—1865）提出了另一种直接判断感应电流方向的方法，从而根据感应电流的方向可以说明感应电动势方向。可以得到结论：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化（增加或减少）。这个结论叫作楞次定律。用楞次定律来判断感应电流的方向，可按照下面的步骤：首先判明穿过闭合回路的磁通量沿什么方向，发生什么变化（增加还是减少）；然后根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场沿何方向（与原来的磁场反向还是同向）；最后根据右手定则从感应电流产生的磁场方向确定感应电流的方向。

3.3.2 法拉第电磁感应定律

以上分析指明了感应电动势产生的原因以及决定感应电动势大小和方向的因素，下面我们用数学公式把这些结论表示出来，用ε 表示导线回路中的感应电动势，Φm表示通过回路圈围面积的磁感通量，因感应电动势的大小正比于磁感通量的变化率，故有

感应电动势的方向由楞次定律给出。为了找到楞次定律的数学表述，我们将分析任一回路中感应电动势的方向。对于给定的回路，可以规定一个绕行的正方向，如为顺时针方向或逆时针方向，从而就可以用正和负来区分两种不同方向的电动势。当电动势方向与回路绕行方向一致时为正，与绕行方向相反时为负。电流（包括感应电流）的正或负也可根据它与绕行方向一致或相反确定。磁场对回路圈围面积的磁感通量也可以为正或为负。磁感通量Φm的正、负固然与磁场的方向有关，但也与回路圈围面积的正法线方向的取向有关。当磁场方向一定后，Φm的正、负由法线方向决定，而一个回路圈围面积的法线也有两种不同的方向。为了明确起见，人为规定：对于任一给定的回路，其绕向的方向与该回路圈围面积的正法线方向组成右手螺旋定则。

（1）磁感通量Φm＞0，如图3−3−1所示。当磁感通量随时间增加即dΦm/dt＞0时，回路中感应电流的方向总是使其产生的磁场去抵消磁感通量的增加，即感应电流的磁场对回路的磁感通量必须是负的，如图中虚线所示。因此感应电流的方向与回路的绕行方向相反，感应电流是负的，因而感应电动势也是负的。这就是说，当dΦm/dt＞0时，ε＜0。

（2）磁感通量Φm＞0，但随时间减少dΦm/dt＜0，如图3−3−2所示。回路中感应电流的方向总是使其产生的磁场去补偿磁感通量的减少，即感应电流的磁场对回路的磁感通量应该是正的，如图中虚线所示。因此，感应电流的方向与回路绕行方向一致，感应电流是正的，因而感应电动势也是正的。这就是说，当dΦm/dt＜0时，ε＞0。

当然，我们还可以进一步分析Φm＜0，但dΦm/dt＞0或dΦm/dt＜0两种情况，所得的结论仍然是ε与dΦ /dm t异号。总之，不管磁感通量是正还是负，按照我们所作的回路绕行方向和回路圈围面积的正法线方向的规定，楞次定律要求ε与dΦ /dm t异号，即

这就是法拉第电磁感应定律，负号可以看作是楞次定律的数学表述。在SI单位制中，电动势的单位是V（伏特），磁感通量的单位是Wb（韦伯），这时比例系数k=1，故在SI单位制中，法拉第电磁感应定律为

若回路由 N匝导线组成，当磁场对每一匝导线回路所圈围面积的磁感通量都是Φm时，则N匝回路中感应电动势为

有时，把NΦm称为磁通匝链数。

3.3.3 动生电动势和感生电动势

按照磁通量变化原因的不同，将电动势分为两种情况具体讨论。一种是在恒磁场中运动的导体内产生感应电动势；另一种是导体不动，因磁场的变化产生感应电动势。前者叫作动生电动势，后者叫作感生电动势。

1．动生电动势

动生电动势可以看成是洛伦兹力所引起的。如图3−3−3所示，当导体以速度v向右运动时，导体内的自由电子也以速度v跟随它向右运动，按照洛伦兹力公式，自由电子受到的洛伦兹力为

式中，−e为电子所带的电量；F的方向如图3−3−3所示，由D指向C。在洛伦兹力的推动下，自由电子将沿着DCBA方向运动，即电流是沿着ABCD方向的。作用在电子上的洛伦兹力是一种非静电性的力，则单位正电荷上的洛伦兹力为

于是，动生电动势是

由于洛伦兹力只存在于 CD 段内，故在式（3−3−10）中沿整个闭合回路的积分只在这一段内不等于0。

如图3−3−3情形，由于υ⊥ B，而且单位正电荷受力的方向，即(υ×B)的方向与dl方向一致，式（3−3−10）可积分化为

从以上的讨论可以看出，动生电动势只可能存在于运动的这一段导体上，而不动的那一段导体上没有电动势，它只是提供电流可运行的通路，如果仅仅有一段导线在磁场中运动，而没有回路，那么在这一段导线上虽然没有感应电流，但仍可能有动生电动势。至于运动导线在什么情况下才有动生电动势，这要看导线在磁场中是如何运动的。例如，导线顺着磁场方向运动，根据洛伦兹力来判断，则不会有动生电动势产生；若导线横切磁场方向运动，则会有动生电动势产生。因此。有时形象地说成“导线切割磁感应线时产生动生电动势”。

上面讨论的只是特殊情况（直导线、均匀磁场、导线垂直磁场平移），对于普遍情况，在磁场内安放一个任意形状的导线线圈 L，线圈可以是闭合的，也可以是不闭合的。当线圈在运动或发生形变时，这一线圈中的任意一小段dl都可能有一速度υ。一般说来，不同dl段的速度υ不同。这时在整个线圈中产生的动生电动势为

式（3−3−12）提供了另外一种计算感应电动势的方法。

在运动导体中的电子不但具有导体本身的速度υ，而且还具有相对导体的定向运动速度u，如图3−3−4所示，正是由于电子的后一运动构成了感应电流。因此，电子所受的总的洛伦兹力为

它与合成速度(u+υ)垂直（图3−3−4），总的说来洛伦兹力不对电子做功。然而F的一个分量

却对电子做正功，形成动生电动势；而另一个分量

它的方向沿−υ，是阻碍导体运动的，从而做负功。可以证明两个分量所做的功的代数和等于0。因此，洛伦兹力的作用并不提供能量，而只是传递能量，即外力克服洛伦兹力的一个分量F′所做的功通过另一分量F转化为感应电流的能量。

2．感生电动势

导体在磁场中运动产生电动势，其非静电力是洛伦兹力；在磁场变化产生感生电动势的情形中，非静电力又是什么呢？实验表明，感生电动势完全与导体的种类和性质无关。这说明感生电动势是由变化的磁场本身引起的。我们考虑一个固定的回路 L, S 是以 L为边界的曲面。当通过它的外磁场发生变化时，在其中产生感生电动势ε。将式（3−3−6）用于此情形，并将它改写一下：

在式（3−3−16）中，由于回路L固定，其中磁通的变化完全是由磁感应强度B的变化，或者说磁矢势A的变化引起的，所以我们可以把对t求导和在回路上积分运算的顺序颠倒过来。式（3−3−16）明显给出，产生动生电动势的非静电力K等于

这个K代表一种什么力？麦克斯韦分析了一些电磁感应现象之后，敏锐地感觉到感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应。他相信，即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，叫作感应电场或涡旋电场，记作E旋。这种电场与静电场的共同点就是对电荷有作用力；与静电场不同之处，一方面在于这种涡旋电场不是电荷激发，而是由变化的磁场所激发；另一方面在于描述涡旋电场的电场线是闭合的，从而它不是保守场（或叫势场），用数学式子来表示，则有

上述非静电力K正是这一涡旋电场E旋，即

涡旋电场的存在已为许多实验所证实，后文将要介绍的研究核反应所用的电子感应加速器就是例证。

在一般情形下，空间的总电场E是静电场E势（它是一个保守场或势场）和涡旋电场E旋的叠加，即

其中势场可以写成电势U的负梯度：

于是总电场为