4.1 偶极子产生的电场

具有偶极矩p的极性分子相当于一个偶极子，它将在其周围产生电场。

设该极性分子位于空间中的x＇点，根据前文的分析，在x点电场的电势U可写为

其中r为x＇点到x点的距离，即r=x-x＇，其矢量r可以表示为r=x-x', θ为r与偶极矩p的夹角，也称偶极子的方向角（图4-1-1）。系数。由于夹角余弦可以表示为，则x点电场的电势U还可写为

其中ε0为真空中的介电常数。

对应的电场强度为

电场强度的标量形式为

上述电场强度的方程推导过程如下：首先建立关于矢径r与偶极子方向角θ的极坐标系，并在该极坐标系中求电势函数的梯度。从电势函数U的表达式可以看出，它恰是这两个极坐标自变量的函数。设该极坐标系的单位基矢量分别为eθ和er，则可求得电场强度矢量为

将和代入其中，得

其大小的标量为

其中，和可视为电场强度矢量在极坐标系中的坐标分量。同样的矢量也可以分解成矢径方向er和偶极子方向ep的分量。其矢量分解如图4-1-2所示。可以看出，该电场强度矢量在偶极矩方向的分量为，而在矢径方向的分量为。从而得其合成的矢量为

进而得